삼각함수의 성질과 삼각부등식의 활용
주기성과 대칭성을 이용한 방정식과 부등식의 해결
Q [문제 원문]
19. 함수 $f(x) = \sin \frac{\pi}{4}x$ 라 할 때, $0 < x < 16$ 에서 부등식
을 만족시키는 모든 자연수 $x$ 의 값의 합을 구하시오. [3점]
1 [출제의도]
이 문항은 삼각함수의 평행이동과 대칭이동을 이해하여 주어진 식을 간단히 정리하는 능력과, 이를 바탕으로 제한된 범위 내에서 삼각부등식을 해결하는 대수적 추론 능력을 평가합니다. 특히 삼각함수의 각 변환 공식(여각 공식)을 정확히 적용할 수 있는지를 묻고 있습니다.
2 [상세 풀이]
Step 1 : 삼각함수의 식 변형
주어진 함수 $f(x) = \sin \frac{\pi}{4}x$ 에 $x$ 대신 $2+x$ 와 $2-x$ 를 각각 대입하여 식을 정리합니다.
참고 도형 1 : 삼각함수의 각 변환 기하학적 의미
Step 2 : 부등식의 재구성
구해진 식을 원래의 부등식에 대입하여 $\cos$ 에 대한 2차 부등식으로 만듭니다.
제곱을 풀면 다음과 같은 범위를 얻습니다.
참고 도형 2 : 이차부등식의 해 영역
Step 3 : 치환 및 정의역 설정
계산의 편의를 위해 $t = \frac{\pi}{4}x$ 로 치환합니다. 이때 $x$ 의 범위가 $0 < x < 16$ 이므로, $t$ 의 범위를 새롭게 구해야 합니다.
따라서 우리가 풀어야 할 문제는 다음과 같이 단순화됩니다.
" $0 < t < 4\pi$ 에서 $-\frac{1}{2} < \cos t < \frac{1}{2}$ 를 만족하는 $t$ 의 범위를 구하라."
참고 도형 3 : x축에서 t축으로의 정의역 매핑
Step 4 : 삼각부등식의 해 도출
$y = \cos t$ 의 그래프를 $0 < t < 4\pi$ (주기 2번) 범위에서 그리고, $y = -\frac{1}{2}$ 와 $y = \frac{1}{2}$ 사이의 영역을 찾습니다.
- $\cos t = \frac{1}{2}$ 이 되는 특수각 : $t = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}$
- $\cos t = -\frac{1}{2}$ 이 되는 특수각 : $t = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}$
부등식을 만족하는 $t$ 의 구간은 다음과 같습니다.
참고 도형 4 : t축 상의 cos(t) 그래프와 유효 영역
Step 5 : 자연수 $x$ 추출 및 합산
구해진 $t$ 의 구간을 다시 $x = \frac{4}{\pi}t$ 를 이용하여 $x$ 의 구간으로 환산합니다. (즉, 각 항에 $\frac{4}{\pi}$ 를 곱합니다.)
1) $\frac{4}{3} < x < \frac{8}{3}$ (약 $1.33 < x < 2.66$) $\implies$ 자연수 $x = 2$
2) $\frac{16}{3} < x < \frac{20}{3}$ (약 $5.33 < x < 6.66$) $\implies$ 자연수 $x = 6$
3) $\frac{28}{3} < x < \frac{32}{3}$ (약 $9.33 < x < 10.66$) $\implies$ 자연수 $x = 10$
4) $\frac{40}{3} < x < \frac{44}{3}$ (약 $13.33 < x < 14.66$) $\implies$ 자연수 $x = 14$
모든 자연수 $x$ 의 합 : $2 + 6 + 10 + 14 = 32$
3 [이론 매칭]
삼각함수의 각 변환 공식
$\sin(\frac{\pi}{2} \pm \theta) = \cos\theta$ 를 이용하여 복잡한 형태의 삼각함수를 단순화합니다.
이차부등식의 풀이
$X^2 < a^2$ 꼴의 부등식을 $-a < X < a$ 로 변환하여 삼각함수의 값의 범위를 특정합니다.
치환적분 및 정의역의 스케일링
복잡한 각도를 $t$ 로 치환할 때, 변수 $x$ 의 범위에 맞추어 $t$ 의 새로운 범위를 정확히 산출합니다.
4 [실수 포인트 및 증명]
🚨 이차부등식의 음수 범위 누락 및 주기 확인 실수
학생들이 자주 범하는 첫 번째 실수는 $\cos^2(\frac{\pi}{4}x) < \frac{1}{4}$ 을 풀 때, $\cos(\frac{\pi}{4}x) < \frac{1}{2}$ 만 고려하고 음수 범위인 $-\frac{1}{2}$ 보다 크다는 조건을 빠뜨리는 것입니다.
두 번째 실수는 치환된 변수 $t$ 의 범위를 $0 < t < 2\pi$ (1주기) 로만 한정하여, $2\pi < t < 4\pi$ 범위에 존재하는 해를 놓치는 것입니다.
수학적 증명 : $X^2 < k^2 \iff -k < X < k$ (단, $k>0$)
$X^2 < k^2$ 식의 우변을 좌변으로 이항합니다.
$X^2 - k^2 < 0$
합차 공식을 이용하여 인수분해합니다.
$(X - k)(X + k) < 0$
이차함수 $y = (X-k)(X+k)$ 의 그래프는 아래로 볼록하며, x축과 만나는 점은 $X = -k, k$ 입니다.
$y < 0$ 인 구간은 두 근 사이이므로, 결과적으로 $-k < X < k$ 가 성립함이 증명됩니다.
5 [핵심 이론 증명]
$\sin(\frac{\pi}{2} + \theta) = \cos\theta$ 의 기하학적 증명
좌표평면(x축, y축) 위의 단위원 $x^2 + y^2 = 1$ 을 생각합시다.
- x축의 양의 방향을 시초선으로 하여 동경이 이루는 각이 $\theta$ 인 점을 $P$ 라고 하면, 점 $P$ 의 좌표는 $(\cos\theta, \sin\theta)$ 입니다.
- 이 동경을 원점을 중심으로 반시계 방향으로 $\frac{\pi}{2}$ 만큼 회전시킨 점을 $P'$ 이라고 합시다. 이때 동경의 각도는 $\frac{\pi}{2} + \theta$ 가 됩니다.
- 따라서 점 $P'$ 의 정의에 의한 좌표는 $(\cos(\frac{\pi}{2} + \theta), \sin(\frac{\pi}{2} + \theta))$ 입니다.
- 기하학적으로 점 $P(a, b)$ 를 원점 기준으로 $90^\circ$ 회전시키면 점 $P'(-b, a)$ 가 됩니다.
- 즉, $P'$ 의 y좌표인 $\sin(\frac{\pi}{2} + \theta)$ 는 점 $P$ 의 x좌표인 $\cos\theta$ 와 일치하게 됩니다.
원점을 기준으로 90도 회전된 점의 좌표 변화
결론 : $\sin(\frac{\pi}{2} + \theta) = \cos\theta$