수능 출제 분석

기하와 삼각함수의 활용

사인법칙과 코사인법칙을 넘나드는 삼각형의 넓이 및 외접원 추론

Q [문제 원문]

13. 그림과 같이

\overline{AB}=3, \quad \overline{BC}=\sqrt{13}, \quad \overline{AD} \times \overline{CD}=9, \quad \angle BAC=\frac{\pi}{3}

인 사각형 ABCD가 있다. 삼각형 ABC의 넓이를 $S_1$, 삼각형 ACD의 넓이를 $S_2$라 하고, 삼각형 ACD의 외접원의 반지름의 길이를 $R$이라 하자.

$ S_2 = \frac{5}{6}S_1 $ 일 때, $ \frac{R}{\sin(\angle ADC)} $ 의 값은? [4점]

①$\frac{54}{25}$

②$\frac{117}{50}$

③$\frac{63}{25}$

④$\frac{27}{10}$

⑤$\frac{72}{25}$

1 [출제의도]

이 문항은 평면기하학적 상황에서 삼각함수의 법칙을 자유자재로 활용하여 미지의 길이와 각도를 추론하는 능력을 종합적으로 평가합니다.

코사인법칙을 이용하여 주어진 삼각형의 나머지 한 변의 길이를 계산하는 능력
삼각형의 넓이 공식을 통해 두 삼각형의 넓이 비율 조건을 해석하는 능력
사인법칙을 활용하여 삼각형의 외접원 반지름과 내각의 사인값 사이의 관계식을 도출하는 능력

2 [상세 풀이] (Step-by-Step)

Step 1 (Click)

코사인법칙을 이용한 $\overline{AC}$의 길이 계산

우선 가장 많은 정보가 주어진 $\triangle ABC$를 분석합니다. 문제에서 $\overline{AB}=3, \overline{BC}=\sqrt{13}, \angle BAC=\frac{\pi}{3}$ 임을 제시하고 있습니다. $\overline{AC}$의 길이를 $x$라 두고 코사인법칙을 적용합니다.

\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 - 2 \cdot \overline{AB} \cdot \overline{AC} \cdot \cos(\angle BAC) $$ $$ (\sqrt{13})^2 = 3^2 + x^2 - 2 \cdot 3 \cdot x \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) $$ $$ 13 = 9 + x^2 - 6x \cdot \frac{1}{2} $$ $$ x^2 - 3x - 4 = 0

이차방정식을 인수분해하면 $(x-4)(x+1) = 0$ 이 됩니다. 길이는 항상 양수이므로 $\overline{AC} = 4$ 입니다.

참고 도형 연계 : 우측 시각화 패널에서 슬라이더를 Step 1로 맞추어 보세요. x축 위에 놓인 $\overline{AC}$의 길이가 4가 되는 순간, 코사인법칙에 의해 $\overline{BC}$의 길이가 정확히 $\sqrt{13}$이 되는 기하학적 구조를 확인할 수 있습니다.

Step 2 (Click)

넓이 조건을 통한 $\sin(\angle ADC)$ 도출

이제 $\triangle ABC$의 넓이 $S_1$을 계산할 수 있습니다.

S_1 = \frac{1}{2} \cdot \overline{AB} \cdot \overline{AC} \cdot \sin(\angle BAC) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}

문제의 조건 $S_2 = \frac{5}{6}S_1$ 에 대입하여 $\triangle ACD$의 넓이 $S_2$를 구합니다.

S_2 = \frac{5}{6} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{2}

한편, $\triangle ACD$의 넓이는 두 변과 끼인가를 이용하여 다음과 같이 표현됩니다. (이때 $\angle ADC = \theta$ 로 둡니다)

S_2 = \frac{1}{2} \cdot \overline{AD} \cdot \overline{CD} \cdot \sin \theta

조건에서 $\overline{AD} \times \overline{CD} = 9$ 라고 주어졌으므로 이를 대입합니다.

\frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \sin \theta = \frac{5\sqrt{3}}{2} \implies 9 \sin \theta = 5\sqrt{3} \implies \sin \theta = \frac{5\sqrt{3}}{9}

참고 도형 연계 : 우측 패널을 Step 2로 변경하세요. $\triangle ABC$와 $\triangle ACD$의 영역이 색상으로 표시되며, 주어진 곱($AD \times CD = 9$)을 만족하면서 해당 넓이를 구성하는 꼭짓점 D의 위치가 결정됩니다.

Step 3 (Click)

외접원의 반지름 $R$과 사인법칙

$\triangle ACD$의 외접원 반지름 $R$을 구하기 위해 사인법칙을 적용합니다. 마주보는 변 $\overline{AC}$와 각 $\angle ADC$의 관계를 이용합니다.

