27. 초점이 $\mathrm{F}$ 인 포물선 $y^2 = 8x$ 위의 한 점 $\mathrm{A}$ 에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{B}$ 라 하고, 직선 $\mathrm{BF}$ 와 포물선이 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$ 라 하자. $\overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{CD}}$ 일 때, 삼각형 $\mathrm{ABD}$ 의 넓이는? (단, $\overline{\mathrm{CF}} < \overline{\mathrm{DF}}$ 이고, 점 $\mathrm{A}$ 는 원점이 아니다.) [3점]
이 문항은 이차곡선 중 포물선의 기하학적 정의(초점까지의 거리와 준선까지의 거리가 같다)를 완벽하게 이해하고 있는지 평가합니다. 또한, 포물선의 초점을 지나는 직선 상의 선분 길이 비례 관계를 도형의 닮음을 통해 방정식으로 이끌어내고, 이를 바탕으로 다각형의 넓이를 구하는 종합적인 기하 추론 능력을 묻고 있습니다.
주어진 포물선의 방정식 $y^2 = 8x$ 를 기본형 $y^2 = 4px$ 와 비교하면 $4p = 8$ 이므로 $p = 2$ 입니다.
따라서 포물선의 초점은 $\mathrm{F}(2, 0)$ 이고, 준선은 직선 $x = -2$ 입니다.
점 $\mathrm{A}$ 에서 준선에 내린 수선의 발이 $\mathrm{B}$ 이므로, 점 $\mathrm{B}$ 의 $x$ 좌표는 반드시 $-2$ 입니다.
직선 $\mathrm{BF}$ 는 점 $\mathrm{B}(-2, y_B)$ 와 초점 $\mathrm{F}(2, 0)$ 을 지나며, 이 직선이 포물선과 만나는 점이 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$ 입니다.
포물선 위의 점 $\mathrm{A}$ 에서 준선에 내린 수선의 발이 $\mathrm{B}$ 이며, 점 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$ 에서 준선 $x = -2$ 에 내린 수선의 길이는 포물선의 정의에 의해 각각 초점 $\mathrm{F}$ 까지의 거리와 같습니다.
점 $\mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{F}$ 에서 준선에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{C'}, \mathrm{D'}, \mathrm{F'}$ 이라 합시다.
그림과 같이 세 직각삼각형 $\triangle \mathrm{BCC'}, \triangle \mathrm{BFF'}, \triangle \mathrm{BDD'}$ 는 모두 닮음($\mathrm{AA}$ 닮음)입니다.
문제에서 주어진 조건 $\overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{CD}}$ 와 $\overline{\mathrm{CD}} = \alpha + \beta$ 를 활용하여 빗변의 길이를 각각 표현하면 다음과 같습니다.
닮음비는 빗변의 길이와 밑변(수선의 길이)의 비율이 일정하다는 것을 의미하므로 비례식을 세웁니다.
먼저 첫 번째와 세 번째 식을 연립합니다. $$ \frac{\alpha}{\alpha + \beta} = \frac{\beta}{2(\alpha + \beta)} \implies 2\alpha = \beta $$ 이 결과를 첫 번째와 두 번째 식에 대입합니다. $$ \frac{\alpha}{\alpha + 2\alpha} = \frac{4}{2\alpha + 2\alpha} \implies \frac{1}{3} = \frac{4}{4\alpha} \implies \frac{1}{3} = \frac{1}{\alpha} $$ $$ \therefore \alpha = 3, \quad \beta = 6 $$
앞서 구한 $\alpha=3, \beta=6$ 을 통해 선분들의 실제 길이를 모두 알 수 있습니다.
$\overline{\mathrm{CF}} = 3$, $\overline{\mathrm{DF}} = 6$ 이며, 점 $\mathrm{B}$ 에서 초점 $\mathrm{F}$ 까지의 거리 $\overline{\mathrm{BF}}$ 는 다음과 같습니다.
점 $\mathrm{B}(-2, y_B)$ 와 점 $\mathrm{F}(2, 0)$ 사이의 수평 거리는 $x$ 좌표의 차이인 $4$ 입니다.
직각삼각형을 떠올려 피타고라스의 정리를 적용하면 수직 거리(즉, $y$ 좌표의 차이)를 구할 수 있습니다.
