26. 좌표공간에 평면 $\alpha$ 가 있다. 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 서로 다른 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 각각 $\mathrm{A'}$, $\mathrm{B'}$ 이라 할 때,
이다. 선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점 $\mathrm{M}$ 의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영을 $\mathrm{M'}$ 이라 할 때,
이 되도록 평면 $\alpha$ 위에 점 $\mathrm{P}$ 를 잡는다.
삼각형 $\mathrm{A'B'P}$ 의 평면 $\mathrm{ABP}$ 위로의 정사영의 넓이가 $\frac{9}{2}$ 일 때, 선분 $\mathrm{PM}$ 의 길이는? [3점]
이 문항은 공간도형에서 선분의 정사영 길이가 원본 길이와 같을 때 두 선분이 평행하다는 성질을 파악할 수 있는지 평가합니다. 또한, 이를 바탕으로 두 평면의 교선을 찾고, 삼수선의 정리를 활용하여 두 평면이 이루는 이면각을 명확히 작도하여 정사영 넓이 공식을 적용할 수 있는지를 묻는 핵심적인 기하 문항입니다.
문제 조건에서 $\overline{\mathrm{AB}} = \overline{\mathrm{A'B'}} = 6$ 이 주어졌습니다.
선분과 그 정사영의 길이에 대한 관계식은 $\overline{\mathrm{A'B'}} = \overline{\mathrm{AB}} \cos \theta$ (단, $\theta$ 는 선분 $\mathrm{AB}$ 가 평면 $\alpha$ 와 이루는 각) 입니다.
이로 인해 점 $\mathrm{A}, \mathrm{M}, \mathrm{B}$ 에서 평면 $\alpha$ 에 내린 수선의 발 $\mathrm{A'}, \mathrm{M'}, \mathrm{B'}$ 까지의 거리는 모두 동일합니다.
즉, $\overline{\mathrm{AA'}} = \overline{\mathrm{MM'}} = \overline{\mathrm{BB'}}$ 가 성립하며, 사각형 $\mathrm{ABB'A'}$ 는 직사각형이 됩니다.
평면 $\alpha$ 위에서 벌어지는 상황을 관찰해 봅시다. $\mathrm{M}$ 이 선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점이므로, 그 정사영인 $\mathrm{M'}$ 역시 선분 $\mathrm{A'B'}$ 의 중점입니다.
조건에서 $\overline{\mathrm{PM'}} \perp \overline{\mathrm{A'B'}}$ 이고 $\overline{\mathrm{PM'}} = 6$ 이라 하였습니다.
이 문제의 핵심은 평면 $\alpha$ 와 평면 $\mathrm{ABP}$ 가 이루는 이면각 $\theta$ 를 찾는 것입니다.
두 평면의 교선을 $l$ 이라 합시다. 직선 $\mathrm{AB}$ 가 평면 $\alpha$ 와 평행하므로, 평면 $\mathrm{ABP}$ 가 평면 $\alpha$ 와 만나는 교선 $l$ 은 점 $\mathrm{P}$ 를 지나며 직선 $\mathrm{AB}$ (및 $\mathrm{A'B'}$) 와 평행합니다.
참고 도형 1-A : 공간상의 평면과 정사영 (입체도형)
선분 $\mathrm{AB}$와 그 정사영 $\mathrm{A'B'}$의 평행 관계, 그리고 두 평면 $\alpha$, $\mathrm{ABP}$의 위치 관계를 보여줍니다.
참고 도형 1-B : 삼수선의 정리 단면도 (평면도형)
교선 $l$에 수직인 평면으로 자른 단면으로, 이면각 $\theta$를 직관적으로 파악할 수 있습니다.
이제 삼수선의 정리를 적용합니다.
문제에서 삼각형 $\mathrm{A'B'P}$ 의 평면 $\mathrm{ABP}$ 위로의 정사영 넓이가 $\frac{9}{2}$ 라고 주어졌습니다.
이는 원본 넓이가 평면 $\alpha$ 위의 $S = 18$ 이고, 투영된 평면이 $\mathrm{ABP}$ 라는 의미입니다.
