수능 출제 분석

조건에 따른 확률변수의 변환과 기댓값 추론

Q [문제 원문]

26. $4$개의 동전을 동시에 던져서 앞면이 나오는 동전의 개수를 확률변수 $X$라 하고, 이산확률변수 $Y$를

$$ Y = \begin{cases} X & (X\text{가 } 0 \text{ 또는 } 1\text{의 값을 가지는 경우}) \\ 2 & (X\text{가 } 2 \text{ 이상의 값을 가지는 경우}) \end{cases} $$

라 하자. $\mathrm{E}(Y)$의 값은? [3점]

① $\frac{25}{16}$

② $\frac{13}{8}$

③ $\frac{27}{16}$

④ $\frac{7}{4}$

⑤ $\frac{29}{16}$

1 [출제의도]

이 문항은 독립시행의 확률을 이용하여 이산확률변수의 확률질량함수를 구할 수 있는지, 그리고 주어진 조건에 따라 새롭게 정의된 확률변수의 확률분포를 올바르게 구성하여 기댓값을 계산할 수 있는지를 묻는 문항입니다. 특히, 여러 개의 사건이 하나의 결과값으로 병합되는 과정(Transformation)에 대한 논리적 이해를 평가합니다.

2 [상세 풀이]

Step 1 : 확률변수 $X$ 의 확률분포 분석

$4$개의 동전을 동시에 던지는 시행은 각각의 동전이 서로 영향을 주지 않는 독립시행입니다.
앞면이 나오는 횟수 $X$ 가 가질 수 있는 값은 $0, 1, 2, 3, 4$ 이며, 앞면이 나올 확률이 $\frac{1}{2}$ 이므로 확률변수 $X$ 는 이항분포 $\mathrm{B}\left(4, \frac{1}{2}\right)$ 을 따릅니다.

독립시행의 확률 공식에 따라 확률질량함수는 다음과 같습니다. $$ \mathrm{P}(X=x) = {}_{4}\mathrm{C}_{x} \left(\frac{1}{2}\right)^x \left(\frac{1}{2}\right)^{4-x} = \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{x}}{16} \quad (x=0, 1, 2, 3, 4) $$

각 확률을 직접 계산하면 다음과 같습니다.

X = 0 $\mathrm{P}(X=0) = \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{0}}{16} = \frac{1}{16}$
X = 1 $\mathrm{P}(X=1) = \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{1}}{16} = \frac{4}{16}$
X = 2 $\mathrm{P}(X=2) = \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{2}}{16} = \frac{6}{16}$
X = 3 $\mathrm{P}(X=3) = \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{3}}{16} = \frac{4}{16}$
X = 4 $\mathrm{P}(X=4) = \frac{{}_{4}\mathrm{C}_{4}}{16} = \frac{1}{16}$

Step 2 : 새로운 확률변수 $Y$ 의 확률분포표 작성

문제의 조건에 따라 확률변수 $Y$ 가 가질 수 있는 값은 $0, 1, 2$ 입니다. 각 경우의 확률을 $X$ 의 확률을 이용하여 구합니다.

참고 도형 : 확률변수 $X$ 에서 $Y$ 로의 매핑

[1] $Y = 0$ 인 경우 ($X = 0$) $$ \mathrm{P}(Y=0) = \mathrm{P}(X=0) = \frac{1}{16} $$ [2] $Y = 1$ 인 경우 ($X = 1$) $$ \mathrm{P}(Y=1) = \mathrm{P}(X=1) = \frac{4}{16} $$ [3] $Y = 2$ 인 경우 ($X \ge 2$) $$ \mathrm{P}(Y=2) = \mathrm{P}(X=2) + \mathrm{P}(X=3) + \mathrm{P}(X=4) $$ $$ \mathrm{P}(Y=2) = \frac{6}{16} + \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{11}{16} $$

Step 3 : 기댓값 $\mathrm{E}(Y)$ 계산

이산확률변수의 기댓값은 각 변수가 취할 수 있는 값과 그 확률을 곱하여 모두 더한 값입니다.
$\mathrm{E}(Y) = \sum y_i \mathrm{P}(Y=y_i)$ 공식을 적용합니다.

$$ \mathrm{E}(Y) = 0 \times \mathrm{P}(Y=0) + 1 \times \mathrm{P}(Y=1) + 2 \times \mathrm{P}(Y=2) $$ $$ \mathrm{E}(Y) = 0 \times \frac{1}{16} + 1 \times \frac{4}{16} + 2 \times \frac{11}{16} $$ $$ \mathrm{E}(Y) = 0 + \frac{4}{16} + \frac{22}{16} = \frac{26}{16} $$

약분하여 정리하면 $\therefore \mathrm{E}(Y) = \frac{13}{8}$

3 [이론 매칭]

독립시행의 확률

각 시행의 결과가 다른 시행에 영향을 주지 않을 때, 특정 사건이 $r$번 일어날 확률을 조합을 이용해 구하는 정리.