\frac{\overline{AC}}{\sin(\angle ADC)} = 2R $$ $$ \frac{4}{\sin \theta} = 2R \implies R = \frac{2}{\sin \theta}

참고 도형 연계 : 우측 패널을 Step 3으로 변경하세요. $\triangle ACD$를 둘러싸는 외접원(Circumcircle)이 그려집니다. 마주보는 선분 AC와 내각 D의 관계로 반지름 R이 형성되는 것을 확인할 수 있습니다.

Step 4 (Click)

목표 식의 최종 도출

문제에서 요구하는 최종 값은 $\frac{R}{\sin(\angle ADC)}$ 입니다. 앞서 구한 $R$ 식을 그대로 대입하여 계산을 마무리합니다.

\frac{R}{\sin \theta} = \frac{\frac{2}{\sin \theta}}{\sin \theta} = \frac{2}{\sin^2 \theta}

Step 2에서 구한 $\sin \theta = \frac{5\sqrt{3}}{9}$ 의 양변을 제곱합니다.

\sin^2 \theta = \left(\frac{5\sqrt{3}}{9}\right)^2 = \frac{25 \times 3}{81} = \frac{75}{81} = \frac{25}{27}

이를 식에 대입하면,

\text{목표값} = 2 \times \frac{27}{25} = \frac{54}{25}

따라서 구하고자 하는 최종 값은 $\frac{54}{25}$

3 [이론 매칭]

제2코사인법칙

삼각형의 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때, 나머지 한 변의 길이를 이차방정식 형태로 도출해 냅니다.

삼각형의 넓이 공식

$\frac{1}{2}ab\sin C$ 공식을 활용하여 넓이 비율을 각도와 변의 길이의 곱으로 치환하여 해석합니다.

사인법칙

삼각형의 외접원 반지름 $R$과 내각, 그리고 대변의 길이 사이의 불변하는 비례 관계를 수식화합니다.

4 [실수 포인트 및 증명]

🚨 이차방정식의 해 선택 오류 및 각도의 오인

Step 1에서 $\overline{AC}$를 구할 때 $x^2 - 3x - 4 = 0$ 이 나오며 해는 $x=4$ 또는 $x=-1$ 입니다. 선분의 길이는 음수가 될 수 없으므로 당연히 $4$를 택해야 하지만, 시험의 압박감 속에서 부호 연산 실수로 $\overline{AC}$의 길이를 잘못 구하는 경우가 빈번합니다.

목표 수식 $\frac{R}{\sin(\angle ADC)}$ 에 대한 오개념 :

학생들은 $R$ 값 자체와 $\angle ADC$ 의 각도 자체를 각각 구해야 한다고 착각하여 시간을 낭비하는 경향이 있습니다. 이 문제의 아름다움은 $R$ 과 $\sin(\angle ADC)$ 가 사인법칙을 통해 하나의 연결된 수식 덩어리로 치환된다는 점에 있습니다.

\frac{R}{\sin \theta} = \frac{\frac{2}{\sin \theta}}{\sin \theta}

즉, 개별 값을 독립적으로 구하는 것이 아니라, 수식 간의 유기적 결합을 파악하여 변수를 소거하는 것이 이 문제의 핵심 증명 논리입니다.

5 [핵심 이론 증명]

사인법칙의 기하학적 증명

이 문항의 해결을 가능하게 한 핵심 이론인 사인법칙 $\frac{a}{\sin A} = 2R$ 의 유도 과정입니다.

삼각형 $\triangle ABC$의 외접원의 중심을 $O$, 반지름을 $R$이라 합시다. 내각 $A$가 예각인 경우를 가정합니다.

점 $B$를 지나는 외접원의 지름을 긋고, 원과 만나는 다른 점을 $A'$라 합니다.
이때 선분 $BA'$는 지름이므로 길이는 $2R$ 입니다.
원주각의 성질에 의해 $\angle BAC = \angle BA'C$ (동일한 호 $BC$에 대한 원주각) 입니다.
또한, 지름에 대한 원주각은 직각이므로 $\angle BCA' = 90^\circ$ 가 되어 $\triangle A'BC$는 직각삼각형이 됩니다.

\sin A = \sin A' = \frac{\overline{BC}}{\overline{BA'}} = \frac{a}{2R}

위 식을 재배열하면 최종적으로 $\frac{a}{\sin A} = 2R$ 이라는 불후의 공식을 얻을 수 있습니다. 둔각 삼각형의 경우에도 내접사각형의 성질($\sin(180^\circ - A) = \sin A$)을 이용하여 동일하게 증명됩니다.

기하학적 추론 시뮬레이터 (2D)

좌표평면 위에서 도형이 어떻게 구성되는지 확인하세요. 하단의 슬라이더를 통해 각 Step별 기하학적 상황의 변화를 동적으로 추적할 수 있습니다.

[A좌표 고정] 중심 기반 좌표계

풀이 단계 시각화 Step 1 : $\triangle ABC$ 구성

Step1Step2Step3Step4