수능 출제 분석

구간별 정의된 함수의 교차점과 최솟값 분석

슬라이딩 윈도우에서의 연속함수 최댓값 추론

Q [문제 원문]

21. 양수 $a$ 에 대하여 $x \ge -1$ 에서 정의된 함수 $f(x)$ 는

$$ f(x) = \begin{cases} -x^2 + 6x & (-1 \le x < 6) \\ a \log_4(x-5) & (x \ge 6) \end{cases} $$

이다. $t \ge 0$ 인 실수 $t$ 에 대하여 닫힌구간 $[t-1, t+1]$ 에서의 $f(x)$ 의 최댓값을 $g(t)$ 라 하자. 구간 $[0, \infty)$ 에서 함수 $g(t)$ 의 최솟값이 $5$ 가 되도록 하는 양수 $a$ 의 최솟값을 구하시오. [4점]

① 6
② 8
③ 10
④ 12
⑤ 14

1 [출제의도]

본 문항은 구간에 따라 다르게 정의된 함수(이차함수와 로그함수)의 그래프 개형을 완벽히 파악하고, 일정한 길이($2$)를 가진 닫힌구간이 이동할 때 발생하는 함수 최댓값의 변화 양상을 추론하는 능력을 평가합니다. 특히, 감소하는 함수와 증가하는 함수가 교차하는 구간에서 새로운 함수 $g(t)$ 의 최솟값이 형성되는 원리를 대수적으로 설계할 수 있는지 묻는 최고난도 추론 문항입니다.

2 [상세 풀이]

Step 1 : 함수 f(x)의 구간별 형태 분석

먼저 $f(x)$ 를 구간별로 나누어 완전제곱꼴로 변형하고 특징을 파악합니다.

  • $x \in [-1, 6)$ 일 때 : $f(x) = -x^2 + 6x = -(x-3)^2 + 9$
    꼭짓점이 $(3, 9)$ 인 위로 볼록한 이차함수입니다. $f(-1) = -7$, $f(5) = 5$, $f(6) \to 0$ 입니다.
  • $x \ge 6$ 일 때 : $f(x) = a \log_4(x-5)$
    $x=6$ 일 때 $f(6) = a \log_4(1) = 0$ 이므로, 함수 $f(x)$ 는 $x=6$ 에서 연속입니다. 이 구간에서는 단조증가합니다.

참고 도형 1 : 함수 $f(x)$ 의 전체적인 그래프 개형

x축 y축 y = -x² + 6x (3, 9) O (6, 0) y = a log₄(x-5) (5, 5)

Step 2 : 구간에 따른 최댓값 함수 g(t)의 정의 해석

$g(t)$ 는 구간 길이 $2$ 인 창(window) $[t-1, t+1]$ 내에서 함수 $f(x)$ 가 가지는 가장 큰 $y$ 값을 의미합니다. $t \ge 0$ 이므로 탐색 창은 $[-1, 1]$ 부터 시작하여 오른쪽으로 이동합니다.

t 값의 변화에 따른 $g(t)$ 의 흐름

  • $t=0$ 일 때 : 창은 $[-1, 1]$, 함수는 증가 상태이므로 최댓값은 오른쪽 끝점인 $f(1) = 5$ 입니다. 따라서 $g(0) = 5$.
  • 창이 꼭짓점 $x=3$ 을 포함할 때 ($t-1 \le 3 \le t+1 \implies 2 \le t \le 4$) : 최댓값은 항상 꼭짓점의 $y$ 값인 $g(t) = 9$ 입니다.

문제의 조건에서 $g(t)$ 의 최솟값이 5가 되어야 한다고 했습니다. $t=0$ 일 때 이미 $g(0) = 5$ 이며, $t \le 4$ 구간에서는 $g(t) \ge 5$ 가 보장됩니다. 관건은 $t > 4$ 일 때 $g(t)$ 가 $5$ 밑으로 떨어지지 않게 방어하는 것입니다.

Step 3 : t > 4 에서의 g(t) 분석 및 교차점 확인

$t > 4$ 이면 탐색 창 $[t-1, t+1]$ 은 이차함수의 꼭짓점($x=3$)을 완전히 지나쳐 우측으로 내려가는 구간에 위치합니다. 이때 구간 내의 $f(x)$ 는 $x=6$ 을 기준으로 감소하다가 다시 증가하는 'U자' 형태가 됩니다.

$$ g(t) = \max \{ f(t-1), f(t+1) \} $$ (감소 후 증가하는 함수 구간에서는 항상 양 끝점 중 하나가 최댓값이 됩니다.)

