미분계수와 기하학적 성질의 융합
접선의 방정식과 직각삼각형 원주각 조건의 통합 해석
Q [문제 원문]
20. $a > \sqrt{2}$ 인 실수 $a$ 에 대하여 함수 $f(x)$ 를
라 하자. 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $\text{O}(0, 0)$ 에서의 접선이 곡선 $y = f(x)$ 와 만나는 점 중 $\text{O}$ 가 아닌 점을 $\text{A}$ 라 하고, 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $\text{A}$ 에서의 접선이 $x$ 축과 만나는 점을 $\text{B}$ 라 하자. 점 $\text{A}$ 가 선분 $\text{OB}$ 를 지름으로 하는 원 위의 점일 때, $\overline{\text{OA}} \times \overline{\text{AB}}$ 의 값을 구하시오. [4점]
1 [출제의도]
이 문항은 삼차함수의 미분법을 활용하여 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식을 도출하고, 주어진 기하학적 조건(지름에 대한 원주각이 $90^\circ$ 인 성질)을 수직 조건으로 해석하여 대수적으로 미지수를 구하는 능력을 평가합니다. 대수적 계산 능력과 중학 도형의 기하학적 직관을 연계하여 문제를 단순화하는 종합적 사고력을 요구합니다.
2 [상세 풀이]
Step 1 : 원점에서의 접선의 방정식과 점 A의 좌표 구하기
함수 $f(x) = -x^3 + ax^2 + 2x$ 를 $x$ 에 대해 미분합니다.
원점 $\text{O}(0, 0)$ 에서의 접선의 기울기는 $f'(0) = 2$ 이므로 원점을 지나는 접선의 방정식은 다음과 같습니다.
이 접선과 곡선 $y = f(x)$ 의 교점을 구하기 위해 방정식을 연립합니다.
$x = 0$ 은 접점 $\text{O}$ 의 $x$ 좌표이므로, 점 $\text{O}$ 가 아닌 교점 $\text{A}$ 의 $x$ 좌표는 $x = a$ 입니다. 이를 접선의 방정식 $y = 2x$ 에 대입하면 점 $\text{A}$ 의 좌표를 도출할 수 있습니다.
참고 도형 1 : 원점에서의 접선 $y=2x$ 와 삼차함수 $y=f(x)$ 의 부드러운 곡선 교차
Step 2 : 점 A에서의 접선의 방정식과 점 B의 좌표 구하기
점 $\text{A}(a, 2a)$ 에서의 접선의 기울기를 구하기 위해 $f'(x)$ 에 $x = a$ 를 대입합니다.
따라서 점 $\text{A}$ 를 지나고 기울기가 $-a^2 + 2$ 인 접선의 방정식은 다음과 같습니다.
이 접선이 $x$ 축과 만나는 점 $\text{B}$ 의 $x$ 좌표를 구하기 위해 $y = 0$ 을 대입합니다.
참고 도형 2 : 점 $\text{A}$ 에서의 접선이 $x$ 축과 명확히 만나는 교점 $\text{B}$ 의 관계
Step 3 : 원주각의 성질 및 수직 조건 적용
문제의 핵심 조건인 "점 A가 선분 OB를 지름으로 하는 원 위의 점" 에 주목합니다.
원에서 지름에 대한 원주각의 크기는 항상 $90^\circ$ 이므로, 삼각형 $\text{OAB}$ 는 $\angle \text{OAB} = 90^\circ$ 인 직각삼각형이 됩니다. 즉, 선분 $\text{OA}$ 와 선분 $\text{AB}$ 는 서로 수직입니다.
- 직선 $\text{OA}$ 의 기울기 $m_1 = 2$
- 직선 $\text{AB}$ 의 기울기 $m_2 = -a^2 + 2$
두 직선이 수직일 필요충분조건은 기울기의 곱이 $-1$ 이 되는 것입니다.
($a > \sqrt{2}$ 조건에 근거하여 $a^2 = 2.5 > 2$ 성립)
참고 도형 3 : 지름 $\text{OB}$ 에 대한 원주각 $\angle \text{OAB} = 90^\circ$ 과 직각 조건
Step 4 : 직각삼각형 넓이 식 관계식 수립
구하고자 하는 값은 $\overline{\text{OA}} \times \overline{\text{AB}}$ 입니다. 직각삼각형 $\text{OAB}$ 에서 이 값은 두 직교하는 변의 곱이므로 삼각형 넓이 $S$ 의 $2$ 배입니다.
한편 삼각형 $\text{OAB}$ 의 넓이는 밑변 $\overline{\text{OB}}$ 의 길이와 높이(점 $\text{A}$ 의 $y$ 좌표인 $2a$)를 이용해서도 구할 수 있습니다.
