수능 출제 분석

공간도형과 정사영 : 이면각과 타원의 기하학적 성질

Q [문제 원문]

28. 그림과 같이 서로 다른 두 평면 $\alpha, \beta$ 의 교선 위에 $\overline{\mathrm{AB}} = 18$ 인 두 점 $\mathrm{A, B}$ 가 있다. 선분 $\mathrm{AB}$ 를 지름으로 하는 원 $C_1$ 이 평면 $\alpha$ 위에 있고, 선분 $\mathrm{AB}$ 를 장축으로 하고 두 점 $\mathrm{F, F'}$ 을 초점으로 하는 타원 $C_2$ 가 평면 $\beta$ 위에 있다.
원 $C_1$ 위의 한 점 $\mathrm{P}$ 에서 평면 $\beta$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 할 때, $\overline{\mathrm{HF'}} < \overline{\mathrm{HF}}$ 이고 $\angle \mathrm{HFF'} = \frac{\pi}{6}$ 이다. 직선 $\mathrm{HF}$ 와 타원 $C_2$ 가 만나는 점 중 점 $\mathrm{H}$ 와 가까운 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하면, $\overline{\mathrm{FH}} < \overline{\mathrm{FQ}}$ 이다.
점 $\mathrm{H}$ 를 중심으로 하고 점 $\mathrm{Q}$ 를 지나는 평면 $\beta$ 위의 원은 반지름의 길이가 $4$ 이고 직선 $\mathrm{AB}$ 에 접한다. 두 평면 $\alpha, \beta$ 가 이루는 각의 크기를 $\theta$ 라 할 때, $\cos \theta$ 의 값은? (단, 점 $\mathrm{P}$ 는 평면 $\beta$ 위에 있지 않다.) [4점]

① $\frac{2\sqrt{66}}{33}$

② $\frac{4\sqrt{69}}{69}$

③ $\frac{\sqrt{2}}{3}$

④ $\frac{4\sqrt{3}}{15}$

⑤ $\frac{2\sqrt{78}}{39}$

1 [출제의도]

이 문항은 공간도형에서 삼수선의 정리와 이면각의 정의를 이해하고, 평면 $\beta$ 위에 정사영된 도형들의 기하학적 성질(타원의 정의, 원의 접선 성질)을 종합적으로 분석하여 이면각의 코사인 값을 구하는 능력을 평가합니다. 특히, 3차원 공간의 상황을 2차원 평면 $\beta$ 위로 정사영하여 해석하는 능력이 필수적입니다.

2 [상세 풀이]

Step 1 : 평면 $\beta$ 위에서의 타원과 정사영 분석 및 좌표축 설정

먼저 3차원 공간의 상황을 기준이 되는 평면 $\beta$ 위로 가져옵니다. 문제에 주어진 시각적 방향과 기하학적 조건을 완벽하게 매칭하기 위해 다음과 같이 좌표계를 설정합니다.

선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점을 원점 $\mathrm{O}$ 로 잡습니다.
문제 조건에 맞추어 점 $\mathrm{B}$ 에서 점 $\mathrm{A}$ 로 향하는 방향을 $x$축의 양의 방향으로,
교선 상의 수선의 발 $\mathrm{H'}$ 에서 정사영 점 $\mathrm{H}$ 로 향하는 방향을 $y$축의 양의 방향으로 설정합니다.
$\overline{\mathrm{AB}} = 18$ 이므로 좌표는 $\mathrm{A}(9, 0), \mathrm{B}(-9, 0)$ 이 됩니다.
타원 $C_2$ 의 장축의 길이는 $2a = 18$ 이며 초점은 $\mathrm{F}(c, 0), \mathrm{F'}(-c, 0)$ 으로 둡니다.

Step 2 : 점 $\mathrm{H}$ 의 기하학적 위치와 타원 초점 도출

점 $\mathrm{H}$ 를 중심으로 하고 직선 $\mathrm{AB}$ 에 접하는 원의 반지름이 $4$ 이므로, 수선의 발 $\mathrm{H'}$ 에서 $\mathrm{H}$ 까지의 거리 $\overline{\mathrm{HH'}} = 4$ 입니다.
좌표 설정에 따라 $\vec{\mathrm{H'H}}$ 방향이 $+y$ 이므로, 점 $\mathrm{H}$ 의 $y$좌표는 $4$ 입니다. ($y_H = 4$)
조건 $\overline{\mathrm{HF'}} < \overline{\mathrm{HF}}$ 에 의해 $\mathrm{H}$ 는 $\mathrm{F'}(-c,0)$ 에 가깝습니다. 즉 $x_H < 0$ 입니다.

직각삼각형 $\triangle \mathrm{FHH'}$ 에서 $\angle \mathrm{HFF'} = \frac{\pi}{6}$ 이고 높이 $\overline{\mathrm{HH'}} = 4$ 이므로, 삼각비에 의해 $\overline{\mathrm{FH}} = \frac{4}{\sin(\pi/6)} = 8$ 이며, 밑변 $\overline{\mathrm{FH'}} = 4\sqrt{3}$ 입니다.
점 $\mathrm{F}$ 의 좌표가 $(c, 0)$ 이고 점 $\mathrm{H'}$ 은 $\mathrm{F}$ 로부터 $-x$ 방향으로 $4\sqrt{3}$ 만큼 떨어져 있으므로 $x_H = c - 4\sqrt{3}$ 입니다.

