수능 출제 분석

정적분과 기하학적 넓이의 최대·최소

조각적 정의 함수에서의 넓이 함수 구성 및 도함수를 활용한 극대 추론

Q [문제 원문]

12. 함수 $f(x) = \frac{1}{9}x(x-6)(x-9)$와 실수 $t \ (0 < t < 6)$에 대하여 함수 $g(x)$는

g(x) = \begin{cases} f(x) & (x < t) \\ -(x-t) + f(t) & (x \ge t) \end{cases}

이다. 함수 $y=g(x)$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 영역의 넓이의 최댓값은? [4점]

①$\frac{125}{4}$

②$\frac{127}{4}$

③$\frac{129}{4}$

④$\frac{131}{4}$

⑤$\frac{133}{4}$

1 [출제의도]

이 문항은 정적분을 활용하여 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 함수로 표현하고, 미분을 통해 그 함수의 최댓값을 구하는 능력을 평가합니다.

새롭게 정의된 함수 $g(x)$의 기하학적 의미(삼차함수 곡선과 기울기가 -1인 직선의 결합)를 파악하는 해석 능력
넓이를 매개변수 $t$에 대한 정적분과 다각형 넓이의 합으로 모델링하는 식 세우기 능력
적분과 미분의 관계(미적분학의 기본정리) 및 합성함수 미분법을 활용하여 도함수를 구하고 극댓값을 찾는 추론 능력

2 [상세 풀이] (Step-by-Step)

Step 1

함수 $g(x)$의 그래프 및 둘러싸인 영역의 기하학적 분석

주어진 삼차함수 $f(x) = \frac{1}{9}x(x-6)(x-9)$는 $x=0, 6, 9$에서 $x$축과 만납니다. 문제의 조건에서 $0 < t < 6$ 이므로 구간 $[0, t]$에서 $f(x) > 0$ 입니다.

함수 $g(x)$의 식 중 $x \ge t$ 일 때의 식 $y = -(x-t) + f(t)$를 분석해 봅시다. 이 직선은 점 $(t, f(t))$를 지나고 기울기가 $-1$인 직선입니다.

이 직선이 $x$축과 만나는 $x$절편을 구하면, $0 = -x + t + f(t) \implies x = t + f(t)$ 가 됩니다. $f(t) > 0$ 이므로 절편은 $t$보다 항상 큽니다.

참고 도형 연계 : 우측 시뮬레이터에서 슬라이더를 움직여보세요. 곡선부를 따라 파란 점 $(t, f(t))$가 이동하며, 그 점에서 시작하여 기울기가 $-1$ 인 직선(주황색)이 $x$축으로 내려꽂히는 모습을 실시간으로 확인할 수 있습니다.

Step 2

넓이 함수 $S(t)$의 구성

$y=g(x)$와 $x$축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $S(t)$라고 합시다. 이 영역은 두 부분으로 나뉩니다.

$0 \le x \le t$ 구간 : 삼차함수 $y=f(x)$ 곡선 아래의 면적 (정적분)
$t \le x \le t+f(t)$ 구간 : 밑변이 $f(t)$이고 높이가 $f(t)$인 직각이등변삼각형의 면적

S(t) = \int_{0}^{t} f(x) dx + \frac{1}{2} \times (\text{밑변}) \times (\text{높이}) $$ $$ S(t) = \int_{0}^{t} f(x) dx + \frac{1}{2} \cdot \{t+f(t) - t\} \cdot f(t) $$ $$ S(t) = \int_{0}^{t} f(x) dx + \frac{1}{2} \{f(t)\}^2

참고 도형 연계 : 우측 패널의 채워진 색상을 확인하세요. 파란색 영역이 $\int_{0}^{t} f(x) dx$ 를, 주황색 영역이 삼각형 넓이 $\frac{1}{2}\{f(t)\}^2$ 를 직관적으로 보여줍니다.

Step 3

넓이의 최댓값을 찾기 위한 미분

$S(t)$의 최댓값을 구하기 위해 양변을 $t$에 대하여 미분합니다. 미적분학의 기본정리와 합성함수 미분법이 적용됩니다.

S'(t) = \frac{d}{dt} \left( \int_{0}^{t} f(x) dx \right) + \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} \{f(t)\}^2 \right) $$ $$ S'(t) = f(t) + \frac{1}{2} \cdot 2 f(t) \cdot f'(t) $$ $$ S'(t) = f(t) + f(t)f'(t) = f(t) \{1 + f'(t)\}

극값을 찾기 위해 $S'(t) = 0$ 이 되는 지점을 찾습니다. $0 < t < 6$ 에서 $f(t) > 0$ 이므로 $f(t)$는 $0$이 될 수 없습니다. 따라서 반드시 $1 + f'(t) = 0 \implies f'(t) = -1$ 이어야 합니다.

Step 4

$f'(t) = -1$ 을 만족하는 $t$값 도출

먼저 $f(x)$를 전개하고 미분하여 $f'(x)$를 구합니다.

f(x) = \frac{1}{9}(x^3 - 15x^2 + 54x) $$ $$ f'(x) = \frac{1}{9}(3x^2 - 30x + 54) = \frac{1}{3}(x^2 - 10x + 18)

이를 $f'(t) = -1$ 식에 대입합니다.