Step 5 : 최종 목표 값 계산
위의 두 식을 조합하여 $\overline{\text{OA}} \times \overline{\text{AB}}$ 의 대수적 표현을 정리합니다.
Step 3 에서 구한 $a^2 = \frac{5}{2}$ 를 대입합니다. ($a^4 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}$)
3 [이론 매칭]
미분계수와 접선의 방정식
곡선 $y = f(x)$ 위점 $(t, f(t))$ 에서의 접선의 기울기는 미분계수 $f'(t)$ 이며 접선은 $y - f(t) = f'(t)(x - t)$ 로 표현됩니다.
두 직선의 수직 조건
기울기가 각각 $m_1, m_2$ 인 두 직선이 직교할 필요충분조건은 두 기울기의 곱이 $m_1 \times m_2 = -1$ 이 되는 것입니다.
원주각의 성질
반원에 대한 원주각의 크기는 항상 $90^\circ$ 입니다. 원의 지름을 한 변으로 가지는 원 내접삼각형은 직각삼각형입니다.
삼각형의 넓이 관계식
직각삼각형의 넓이는 직교하는 두 변의 곱의 절반으로 구할 수 있으며, 좌표축 상의 밑변과 높이의 곱의 절반과 동일합니다.
4 [실수 포인트 및 증명]
🚨 점 B의 x좌표 분모의 조건 미확인 오류
점 $\text{B}$ 의 $x$ 좌표를 도출할 때 식을 $x - a = \frac{2a}{a^2 - 2}$ 로 변형하게 됩니다. 이때 분모 $a^2 - 2 \neq 0$ 조건을 간과하기 쉽습니다. 문제에서 제시된 조건 $a > \sqrt{2}$ 가 존재하는 기하학적 이유를 이해해야 합니다.
수학적 증명 : $a = \sqrt{2}$ 일 때 점 B가 존재할 수 없는 이유
만약 $a = \sqrt{2}$ 라면 점 $\text{A}(\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$ 에서의 접선 기울기 $f'(\sqrt{2})$ 를 계산하면 다음과 같습니다.
$f'(\sqrt{2}) = -(\sqrt{2})^2 + 2 = -2 + 2 = 0$
접선의 기울기가 $0$ 이 된다는 것은 점 $\text{A}$ 에서의 접선이 $x$ 축과 평행한 수평선 $y = 2\sqrt{2}$ 가 됨을 의미합니다. $x$ 축과 평행한 직선은 $x$ 축과 만날 수 없으므로 교점 $\text{B}$ 가 정의될 수 없습니다. 따라서 문제 성립을 위한 필수 조건으로 $a > \sqrt{2}$ 가 주어진 것입니다.
5 [핵심 이론 증명]
두 직선이 수직일 때 기울기의 곱이 -1이 되는 논리적 유도 과정
좌표평면 상에서 원점을 지나는 두 직선 $l_1 : y = m_1 x$, $l_2 : y = m_2 x$ 가 서로 수직으로 만난다고 가정합니다.
- 직선 $x = 1$ 과 두 직선 $l_1, l_2$ 의 교점을 각각 $\text{P}(1, m_1)$, $\text{Q}(1, m_2)$ 라 지정합니다.
- 원점을 $\text{O}(0, 0)$ 이라 하면, 삼각형 $\text{POQ}$ 는 $\angle \text{POQ} = 90^\circ$ 인 직각삼각형입니다.
- 피타고라스 정리에 의해 $\overline{\text{PQ}}^2 = \overline{\text{OP}}^2 + \overline{\text{OQ}}^2$ 가 성립합니다.
- 좌표 사이의 거리 공식을 대입합니다.
$\overline{\text{PQ}}^2 = (m_1 - m_2)^2$
$\overline{\text{OP}}^2 = 1^2 + m_1^2$
$\overline{\text{OQ}}^2 = 1^2 + m_2^2$ - 대수 식을 전개하여 정리합니다.
$m_1^2 - 2m_1m_2 + m_2^2 = (1 + m_1^2) + (1 + m_2^2)$
$-2m_1m_2 = 2 \implies m_1m_2 = -1$
결론 : 기울기가 존재하는 두 직선이 수직이 될 조건은 $m_1 \times m_2 = -1$ 입니다.
동적 기하 시뮬레이터
실수 $a$ 의 변화에 따라 점 $\text{A}, \text{B}$ 의 위치와 원의 크기가 변하며, 삼각형 $\text{OAB}$ 가 직각삼각형이 되는 정답 순간($a^2 = 2.5$)을 실시간으로 탐색할 수 있습니다.