이제 점 $\mathrm{A}$ 와 점 $\mathrm{D}$ 의 좌표를 찾습니다.
점 $\mathrm{A}$ 는 준선 위의 점 $\mathrm{B}$ 로 수선을 내린 포물선 위의 점이므로, $y$ 좌표가 점 $\mathrm{B}$ 와 동일합니다. ($y_A = y_B = -8\sqrt{2}$)
이를 포물선의 방정식 $y^2 = 8x$ 에 대입합니다.
점 $\mathrm{D}$ 의 좌표는 점 $\mathrm{F}$ 에서 출발하여 선분 $\mathrm{BF}$ 의 연장선 방향으로 $\overline{\mathrm{DF}} = 6$ 만큼 이동한 위치입니다.
선분 $\mathrm{BF}$ 의 밑변:높이:빗변의 비는 $4 : 8\sqrt{2} : 12$ 즉, $1 : 2\sqrt{2} : 3$ 입니다.
따라서 빗변이 $6$ 인 선분 $\mathrm{DF}$ 의 가로 변화량은 $2$, 세로 변화량은 $4\sqrt{2}$ 가 됩니다.
세 점 $\mathrm{A}(16, -8\sqrt{2})$, $\mathrm{B}(-2, -8\sqrt{2})$, $\mathrm{D}(4, 4\sqrt{2})$ 로 이루어진 삼각형의 넓이를 구합니다.
선분 $\mathrm{AB}$ 는 $y$ 좌표가 같으므로 축에 평행한 밑변으로 볼 수 있습니다. 밑변의 길이는 $16 - (-2) = 18$ 입니다.
삼각형의 높이는 점 $\mathrm{D}$ 의 $y$ 좌표에서 선분 $\mathrm{AB}$ 의 $y$ 좌표를 뺀 값인 $4\sqrt{2} - (-8\sqrt{2}) = 12\sqrt{2}$ 입니다.
포물선 위의 임의의 점에서 초점까지의 거리는 그 점에서 준선까지의 수직 거리와 동일하다는 이차곡선의 가장 핵심적인 기하학적 성질.
초점을 지나는 직선 상의 점들에서 준선에 내린 수선들이 만들어내는 직각삼각형들의 $\mathrm{AA}$ 닮음을 이용한 선분 비례식 추론.
직각삼각형의 피타고라스 정리를 바탕으로 $x$축과 $y$축 변화량을 통해 대각선 선분의 길이를 좌표로 변환하는 기술.
밑변이 축에 평행한 특수한 삼각형의 넓이를 꼭짓점 좌표의 차이를 이용해 신속하게 도출하는 기하학적 연산.
직선 상에 점들이 놓인 순서를 임의로 $\mathrm{B, F, C, D}$ 라고 단정 짓고 식을 세우면 완전히 잘못된 결과가 나옵니다. 포물선의 초점을 지나는 직선은 포물선을 관통하므로 초점 $\mathrm{F}$ 는 반드시 포물선 내부, 즉 현 $\mathrm{CD}$ 선분 상에 위치해야 합니다.
포물선 $y^2 = 8x$ 의 내부는 $y^2 < 8x$ 영역입니다. 초점 $\mathrm{F}(2,0)$ 은 내부에 존재합니다.
직선 $\mathrm{BF}$ 가 포물선과 두 점 $\mathrm{C, D}$ 에서 만나려면, 직선은 반드시 포물선의 경계를 두 번 통과해야 하며, 그 통과점 사이에 내부 점인 $\mathrm{F}$ 가 존재해야 합니다.
또한 점 $\mathrm{B}$ 는 준선 $x = -2$ 위에 있으므로 포물선 외부에 있습니다.
따라서 포물선 외부의 점 $\mathrm{B}$ 에서 출발하여 교점 $\mathrm{C}$, 초점 $\mathrm{F}$, 다른 교점 $\mathrm{D}$ 로 이어지는 $\mathrm{B - C - F - D}$ 의 순서가 기하학적 필연입니다.
슬라이더로 점 B의 위치를 조절하여 $\overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{CD}}$ 가 되는 순간을 확인하세요.
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