25. 양의 실수 전체의 집합에서 정의되고 미분가능한 두 함수 $f(x), g(x)$ 가 있다. $g(x)$ 는 $f(x)$ 의 역함수이고, $g'(x)$ 는 양의 실수 전체의 집합에서 연속이다. 모든 양수 $a$ 에 대하여
이고 $f(1) = 8$ 일 때, $f(2)$ 의 값은? [3점]
본 문항은 역함수의 미분법을 이용하여 복잡한 피적분함수를 적분 가능한 형태로 변형하고, 이를 바탕으로 치환적분법(또는 로그함수의 적분)을 수행하여 원래 함수 $f(x)$ 의 식을 추론해내는 능력을 평가합니다. 겉보기에는 복잡한 합성함수 형태의 적분식처럼 보이지만, 역함수의 핵심 성질을 꿰뚫어 보면 매우 간결한 형태의 정적분으로 귀결되는 우수한 문항입니다.
두 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$ 가 서로 역함수 관계이므로, 합성함수의 정의에 의해 다음 식이 성립합니다.
양변을 $x$ 에 대하여 미분하면 (합성함수의 미분법)
이 결과를 주어진 정적분 식의 피적분함수에 대입하면, 분모에 있던 $g'(f(x))$ 가 분자의 $f'(x)$ 로 변환됩니다.
변형된 피적분함수를 원래의 적분 식에 대입합니다.
참고 도형 1 : 치환적분법에 의한 적분 영역의 변환
위 시각화 자료는 원본 변수 $x$ 공간에서 정의된 정적분이 치환적분($t = f(x)$)을 통해 새로운 변수 $t$ 공간으로 넘어가는 과정을 보여줍니다. 왼쪽 그래프는 원본 변수 $x$ 에 대한 피적분함수 $y = \frac{f'(x)}{f(x)}$ 의 면적을 나타냅니다.
오른쪽 그래프는 치환된 변수 $t$ 에 대한 피적분함수 $y = \frac{1}{t}$ 의 그래프입니다. 적분 구간은 $x=1$ 일 때 $t=f(1)=8$ 로, $x=a$ 일 때 $t=f(a)$ 로 변환됩니다. 기하학적으로 모양이 달라 보여도 색칠된 두 영역의 넓이는 완전히 동일하며, 그 값은 $\ln f(a) - \ln 8$ 로 도출됩니다.
$\frac{f'(x)}{f(x)}$ 는 $\ln|f(x)|$ 를 미분한 형태이므로, 정적분을 계산하면 다음과 같습니다. (조건에서 $f(x)$ 는 양수이므로 절댓값 기호는 생략합니다.)
문제의 조건에서 $f(1) = 8$ 이 주어졌으므로 식을 대입하고, 우변의 식과 비교합니다.
우변의 로그 식을 하나로 합쳐서 정리해 보겠습니다.
양변의 진수를 비교하면, $f(a) = 4a^2(a+1) = 4a^3 + 4a^2$ 이 성립함을 알 수 있습니다.
최종적으로 함수 $f(x) = 4x^3 + 4x^2$ 에 $x = 2$ 를 대입하여 값을 구합니다.
따라서 정답은 ④ 48 입니다.
합성함수 $g(f(x)) = x$ 를 미분하여 유도되는 $g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1$ 의 성질을 활용.
피적분함수가 $\frac{f'(x)}{f(x)}$ 형태일 때, 이는 $\ln|f(x)|$ 의 미분 형태임을 인지하고 정적분 수행.
$\ln A + \ln B = \ln(AB)$, $n\ln A = \ln(A^n)$ 등 로그의 기본 연산 법칙 적용.
많은 학생들이 $g'(y) = \frac{1}{f'(x)}$ 라는 공식만 암기한 채, 주어진 정적분 식에서 $g'(f(x))$ 를 어떻게 처리해야 할지 당황하는 경우가 많습니다. 특히, 치환적분을 시도할 때 연쇄법칙(Chain Rule)에 의한 $f'(x)$ 의 등장을 제대로 파악하지 못해 오답으로 빠지기 쉽습니다.
역함수 미분법 공식이 바로 떠오르지 않는다면, 원시적인 치환적분법을 통해 증명하듯 돌파할 수 있습니다.
정적분 식에서 $f(x) = t$ 로 치환합시다. 양변을 미분하면 $f'(x) dx = dt \implies dx = \frac{1}{f'(x)} dt$ 가 됩니다.
적분 구간은 $x=1 \implies t=f(1)=8$, $x=a \implies t=f(a)$ 가 됩니다.
식을 치환하여 써보면 : $\int_{8}^{f(a)} \frac{1}{g'(t)} \cdot \frac{1}{f'(x)} dt$
여기서 역함수의 성질 $x = g(t)$ 이므로 $f'(x) = \frac{dx}{dt} = g'(t)$ 가 성립합니다. (음함수 미분법 관점)
따라서 $\frac{1}{g'(t)} \cdot \frac{1}{g'(t)}$ 인가? 아닙니다. 애초에 $g'(t)$ 가 역함수의 미분계수이므로 $g'(t) = \frac{1}{f'(x)}$ 입니다.
결국 $\frac{1}{g'(t)}$ 자체가 $f'(x)$ 이므로 식은 깔끔하게 약분되거나 변형됩니다. 이러한 혼동을 막기 위해 Step 1 처럼 $g(f(x))=x$ 양변 미분을 먼저 수행하는 것이 가장 안전합니다.
함수 $y = f(x)$ 의 역함수 $y = g(x)$ 는 원본 함수의 그래프를 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이동한 것입니다.
참고 도형 2 : 역함수의 미분법 기하학적 대칭성
직선 $y=x$ 대칭성에 의해, 점 $P(a, b)$ 에서의 접선을 대칭이동하면 점 $Q(b, a)$ 에서의 접선이 됩니다. 이 때 $\Delta x$ 와 $\Delta y$ 의 역할이 뒤바뀌어 두 접선의 기울기는 서로 역수 관계가 됩니다.
수식으로 표현하면, 점 $(a, b)$ 가 $y=f(x)$ 위의 점일 때 $b=f(a)$ 이며 이 점에서의 기울기는 $f'(a)$ 입니다. 대칭점 $(b, a)$ 는 역함수 $y=g(x)$ 위의 점이며 기울기는 $g'(b)$ 가 됩니다. 이 둘은 역수 관계이므로 $g'(b) = \frac{1}{f'(a)}$ 입니다. 여기에 $b = f(a)$ 를 대입하면 우리가 사용한 핵심 공식인 $g'(f(a)) = \frac{1}{f'(a)}$ 가 완성됩니다.
이 패널은 해설 [Step 3]에서 찾은 진짜 함수 $f(x) = 4x^3 + 4x^2$ 를 바탕으로 실제 정적분 값을 시각적으로 누적시켜 보여줍니다. 아래 슬라이더를 조절하여 적분 상한선 $a$를 변경해 보세요.