\frac{1}{3}(t^2 - 10t + 18) = -1 $$ $$ t^2 - 10t + 18 = -3 $$ $$ t^2 - 10t + 21 = 0 \implies (t-3)(t-7) = 0

주어진 조건 $0 < t < 6$ 이므로, 이를 만족하는 해는 $t = 3$ 뿐입니다. ($t=3$ 좌우에서 $S'(t)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 이 점에서 최댓값을 가집니다.)

Step 5

최댓값 $S(3)$ 계산

최적의 $t$값을 넓이 함수 $S(t) = \int_{0}^{t} f(x) dx + \frac{1}{2}\{f(t)\}^2$ 에 대입하여 최종 값을 계산합니다.

1) $f(3)$ 의 값 (삼각형의 높이)

f(3) = \frac{1}{9} \cdot 3 \cdot (3-6) \cdot (3-9) = \frac{1}{9}(3)(-3)(-6) = \frac{54}{9} = 6

2) 곡선 부분 정적분 계산

\int_{0}^{3} \frac{1}{9}(x^3 - 15x^2 + 54x) dx = \frac{1}{9} \left[ \frac{1}{4}x^4 - 5x^3 + 27x^2 \right]_{0}^{3} $$ $$ = \frac{1}{9} \left( \frac{81}{4} - 135 + 243 \right) = \frac{1}{9} \left( \frac{81}{4} + 108 \right) = \frac{9}{4} + 12 = \frac{57}{4}

3) 최종 넓이 산출

S(3) = \frac{57}{4} + \frac{1}{2}(6)^2 = \frac{57}{4} + 18 = \frac{57}{4} + \frac{72}{4} = \frac{129}{4}

따라서 구하고자 하는 영역 넓이의 최댓값은 $\frac{129}{4}$

3 [이론 매칭]

정적분과 넓이

닫힌 구간에서 연속이고 항상 양의 값을 갖는 함수의 정적분 값은 해당 곡선과 $x$축 사이의 기하학적 넓이와 완벽히 일치한다는 개념을 활용합니다.

미적분학의 기본 정리 및 합성함수 미분법

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$ 의 정리와 $\frac{d}{dx} \{f(x)\}^n = n\{f(x)\}^{n-1} \cdot f'(x)$ 규칙을 융합하여 미지의 도함수를 빠르고 정확하게 도출합니다.

4 [실수 포인트 및 증명]

🚨 기하학적 형상 오인 : '접선'이라는 착각

많은 학생들이 $x \ge t$ 영역의 직선 식 $y = -(x-t) + f(t)$ 를 곡선 밖이나 곡선 위의 '접선'으로 착각하는 실수를 범합니다. 식을 자세히 관찰하면 이 직선은 $(t, f(t))$를 지나지만, 기울기가 $f'(t)$가 아닌 고정된 상수 $-1$입니다.

분석적 검증 :

만약 이 선이 정말로 접선이었다면, 넓이가 최대가 되는 상황 $f'(t) = -1$ 을 찾았을 때 이 직선은 우연히 그 순간에만 접선이 됩니다. 하지만 함수 $g(x)$ 자체가 접선으로 정의된 것이 아님을 명심해야 합니다. 단순히 주어진 점부터 아래로 45도 각도로 내려가는 직선이 $x$축과 만드는 고정된 형태의 '직각이등변삼각형' 넓이를 계산 식에 편입시켜야 합니다.

5 [핵심 이론 증명]

넓이 함수 미분 원리 증명 (미적분학의 제1기본정리)

우리가 식을 세울 때 사용한 $\frac{d}{dt} \int_{0}^{t} f(x) dx = f(t)$ 에 대한 간략한 유도 과정입니다.

함수 $f(x)$의 한 부정적분을 $F(x)$라고 정의합니다. 즉 $F'(x) = f(x)$ 입니다.

\int_{0}^{t} f(x) dx = F(t) - F(0)

위 식의 양변을 매개변수 $t$에 대하여 미분하면, $F(0)$은 상수이므로 미분하면 $0$이 됩니다.

\frac{d}{dt} \left( F(t) - F(0) \right) = F'(t) - 0 = f(t)

따라서 도함수는 피적분함수 $f$에 윗끝 변수 $t$를 대입한 것과 완벽히 동일해짐을 논리적으로 증명할 수 있습니다.

기하학적 넓이 시뮬레이터 (2D)

슬라이더를 움직여 $t$값을 변화시켜 보세요. $t=3$일 때 전체 넓이가 최대가 됨을 시각적으로 확인하고, 삼각형 영역이 어떻게 더해지는지 관찰하세요.

x축: 좌표 / y축: g(x) 값
🖱️ 캔버스 드래그로 이동, 휠로 확대/축소

★ 최댓값 도달 (t=3)

절단점 $t$ 위치 조정 t = 3.00

정적분 영역(파랑)

14.25

삼각형 영역(주황)

18.00

총 넓이 S(t)

32.25