입체도형의 부피와 부분적분법의 결합
Q [문제 원문]
26. 그림과 같이 곡선 $y = \sqrt{(1-2x)\cos x}$ $\left(\frac{3}{4}\pi \le x \le \frac{5}{4}\pi\right)$와 $x$축 및 두 직선 $x = \frac{3}{4}\pi$, $x = \frac{5}{4}\pi$로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]
1 [출제의도]
본 문항은 정적분을 활용하여 입체도형의 부피를 구하는 기본 개념을 묻는 동시에, 피적분함수의 형태를 파악하여 부분적분법을 정확하게 수행할 수 있는지를 평가합니다. 단면의 넓이를 함수식으로 유도하는 기하학적 모델링 능력과, 다항함수와 삼각함수의 곱으로 이루어진 식의 적분 계산 능력을 종합적으로 측정합니다.
2 [상세 풀이]
Step 1 : 단면의 넓이 함수 $A(x)$ 도출
입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면은 정사각형입니다. 이 정사각형의 한 변의 길이는 주어진 곡선의 $y$좌표와 같으므로, 단면의 한 변의 길이 $s(x)$는 다음과 같습니다.
따라서 $x$좌표가 $x$인 지점에서의 단면의 넓이 $A(x)$는 정사각형의 넓이 공식에 의해 유도됩니다. 근호가 제곱에 의해 벗겨지며 다항함수와 삼각함수의 곱 형태로 변환됩니다.
참고 도형 : 단면 정사각형의 기하학적 구조
Step 2 : 정적분 식 세우기 및 부분적분법 적용
입체도형의 부피 $V$는 구간 $\left[\frac{3}{4}\pi, \frac{5}{4}\pi\right]$ 에서 단면의 넓이 $A(x)$를 정적분하여 구합니다.
피적분함수가 다항함수 $(1-2x)$와 삼각함수 $(\cos x)$의 곱으로 이루어져 있으므로 부분적분법을 사용합니다. '로다삼지' 법칙에 따라 미분하기 쉬운 함수를 $u$, 적분하기 쉬운 함수를 $v'$로 설정합니다.
$\implies du = -2 \, dx$
$\implies v = \sin x$
Step 3 : 부정적분 계산 및 정적분 값 산출
부분적분 공식 $\int u v' dx = uv - \int u' v dx$ 를 적용합니다.
구해진 원시함수에 위끝 $x = \frac{5}{4}\pi$와 아래끝 $x = \frac{3}{4}\pi$를 대입하여 정적분을 계산합니다.
1) 위끝 대입 ($x = \frac{5}{4}\pi$) :
$\sin\left(\frac{5}{4}\pi\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos\left(\frac{5}{4}\pi\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ 이므로,
$$ \left(1 - \frac{5}{2}\pi\right)\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{5\sqrt{2}}{4}\pi + \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{5\sqrt{2}}{4}\pi $$
2) 아래끝 대입 ($x = \frac{3}{4}\pi$) :
$\sin\left(\frac{3}{4}\pi\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos\left(\frac{3}{4}\pi\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ 이므로,
$$ \left(1 - \frac{3}{2}\pi\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{4}\pi + \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{4}\pi $$
Step 4 : 최종 결과 도출
위끝 대입값에서 아래끝 대입값을 빼어 최종 부피 $V$를 구합니다.
순서를 정리하면 $2\sqrt{2}\pi - \sqrt{2}$ 가 되므로, 정답은 ③ 입니다.
3 [이론 매칭]
입체도형의 부피
닫힌구간 $[a, b]$ 에서 단면의 넓이가 $S(x)$ 인 입체도형의 부피는 $V = \int_{a}^{b} S(x) dx$ 임을 활용합니다.
부분적분법
두 함수의 곱으로 이루어진 함수를 적분할 때, 함수의 성질(로다삼지)에 따라 미분과 적분 대상을 나누어 정적분하는 기법입니다.
4 [실수 포인트 및 증명]
🚨 삼각함수의 각에 따른 부호 결정 실수
수험생들이 계산 과정에서 가장 빈번하게 틀리는 구간입니다. $x = \frac{5}{4}\pi$ 와 $x = \frac{3}{4}\pi$ 에서의 $\sin$ 과 $\cos$ 값을 혼동하여 부호를 반대로 적는 경우가 잦습니다.
수학적 해결 (단위원과 사분면의 활용)
- $x = \frac{3}{4}\pi$ : 제2사분면의 각입니다. 제2사분면에서는 $y$좌표($\sin$)만 양수이고, $x$좌표($\cos$)는 음수입니다.
$\implies \sin\left(\frac{3}{4}\pi\right) = +\frac{\sqrt{2}}{2}, \; \cos\left(\frac{3}{4}\pi\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ - $x = \frac{5}{4}\pi$ : 제3사분면의 각입니다. 제3사분면에서는 $x$좌표와 $y$좌표 모두 음수입니다.
$\implies \sin\left(\frac{5}{4}\pi\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \; \cos\left(\frac{5}{4}\pi\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
5 [핵심 이론 증명]
부분적분법 공식의 논리적 유도 및 확장
부분적분법은 근본적으로 미분법의 '곱의 미분법'의 역연산입니다. 이를 수식으로 증명해 봅시다.
1) 두 미분가능한 함수 $f(x)$와 $g(x)$에 대하여 곱의 미분법을 적용하면 다음과 같습니다.
2) 이 등식의 양변을 $x$에 대하여 부정적분합니다.
3) 구하고자 하는 $\int f(x)g'(x) dx$ 를 좌변에 남기고 식을 이항하여 정리하면 부분적분법(부정적분) 공식이 완성됩니다.
정적분에서의 부분적분법 증명
부정적분의 결과에 미적분학의 기본정리(Fundamental Theorem of Calculus)를 적용하여 정적분 공식으로 곧바로 확장할 수 있습니다. 곱의 미분법 등식 양변을 구간 $[a, b]$ 에서 정적분하면 다음과 같이 전개됩니다.
따라서 실전 문제 해결에 직접 사용되는 정적분의 부분적분법 공식이 논리적으로 유도됩니다.
💡 실전 팁 : 로다삼지 법칙
고등학교 교육과정 내에서 부분적분법을 적용할 때는 어떤 함수를 미분할 것($f(x)$)인지 정하는 기준이 필요합니다. 일반적으로 로(로그함수), 다(다항함수), 삼(삼각함수), 지(지수함수) 순서로 미분하기 쉬운 함수로 선택합니다. 본 문항은 다항함수와 삼각함수의 곱이므로, '로다삼지' 순위에 따라 다항함수를 미분할 함수로 설정합니다.
입체도형 3D 시각화 뷰어
문제에 주어진 그림과 동일한 좌표축 시점(x축 가로, y축 깊이, z축 높이)으로 구현된 입체도형입니다. 마우스 드래그로 회전이 가능하며, 슬라이더를 통해 단면의 변화를 확인하세요.