27. 정규분포 $\mathrm{N}(m, 5^2)$을 따르는 모집단에서 크기가 $49$인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균이 $\overline{x}$일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간이 $a \le m \le \frac{6}{5}a$이다. $\overline{x}$의 값은?
(단, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $\mathrm{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95$로 계산한다.) [3점]
이 문항은 표본평균의 분포를 이해하고, 주어진 표준정규분포표의 값을 이용하여 모평균 $m$에 대한 신뢰구간을 정확히 구할 수 있는지 묻는 문항입니다. 특히, 신뢰구간의 하한과 상한이 표본평균 $\overline{x}$에 대하여 대칭적 구조를 가진다는 기하학적 대수적 성질을 활용하여 미지수들의 관계를 이끌어내는 수학적 추론 능력을 평가합니다.
모집단의 표준편차 $\sigma = 5$이고, 추출한 표본의 크기 $n = 49$입니다.
모평균 $m$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간은 주어진 단서 $\mathrm{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95$를 이용하여 다음과 같이 세울 수 있습니다.
주어진 값을 공식에 대입하여 상수를 먼저 계산해봅시다. 오차 한계(Margin of Error)를 구하는 과정입니다.
따라서 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간은 구체적으로 아래와 같이 표현됩니다.
$\overline{x} - 1.4 \le m \le \overline{x} + 1.4$
문제에서 제시된 신뢰구간은 $a \le m \le \frac{6}{5}a$ 입니다.
우리가 Step 1에서 구한 신뢰구간과 완전히 동일해야 하므로, 각 변의 항등식 관계를 이끌어 낼 수 있습니다.
참고 도형 : 표본평균 $\overline{x}$를 중심으로 한 신뢰구간의 대칭성 (1D)
두 신뢰구간 양 끝값이 완벽히 대응되어야 하므로 연립방정식을 구성합니다.
식 ㉠ $a = \overline{x} - 1.4$
식 ㉡ $\frac{6}{5}a = \overline{x} + 1.4$
두 식을 효과적으로 풀기 위해 식 ㉡에서 식 ㉠을 뺍니다. 이 과정은 통계학에서 '신뢰구간의 길이'를 구하는 과정과 수학적으로 완전히 동일합니다.
구해낸 $a = 14$ 를 다시 식 ㉠에 대입하여 미지수 $\overline{x}$를 찾습니다.
모집단의 특성을 알기 위해 일부 표본을 추출하여 그 표본의 통계량을 바탕으로 모수(모평균)를 유추하는 핵심 개념.
정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 $n$인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 $\overline{X}$는 정규분포 $\mathrm{N}(m, \frac{\sigma^2}{n})$을 따른다는 정리.
표본평균을 중심으로 일정 확률(신뢰도)로 모평균이 포함될 것으로 기대되는 구간. $\overline{x} \pm k \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$의 꼴을 가짐.
이 문항에서 학생들이 종종 실수하는 부분은 $a$와 $\frac{6}{5}a$를 각각 완전히 독립적인 식으로 취급하여 계산이 복잡해지는 경우입니다. 신뢰구간의 양 끝값 차이를 뜻하는 '신뢰구간의 길이($l$)' 공식을 바로 적용하면 계산이 훨씬 수월해집니다.
신뢰구간이 $\alpha \le m \le \beta$ 로 주어질 때, 중심에 표본평균 $\overline{x}$가 위치하므로 다음이 항상 성립합니다.
1. 중심의 성질 : $\overline{x} = \frac{\alpha + \beta}{2}$
2. 구간 길이의 성질 : $l = \beta - \alpha = 2 \times 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
이 문제에서 상한과 하한의 차이는 $\frac{6}{5}a - a = \frac{1}{5}a$ 이며, 신뢰구간 공식에 의한 길이는 $2 \times 1.4 = 2.8$ 입니다.
즉, $\frac{1}{5}a = 2.8$ 이라는 식을 하한과 상한을 각각 구하지 않고도 기하학적 의미(길이)를 통해 직관적으로 도출할 수 있어야 합니다. 이는 연산 시간을 단축하고 실수를 줄이는 강력한 방법입니다.
신뢰구간 공식은 암기하는 것이 아니라 표준정규분포의 확률에서 유도됩니다. 이 과정을 명확히 이해하는 것이 중요합니다.
1. 크기가 $n$인 표본평균 $\overline{X}$는 정규분포 $\mathrm{N}(m, \frac{\sigma^2}{n})$을 따릅니다. 이를 표준화하면 $Z = \frac{\overline{X} - m}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$ 가 되며, $Z \sim \mathrm{N}(0, 1)$을 따릅니다.
2. 신뢰도 $95\%$에 해당하는 표준정규분포의 확률적 범위는 다음과 같습니다.
$\mathrm{P}(-1.96 \le Z \le 1.96) = 0.95$
3. 괄호 안의 $Z$ 자리에 표준화 식을 대입합니다.
$\mathrm{P}\left(-1.96 \le \frac{\overline{X} - m}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \le 1.96\right) = 0.95$
4. 괄호 안의 부등식을 모평균 $m$에 대하여 정리하기 위해 각 변에 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$를 곱합니다.
$-1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \overline{X} - m \le 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
5. 각 변에서 $\overline{X}$를 빼고, 양변에 $-1$을 곱하여 부등호 방향을 바꿉니다.
$\overline{X} - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le m \le \overline{X} + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
이 부등식이 의미하는 바는, "추출된 특정 표본평균 $\overline{x}$를 중심으로 위 범위 내에 실제 모평균 $m$이 존재할 확률(신뢰할 수 있는 정도)이 $95\%$이다"라는 통계적 추정의 근간입니다.
슬라이더를 조작하여 표본평균 $\overline{x}$에 따른 신뢰구간 양 끝값 $a, \frac{6}{5}a$의 변화를 관찰하세요.
우측 하단의 노란색 값이 상한 초록색 값과 일치하는 순간이 정답입니다.