28.
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x) \ge 0$이고, $x < 0$일 때 $f(x) = -4xe^{4x^2}$이다.
모든 양수 $t$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $f(x) = t$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$이고, 이 방정식의 두 실근 중 작은 값을 $g(t)$, 큰 값을 $h(t)$라 하자.
두 함수 $g(t), h(t)$는 모든 양수 $t$에 대하여
이 문항은 주어진 함수식을 바탕으로 함수의 개형과 실근의 위치를 추론하고, 매개변수 형태로 주어진 두 근의 관계식을 통해 미지의 함수를 구성하는 능력을 평가합니다. 특히, 역함수적 관점을 도입하여 복잡한 함수의 정적분을 치환적분법으로 계산해 내는 고차원적인 추론 능력을 묻고 있습니다.
먼저 $x < 0$ 인 구간에서 주어진 함수 $f(x) = -4xe^{4x^2}$ 를 분석합니다.
$x < 0$ 이므로 $-4x > 0$ 이고 $e^{4x^2} > 0$ 이 되어 $f(x) > 0$ 을 만족합니다.
또한, $\lim\limits_{x \to 0-} f(x) = 0$ 이고 $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \infty$ 입니다.
참고 도형 : $x < 0$ 구간에서의 $f(x)$ 그래프 개형
방정식 $f(x) = t$ ($t > 0$) 의 실근은 두 개이며, 작은 값이 $g(t)$, 큰 값이 $h(t)$ 입니다.
$x < 0$ 에서 $f(x)$ 는 치역이 $(0, \infty)$ 인 일대일 대응(단조감소)이므로, 음수 실근은 단 1개 존재합니다. 따라서 작은 근 $g(t)$ 는 반드시 음수이고, 큰 근 $h(t)$ 는 양수 영역에 존재해야 합니다.
주어진 관계식 $2g(t) + h(t) = k$ 에서 $h(t)$ 에 대해 정리하여 두 근의 관계를 명확히 합니다.
여기서 양수 $t$가 $0$에 한없이 가까워지는 상황($t \to 0+$)을 생각해 봅시다.
Step 1에서 확인했듯이, $x < 0$ 일 때 $f(x)$의 그래프는 원점을 향해 다가갑니다. 즉, $t$가 $0+$로 갈 때 음수 실근인 $g(t)$는 $0-$ 방향에서 $0$으로 수렴합니다. ($\lim\limits_{t \to 0+} g(t) = 0$)
이 극한을 위의 관계식에 대입하면 양수 근 $h(t)$의 극한값을 얻을 수 있습니다.
한편, $h(t)$는 방정식 $f(x) = t$ 의 실근이므로 정의상 $f(h(t)) = t$ 가 항상 성립합니다.
문제에서 함수 $f(x)$ 는 '실수 전체의 집합에서 연속'이라고 하였으므로, $t \to 0+$ 일 때 극한 기호가 함수 안으로 들어갈 수 있습니다.
동시에 원래 식 $f(h(t)) = t$ 에 극한을 취한 값은 $\lim\limits_{t \to 0+} t = 0$ 이므로, 이 둘을 연결하면 $f(k) = 0$ 이라는 중요한 결론을 도출할 수 있습니다.
문제에서 $\int_{0}^{7} f(x)dx = e^4 - 1$ 이 주어졌습니다. Step 2에 의해 $0 \le x \le k$ 에서 $f(x) = 0$ 이므로 적분 구간을 축소할 수 있습니다.
이제 계산의 편의를 위해 음수 근 $g(t) = u$ ($u < 0$) 라고 새로운 변수로 둡니다.
그러면 $x = -2u + k$ 가 되며, 이를 양변 미분하면 $dx = -2du$ 가 됩니다.
적분 구간은 다음과 같이 변합니다.
또한 $f(x) = t$ 이고 $f(u) = t$ 이므로 $f(x) = f(u)$ 입니다. $u < 0$ 구간의 함수식을 적용하면 $f(u) = -4ue^{4u^2}$ 가 됩니다. 이를 적분식에 대입합니다.
다시 한번 $4u^2 = s$ 로 치환하면 $8udu = ds$ 가 됩니다.
적분 구간은 $u=0$ 일 때 $s=0$, $u=\frac{k-7}{2}$ 일 때 $s = (k-7)^2$ 입니다.
이 값이 $e^4 - 1$ 과 같아야 하므로, $(k-7)^2 = 4$ 가 성립합니다.
따라서 $k - 7 = 2$ 또는 $k - 7 = -2$ 이며, $k = 9$ 또는 $k = 5$ 가 됩니다.
만약 $k = 9$ 라면, $0 \le x \le 9$ 구간에서 $f(x) = 0$ 이 되므로 $f(8) = 0$ 이 되어 구하고자 하는 $\frac{f(9)}{f(8)}$ 의 분모가 0이 되는 모순이 발생합니다.
따라서 $k = 5$ 로 유일하게 결정됩니다.
이제 $x > 5$ 에서의 함수 $f(x)$ 의 식을 완성합니다.
$x = -2u + 5 \implies u = \frac{5-x}{2}$ 이므로,
최종적으로 $f(8)$ 과 $f(9)$ 를 계산합니다.
따라서 구하는 식의 값은 ② $\frac{4}{3}e^7$ 입니다.
