다항함수의 추론과 극한

Step 1 : $x \le 2$ 구간의 함수 분석

먼저 식이 온전히 주어진 $x \le 2$ 범위에서 $f(x) = 2x^3 - 6x + 1$의 그래프 개형을 파악합니다.

$f'(x) = 0$에서 $x = -1$ 또는 $x = 1$입니다.
- 극댓값 : $f(-1) = -2 + 6 + 1 = 5$
- 극솟값 : $f(1) = 2 - 6 + 1 = -3$
- 경곗값 : $f(2) = 16 - 12 + 1 = 5$

시각화 연계 : 우측 시각화 패널에서 슬라이더를 움직여 파란색 삼차함수 그래프의 극점 y좌표가 각각 $5$와 $-3$임을 확인하세요.

Step 2 : 교점의 개수 $g(t)$의 위험 구간 파악

주어진 조건은 특정 $k$에 대하여 $g(k) + \lim_{t \to k-} g(t) + \lim_{t \to k+} g(t) = 9$ 를 만족하는 $k$가 오직 1개뿐이어야 한다는 것입니다.

만약 어떤 열린 구간 $(c, d)$에서 $g(t) = 3$으로 일정하다면, 그 구간 내의 모든 실수 $k$에 대하여 함숫값, 좌극한, 우극한이 모두 $3$이 되어 합이 $9$가 됩니다. 이는 $k$가 무수히 많아지는 결과를 초래하므로 문제의 조건에 위배됩니다.

Step 3 : $x > 2$ 구간 이차함수의 최솟값 $m$ 추론

$x \le 2$ 구간의 삼차함수만 고려했을 때 교점의 개수를 $g_1(t)$라 하면, $-3 < t < 5$ 구간에서 $g_1(t) = 3$ 입니다. 따라서 이 구간에서 $g(t)$가 $3$이 되는 것을 막으려면, $x > 2$ 구간의 이차함수가 이 구간과 겹치는 부분에서 반드시 추가적인 교점을 만들어내야 합니다.

$x > 2$에서의 함수는 $f(x) = a(x-2)(x-b) + 9$ 이며 $a, b$는 자연수입니다. 이 이차함수는 점 $(2, 9)$에서 시작하여 아래로 볼록한 형태를 띱니다. 최솟값을 $m$이라 합시다.

• 만약 $m < -3$ 이라면, 구간 $(m, -3)$에서 삼차함수 교점 1개, 이차함수 교점 2개로 총합 $g(t)=3$이 되는 새로운 구간이 발생하여 모순입니다.
• 만약 $m > -3$ 이라면, 구간 $(-3, m)$에서 삼차함수 교점 3개, 이차함수 교점 0개로 총합 $g(t)=3$이 되어 모순입니다.

따라서 이차함수의 최솟값 $m$은 정확히 $-3$이 되어야만 합니다!

Step 4 : $a, b$ 관계식 도출 및 최댓값 계산

이차함수 $f(x) = a(x-2)(x-b) + 9$ 의 대칭축은 $x = \frac{b+2}{2}$ 이며, 여기서 최솟값 $-3$을 가집니다. (이때 대칭축이 $x>2$ 범위에 있어야 하므로 $b \ge 3$ 입니다.)

$a, b$가 자연수이므로 $(b-2)^2$은 $48$의 약수 중 제곱수여야 합니다. 가능한 제곱수는 $1, 4, 16$ 입니다.

• $(b-2)^2 = 1 \implies b = 3, a = 48 \implies a+b = 51$
• $(b-2)^2 = 4 \implies b = 4, a = 12 \implies a+b = 16$
• $(b-2)^2 = 16 \implies b = 6, a = 3 \implies a+b = 9$

이 중 $a+b$의 최댓값은 $51$입니다.