왼쪽 끝점의 함숫값 $f(t-1) = -(t-1-3)^2 + 9 = -(t-4)^2 + 9$ 는 $t$ 가 커짐에 따라 급격히 감소합니다. 이 값이 정확히 $5$ 가 되는 순간을 찾아봅시다.

$$ -(t-4)^2 + 9 = 5 \implies (t-4)^2 = 4 \implies t = 6 \quad (t > 4) $$

참고 도형 2 : $t=6$ 일 때의 탐색 창 $[5, 7]$ 과 양 끝점의 경쟁

t-1=5 t+1=7 f(5)=5 f(7) = a log₄(2)

Step 4 : 최솟값 5를 방어하기 위한 상수 a의 조건 도출

$t = 6$ 일 때 왼쪽 끝점의 값은 $f(5) = 5$ 입니다. 만약 $t$ 가 $6$ 보다 조금이라도 커지게 되면, $f(t-1)$ 은 $5$ 보다 작아지게 됩니다.

이때 $g(t) = \max\{f(t-1), f(t+1)\}$ 의 값이 $5$ 미만으로 추락하는 것을 막기 위해서는, 오른쪽 끝점인 $f(t+1)$ 이 그 역할을 넘겨받아 $5$ 이상의 값을 유지해 주어야 합니다. 따라서 $t=6$ 인 순간에 오른쪽 끝점의 값 $f(7)$ 은 최소한 $5$ 이상이 되어야 합니다.

$$ f(7) \ge 5 $$ $$ a \log_4(7-5) \ge 5 $$ $$ a \log_4(2) \ge 5 $$

$\log_4(2) = \frac{1}{2}$ 이므로, 부등식을 풀면 다음과 같습니다.

$$ \frac{1}{2} a \ge 5 \implies a \ge 10 $$

따라서 양수 $a$ 의 최솟값은 10 입니다.

3 [이론 매칭]

이차함수의 최대와 최소

제한된 범위에서 이차함수의 꼭짓점 포함 여부에 따라 최댓값과 최솟값이 결정되는 원리.

로그함수의 그래프

밑이 $1$ 보다 큰 로그함수($y=\log_4 x$)의 단조 증가 성질과 평행이동에 대한 이해.

닫힌구간에서의 최대·최소 정리

연속함수는 닫힌구간 안에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가짐을 활용하여 $g(t)$ 를 정의.

새롭게 정의된 함수의 해석

독립변수 $t$ 의 변화에 따른 종속변수 $g(t)$ 의 변화 양상을 기하학적 교차점으로 모델링.

4 [실수 포인트 및 증명]

🚨 g(t)의 최솟값을 단순히 f(x)의 극솟값으로 착각하는 오류

학생들은 종종 함수 $f(x)$ 가 $x=6$ 에서 최솟값 $0$ 을 가지므로, 창 $[t-1, t+1]$ 이 $x=6$ 을 지나갈 때 $g(t)$ 도 $0$ 에 근접할 것이라고 직관적인 착각을 합니다. 하지만 $g(t)$ 는 구간 내의 최댓값을 의미합니다.

수학적 증명 : U자형 함수에서의 구간 최댓값

함수 $f(x)$ 가 특정 점 $c$ 를 기준으로 감소하다가 증가한다고 가정합시다. 구간 $[t-w, t+w]$ 가 $c$ 를 포함할 때, 구간 내의 최댓값은 절대로 $f(c)$ 가 될 수 없으며 양 끝점인 $f(t-w)$ 와 $f(t+w)$ 중 큰 값에 의해 결정됩니다.

두 끝점이 경쟁할 때 $g(t)$ 가 가장 작아지는 순간은 두 값이 같아질 때, 즉 $f(t-w) = f(t+w)$ 인 순간입니다. 한쪽이 내려가면 반드시 다른 한쪽은 올라가는 구조이기 때문입니다. 본 문제에서는 $f(t-1)$ 과 $f(t+1)$ 이 교차하는 점이 $y=5$ 이상에서 형성되어야 전체 최솟값이 $5$ 를 방어할 수 있습니다.

동적 함수 시뮬레이터

t의 변화에 따른 탐색 구간의 이동과 궤적 함수 g(t)의 방어선을 확인하세요.

y = f(x) 및 탐색 구간 [t-1, t+1]
y = g(t) (구간 내 최댓값 궤적)
시간 t 조절 ($0 \sim 8$) t = 0.0
상수 a 조절 ($5 \sim 15$) a = 10.0
5.0 | 정답: 10 15.0
실시간 모니터링
t 값 : 0.0
탐색 구간 : [-1, 1]
f(t-1) 값 : 0.00
f(t+1) 값 : 0.00
g(t) (Max) : 0.00
슬라이더를 움직여 그래프 변화를 확인하세요.