함수가 끊어지지 않음을 이용하여 $t \to 0$ 일 때의 극한값이 함수값과 일치함을 유도하고, 실근의 존재 유무 및 $f(x)=0$ 구간을 증명할 때 사용됩니다.
복잡한 함수의 정적분을 구할 때, 적분 변수를 다른 변수($x \to u \to s$)로 바꾸어 적분 구간과 피적분 함수를 단순화하는 미적분학의 핵심 기술입니다.
$f(x) = t$ 의 실근을 $g(t)$ 와 $h(t)$ 로 정의한 것은 본질적으로 $f(x)$ 의 부분적인 역함수를 의미합니다. 이를 통해 $x$ 와 $t$ (또는 새로운 변수 $u$) 사이의 매개변수 관계식을 세우고 함수를 역추적합니다.
학생들이 가장 많이 하는 실수는 $t \to 0+$ 일 때 $g(t) \to 0$ 이라는 사실만으로 '$h(t)$ 도 무조건 0으로 갈 것이다' 라고 성급하게 추측하여 $k=0$ 이라고 단정짓는 것입니다.
만약 $k=0$ 이라면, $h(t) = -2g(t)$ 가 성립합니다. 이 경우 양수 $x$ 영역에서의 함수는 $f(x) = 2xe^{x^2}$ 가 됩니다.
이 함수를 주어진 조건인 $\int_{0}^{7} f(x)dx$ 에 대입하여 계산해 보면,
$\int_{0}^{7} 2xe^{x^2}dx = \left[ e^{x^2} \right]_{0}^{7} = e^{49} - 1$ 이 나옵니다.
이는 문제의 조건인 $e^4 - 1$ 과 일치하지 않습니다. 따라서 수학에서는 직관적인 극한 추론보다 주어진 적분 조건을 통한 역추적 검증이 필수적임을 알 수 있습니다.
방정식 $f(x)=t$ ($t>0$) 의 실근의 개수가 항상 2개라는 것은, $y=f(x)$ 의 그래프와 수평선 $y=t$ 의 교점이 항상 2개 존재해야 함을 의미합니다.
이미 $x < 0$ 구간에서 함수가 치역 $(0, \infty)$를 가지며 단조감소하므로, 여기서 무조건 1개의 교점($g(t)$)이 발생합니다. 따라서 $x \ge 0$ 구간에서는 $y=t$ 와 만나는 교점이 단 1개만 있어야 합니다. ($h(t)$)
그런데 앞서 $f(0)=0$ 이고 $f(k)=0$ 임을 확인했습니다. 만약 $(0, k)$ 구간 중 어느 한 곳이라도 $f(x) > 0$ 인 '봉우리' 형태가 생긴다면 어떻게 될까요?
그 봉우리의 높이보다 작은 어떤 $t$ 값을 그어보면, 봉우리를 올라갈 때 1번, 내려올 때 1번 만나게 되어 해당 구간에서만 최소 2개의 교점이 생깁니다. 결과적으로 전체 교점이 3개 이상이 되어 문제의 '실근이 2개'라는 조건에 모순이 발생합니다.
그러므로 교점이 추가로 발생하지 않으려면 $(0, k)$ 구간 전체에서 그래프가 $x$축에 바닥에 붙어있어야만($f(x)=0$) 합니다.
풀이 Step 2에서 $0 \le x \le k$ 구간 동안 $f(x)$ 가 0이어야 함을 논리적으로 엄밀하게 증명합니다.
[가정] 만약 어떤 $x_0 \in (0, k)$ 에 대하여 $f(x_0) > 0$ 이라고 가정해 봅시다. ($f(x) \ge 0$ 이므로 음수일 수는 없습니다.)
함수 $f(x)$ 는 연속함수이며, 앞서 증명했듯 $f(0) = 0$ 이고 $f(k) = 0$ 입니다.
최대·최소 정리와 연속함수의 성질에 의해, 폐구간 $[0, k]$ 안에서 함수 $f(x)$ 는 최댓값 $M = f(c)$ ($0 < c < k$) 을 가집니다. ($M > 0$)
이때 $0 < t_0 < M$ 을 만족하는 실수 $t_0$ 를 하나 잡습니다.
중간값 정리(사이값 정리)에 의하여, 구간 $(0, c)$ 와 구간 $(c, k)$ 에 각각 $f(x) = t_0$ 를 만족하는 실근이 적어도 하나씩 존재하게 됩니다.
결과적으로 $f(x) = t_0$ 의 해는 원래 존재하던 음수 근 $g(t_0)$, 구간 $(k, \infty)$ 에 존재하는 $h(t_0)$ 에 더하여, $(0, k)$ 구간 안에서 최소 2개의 근이 추가로 발생하게 됩니다. 이는 모든 양수 $t$ 에 대해 실근이 2개라는 문제의 전제 조건에 정면으로 위배(모순)됩니다.
따라서 가정이 틀렸으며, 모든 $x \in (0, k)$ 에 대하여 $f(x) = 0$ 이어야만 합니다.
슬라이더를 움직여 $y=t$ 선의 변화에 따른 두 실근 $g(t)$ 와 $h(t)$ 의 기하학적 매칭(변환비율 $1 : 2$)을 확인하세요.