Step 3에서 구한 $\cos \theta = \frac{6}{\overline{\mathrm{PM}}}$ 와 연립하면 우리가 원하는 선분 $\mathrm{PM}$ 의 길이가 나옵니다.
선분과 정사영의 길이가 같을 때, 선분은 투영 기준 평면과 평행하다는 성질.
공간상에서 평면과 직선 간의 수직 관계를 연쇄적으로 증명하여 이면각의 단면을 작도하는 핵심 정리.
$S' = S \cos \theta$ 공식을 통해 이면각의 코사인 값을 기하학적 넓이 비율로 해석하는 원리.
문제를 풀 때 학생들이 가장 많이 하는 실수는 어느 평면이 원본이고 어느 평면이 투영면인지 헷갈려 식을 반대로 세우는 것입니다. "삼각형 $\mathrm{A'B'P}$ 의 평면 $\mathrm{ABP}$ 위로의 정사영" 이라는 문장에서, 원본 도형은 $\mathrm{A'B'P}$ (평면 $\alpha$ 위) 이고 투영면이 $\mathrm{ABP}$ 입니다. 가끔 무의식적으로 $S_{\mathrm{ABP}} \times \cos \theta = S_{\mathrm{A'B'P}}$ 로 식을 세워 오류를 범합니다.
오개념을 방지하기 위해 직관적인 대소 비교를 생활화해야 합니다.
직각삼각형 $\mathrm{MM'P}$ 에서 빗변은 $\mathrm{MP}$ 이고 높이는 $\mathrm{M'P}$ 이므로 항상 $\overline{\mathrm{MP}} > \overline{\mathrm{M'P}}$ 가 성립합니다.
두 삼각형 $\triangle \mathrm{ABP}$ 와 $\triangle \mathrm{A'B'P}$ 는 밑변($6$)이 같고 높이가 각각 $\overline{\mathrm{MP}}$, $\overline{\mathrm{M'P}}$ 이므로
원본 삼각형인 $\triangle \mathrm{ABP}$ 의 넓이가 항상 $\triangle \mathrm{A'B'P}$ 보다 커야 합니다.
문제에서 구한 $\triangle \mathrm{A'B'P}$ 의 넓이는 $18$ 이고 정사영된 넓이는 $4.5$($\frac{9}{2}$) 이므로, 넓이가 줄어들었음이 확인됩니다. 따라서 $18 \times \cos \theta = 4.5$ 가 올바른 수식임을 논리적으로 재확인할 수 있습니다.
선분 $\mathrm{AB}$ 와 평면 $\alpha$ 가 이루는 각을 $\theta$ 라 할 때, 수식 $\overline{\mathrm{A'B'}} = \overline{\mathrm{AB}} \cos \theta$ 를 직관적으로 유도해 봅시다.
1. 점 $\mathrm{A}$ 를 지나고 평면 $\alpha$ 와 평행한 평면 $\beta$ 를 잡습니다.
2. 점 $\mathrm{B}$ 에서 평면 $\beta$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 합니다.
3. 이때 선분 $\mathrm{AH}$ 의 길이는 정사영 선분 $\mathrm{A'B'}$ 의 길이와 동일합니다. ($\overline{\mathrm{AH}} = \overline{\mathrm{A'B'}}$)
4. 직각삼각형 $\triangle \mathrm{ABH}$ 에서, $\angle \mathrm{BAH} = \theta$ 이므로 $\cos \theta = \frac{\overline{\mathrm{AH}}}{\overline{\mathrm{AB}}}$ 가 성립합니다.
5. 만약 $\overline{\mathrm{A'B'}} = \overline{\mathrm{AB}}$ 라면, $\cos \theta = 1$ 이 되어 $\theta = 0^{\circ}$ 입니다.
6. 각이 $0$ 이라는 것은 선분 $\mathrm{AB}$ 가 평면 $\alpha$ 측면으로 기울어지지 않았음(평행함)을 엄밀히 증명합니다.
선분 PM 길이에 따른 정사영 넓이 변화를 확인하세요.