27. 실수 $t$에 대하여 원점을 지나고 곡선 $y = \frac{1}{e^x} + e^t$ 에 접하는 직선의 기울기를 $f(t)$라 하자. $f(a) = -e\sqrt{e}$ 를 만족시키는 상수 $a$에 대하여 $f'(a)$의 값은? [3점]
이 문항은 곡선 밖의 한 점(원점)에서 그은 접선의 방정식을 세우고, 이 과정에서 발생하는 매개변수들(접점의 좌표와 실수 $t$) 사이의 관계식을 도출하는 능력을 평가합니다. 나아가 도출된 관계식을 음함수의 미분법(또는 합성함수의 미분법)을 활용하여 미분함으로써, 특정 조건에서의 미분계수를 정확히 계산할 수 있는지 묻는 복합적인 미적분학 문제입니다.
주어진 곡선 $y = \frac{1}{e^x} + e^t = e^{-x} + e^t$ 위의 접점의 $x$좌표를 $s$라고 합시다.
이때 접점의 좌표는 $(s, e^{-s} + e^t)$ 가 됩니다.
함수 $y = e^{-x} + e^t$ 를 $x$에 대하여 미분하면 $y' = -e^{-x}$ 이므로,
$x = s$ 에서의 접선의 기울기는 $-e^{-s}$ 입니다. 따라서 접선의 방정식은 다음과 같습니다.
참고 도형 : 원점에서 그은 접선의 구조
문제의 조건에서 이 접선이 원점 $(0, 0)$ 을 지난다고 하였으므로, 앞서 구한 접선의 방정식에 $x = 0, y = 0$ 을 대입합니다.
이 식의 양변에 $-e^s$ 를 곱하여 식을 깔끔하게 정리해 봅시다.
(참고 : 지수함수의 값은 항상 양수이므로 $e^{s+t} > 0$ 이고, 따라서 $-s - 1 > 0$ 즉, $s < -1$ 임을 알 수 있습니다.)
접선의 기울기 $f(t)$ 는 접점에서의 미분계수이므로 다음과 같이 정의됩니다.
주어진 조건 $f(a) = -e\sqrt{e}$ 를 이용해 봅시다. $t = a$ 일 때의 접점의 $x$좌표를 $s_a$ 라고 하면,
지수를 비교하면 $-s_a = \frac{3}{2}$ 이므로, $t = a$ 일 때 $s = -\frac{3}{2}$ 임을 알 수 있습니다.
우리가 구해야 할 것은 $f'(a)$ 입니다. 먼저 $f(t) = -e^{-s}$ 의 양변을 $t$에 대하여 미분합니다. 여기서 $s$는 $t$에 대한 함수이므로 합성함수의 미분법 (연쇄법칙)을 적용해야 합니다.
이제 $\frac{ds}{dt}$ 를 구하기 위해 Step 2에서 도출한 관계식 $(*)$ $e^{s+t} + s + 1 = 0$ 의 양변을 $t$에 대하여 미분합니다. (음함수의 미분법)
$t = a$ 인 순간, 우리는 $s = -\frac{3}{2}$ 임을 알고 있습니다. $(*)$ 식에 $s = -\frac{3}{2}$ 를 대입하면 $e^{-\frac{3}{2}+a} + \left(-\frac{3}{2}\right) + 1 = 0 \implies e^{-\frac{3}{2}+a} = \frac{1}{2}$ 가 됩니다.
이 값들을 미분한 식에 대입하여 $\frac{ds}{dt}$ 를 구합니다.
최종적으로 도출된 값들을 $f'(t)$ 식에 대입합니다.
따라서 구하는 $f'(a)$ 의 값은 ① $-\frac{1}{3}e\sqrt{e}$ 입니다.
곡선 밖의 한 점이 주어졌을 때, 접점의 좌표를 미지수로 설정하고 도함수를 이용하여 접선의 방정식을 구성하는 기본 원리입니다.
$x, y$ (여기서는 $t, s$) 가 섞여 있는 방정식 형태에서 변수를 분리하기 어려울 때, 각 항을 특정 변수에 대해 직접 미분하고 연쇄법칙을 적용하는 기법입니다.
$y = f(g(x))$ 형태의 미분에서 $y' = f'(g(x))g'(x)$ 를 적용하는 원리입니다. 본 문제에서는 $f(t) = -e^{-s}$ 를 $t$로 미분할 때, $s$가 $t$에 대한 함수이므로 $\frac{ds}{dt}$ 가 곱해지는 과정에 사용되었습니다.
수험생들이 $f(t) = -e^{-s}$ 를 미분할 때, $s$를 단순 상수로 착각하거나 연쇄법칙을 망각하여 $f'(t) = e^{-s}$ 라고만 적는 실수를 가장 많이 범합니다.
접점 $s$는 곡선의 평행이동에 관여하는 $t$값에 따라 변하는 종속변수입니다. 즉, $s = s(t)$ 인 함수 관계에 있습니다.
따라서 미분 연산자 $\frac{d}{dt}$ 를 적용할 때 합성함수 미분법에 의해 반드시 내항의 미분인 $\frac{ds}{dt}$ 가 도출되어야 합니다.
올바른 미분 : $\frac{d}{dt} \left( -e^{-s(t)} \right) = -e^{-s(t)} \cdot \frac{d}{dt}(-s(t)) = e^{-s(t)} \cdot s'(t) = e^{-s} \frac{ds}{dt}$
고등학교 수학에서 $x, y$ (또는 $t, s$)에 대한 관계식이 주어졌을 때, 변수를 분리하기 어려운 경우 양변을 특정 변수에 대해 미분하여 도함수를 구합니다. 이 문제에서 사용된 관계식 $e^{s+t} + s + 1 = 0$ 의 미분 과정을 두 가지 관점에서 설명합니다.
고등학교 교과서에서는 음함수 $F(t, s) = 0$ 꼴에서 $s$를 $t$에 대한 미분가능한 함수 $s(t)$로 간주하여 합성함수의 미분법 (연쇄법칙)을 적용하도록 지도합니다.
방정식 $e^{s+t} + s + 1 = 0$ 에서 $s$는 $s(t)$ 이므로 양변을 $t$로 미분하면:
이처럼 각 항을 $t$에 대해 미분할 때, $s$가 포함된 항은 먼저 $s$로 미분한 뒤 $\frac{ds}{dt}$ 를 곱해주는 방식으로 논리적 결함 없이 도함수를 구할 수 있습니다.
대학 미적분학에서는 음함수 정리(Implicit Function Theorem)와 편미분 기호($\partial$)를 사용하여 이를 일반화합니다. $F(t, s) = 0$ 의 양변을 $t$에 대해 전미분(Total Derivative)하면 연쇄법칙에 의해 다음과 같이 전개됩니다.
$\frac{dt}{dt} = 1$ 이므로, $\frac{ds}{dt}$ 에 대해 정리하면 다음과 같은 공식을 유도할 수 있습니다. (단, $\frac{\partial F}{\partial s} \neq 0$)
고등학교 교육과정에서는 편미분 기호를 명시적으로 배우지 않지만, 각 변수에 대해 미분하며 $s'$ 를 붙이는 행위 자체가 이 원리를 단일 변수 체계로 단순화하여 가르치는 것입니다.
슬라이더를 움직여 매개변수 $t$ 의 변화를 확인하세요.
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