이항분포

독립시행을 $n$번 반복할 때, 사건이 발생하는 횟수 $X$가 따르는 확률분포로 $\mathrm{B}(n, p)$ 로 나타냄.

이산확률변수의 기댓값

확률변수 $X$의 각 값과 그에 대응하는 확률을 곱하여 모두 더한 값. 분포의 평균적 위치를 나타내는 성질.

4 [실수 포인트 및 증명]

🚨 기댓값의 선형성 오개념 적용

학생들이 이 문제에서 가장 많이 범하는 치명적인 실수는 $X$ 의 기댓값을 먼저 구한 뒤, 그것을 조건식에 대입하려는 시도입니다.
즉, $\mathrm{E}(X) = np = 4 \times \frac{1}{2} = 2$ 이므로, $X=2$ 인 경우 $Y=2$ 니까 $\mathrm{E}(Y) = 2$ 라고 성급히 결론 내리는 것입니다. 이는 $Y = f(X)$ 인 함수 관계에서 $\mathrm{E}(f(X)) = f(\mathrm{E}(X))$ 가 항상 성립한다고 착각한 결과입니다.

수학적 증명 : $\mathrm{E}(f(X)) \neq f(\mathrm{E}(X))$

고등학교 교육과정에서 확률변수의 성질은 $Y = aX + b$ ($a, b$는 상수)와 같이 일차식 형태로 주어질 때만 $\mathrm{E}(aX+b) = a\mathrm{E}(X) + b$ 가 성립한다고 배웁니다. (※ 참고 : 대학 수학에서는 이를 '선형성'이라 부르며, 일차식이 아닌 경우를 '비선형'이라고 합니다.)

본 문제에서 $Y$는 $X$에 대한 단순한 일차식이 아니라, 구간에 따라 조건이 나뉘는 새로운 대응 규칙으로 만들어졌습니다.
$f(x) = \begin{cases} x & (x=0, 1) \\ 2 & (x \ge 2) \end{cases}$

이 경우, 좌변 $\mathrm{E}(f(X))$ 는 우리가 Step 3에서 구한 $\frac{13}{8} = 1.625$ 이지만, 우변 $f(\mathrm{E}(X))$ 는 $f(2) = 2$ 가 되어 서로 같지 않습니다. 따라서 변환된 확률변수의 기댓값을 구할 때는 반드시 새로운 확률분포표를 직접 작성한 뒤 정의에 따라 기댓값을 구해야 합니다.

5 [핵심 이론 증명]

이산확률변수 변환 시 확률의 병합 (Partitioning)

$Y = 2$ 와 같이 기존 확률변수 $X$ 의 여러 사건이 하나의 사건으로 매핑될 때, 새로운 확률은 각 사건의 확률의 합으로 정의됩니다. 이 원리의 근간을 증명합니다.

1. 표본공간 $S$ 에서 정의된 확률변수 $X$ 에 대하여 사건 $A = \{ s \in S \mid X(s) \ge 2 \}$ 라 하자.

2. 확률의 공리(※ 공리란 수학에서 증명 없이 참으로 받아들이는 가장 기본적인 전제를 의미합니다. 고등학교 과정에서는 이를 '확률의 덧셈정리'의 기본 성질로 배웁니다) 중 '상호 배반인 사건들의 합사건 확률은 각 확률의 합'이라는 성질에 의해,

3. $\mathrm{P}(X \ge 2) = \mathrm{P}(X=2 \cup X=3 \cup X=4)$ 가 성립한다.

4. $X=2, X=3, X=4$ 는 동시에 일어날 수 없는 배반사건(Mutually exclusive events)이다.

5. 따라서 $\mathrm{P}(Y=2) = \mathrm{P}(X=2) + \mathrm{P}(X=3) + \mathrm{P}(X=4)$ 가 논리적으로 성립하며, 변환된 확률변수의 분포를 계산할 때 확률값들을 단순 합산할 수 있는 근거가 된다.

2D Interactive 확률분포 변환 시뮬레이터

버튼을 클릭하여 확률변수 $X$가 $Y$로 병합되는 과정을 확인하세요.

확률변수 $X$ 의 확률질량함수 분포

상태

변수 $X$

기댓값 $E$

2.000