[교육과정 해설 : 평면벡터의 활용]

2015 개정 교육과정 '기하' 과목의 평면벡터 단원을 활용하면 좌표를 매우 우아하고 직관적으로 도출할 수 있습니다. $\vec{\mathrm{FH}} = \mathrm{H} - \mathrm{F} = (c - 4\sqrt{3} - c, 4 - 0) = (-4\sqrt{3}, 4)$ 입니다.
세 점 $\mathrm{F - H - Q}$ 가 일직선에 있고, $\overline{\mathrm{HQ}}=4$ 이므로 $\overline{\mathrm{FQ}} = 8 + 4 = 12$ 입니다.
선분 비례에 따라 $\vec{\mathrm{FQ}} = \frac{12}{8}\vec{\mathrm{FH}} = 1.5 (-4\sqrt{3}, 4) = (-6\sqrt{3}, 6)$ 이 됩니다.
즉, 점 $\mathrm{Q}$ 의 좌표는 $\mathrm{F} + \vec{\mathrm{FQ}} = (c - 6\sqrt{3}, 6)$ 으로 쉽게 결정됩니다.

점 $\mathrm{Q}$ 는 타원 위의 점이므로 타원의 정의를 이용합니다. 장축 길이 $2a = 18$ 이므로 $\overline{\mathrm{FQ}} + \overline{\mathrm{F'Q}} = 18$ 입니다. $\overline{\mathrm{FQ}} = 12$ 이므로 $\overline{\mathrm{F'Q}} = 6$ 입니다.
$\mathrm{F'}(-c, 0)$ 과 $\mathrm{Q}(c - 6\sqrt{3}, 6)$ 사이의 거리 공식을 사용합니다:

$$ \overline{\mathrm{F'Q}}^2 = (c - 6\sqrt{3} - (-c))^2 + (6 - 0)^2 = 36 $$ $$ (2c - 6\sqrt{3})^2 + 36 = 36 \implies (2c - 6\sqrt{3})^2 = 0 $$ $$ 2c = 6\sqrt{3} \implies c = 3\sqrt{3} $$

타원 초점의 좌표 도출 완료 : $\mathrm{F}(3\sqrt{3}, 0), \mathrm{F'}(-3\sqrt{3}, 0)$
점 $\mathrm{H}$ 와 $\mathrm{Q}$ 의 좌표 도출 완료 : $\mathrm{H}(-\sqrt{3}, 4), \mathrm{Q}(-3\sqrt{3}, 6)$

Step 3 : 공간 점 $\mathrm{P}$ 와 삼수선의 정리 적용

점 $\mathrm{H}$ 의 위치를 평면 $\beta$ 위에서 $(-\sqrt{3}, 4)$ 로 확정했습니다.
공간 상의 점 $\mathrm{P}$ 는 평면 $\alpha$ 위 반지름 $9$ 인 원 $C_1$ 위의 점이며, 점 $\mathrm{P}$ 의 $\beta$ 평면 위로의 정사영이 $\mathrm{H}$ 입니다.

[핵심 증명 : 삼수선의 정리]
1. 점 $\mathrm{P}$ 에서 평면 $\beta$ 에 내린 수선의 발이 $\mathrm{H}$ 이므로, $\mathrm{PH} \perp \beta$
2. 점 $\mathrm{H}$ 에서 교선 $\mathrm{AB}$ 에 내린 수선의 발이 $\mathrm{H'}$ 이므로, $\mathrm{HH'} \perp \mathrm{AB}$
3. 삼수선의 정리에 의해, 선분 $\mathrm{PH'}$ 는 교선 $\mathrm{AB}$ 와 수직입니다. ($\mathrm{PH'} \perp \mathrm{AB}$)

$\mathrm{PH'} \perp \mathrm{AB}$ 이므로 평면 $\alpha$ 위에서 선분 $\mathrm{PH'}$ 는 원 $C_1$ 의 현 $\mathrm{AB}$(지름)에 내린 수선입니다. 원의 중심(원점 $\mathrm{O}$)에서 $\mathrm{H'}$ 까지의 거리는 $|-\sqrt{3}| = \sqrt{3}$ 입니다.
직각삼각형 $\triangle \mathrm{OH'P}$ 에 피타고라스 정리를 적용하면 반지름 $\mathrm{OP} = 9$ 이므로 :

$$ \overline{\mathrm{PH'}}^2 + \overline{\mathrm{OH'}}^2 = \overline{\mathrm{OP}}^2 \implies \overline{\mathrm{PH'}}^2 + (\sqrt{3})^2 = 9^2 \implies \overline{\mathrm{PH'}}^2 = 78 \implies \overline{\mathrm{PH'}} = \sqrt{78} $$

Step 4 : 이면각 $\theta$ 의 코사인 값 계산

두 평면 $\alpha, \beta$ 가 이루는 이면각 $\theta$ 는, 교선 $\mathrm{AB}$ 에 각각 수직인 두 선분 $\mathrm{PH'}$ (평면 $\alpha$) 와 $\mathrm{HH'}$ (평면 $\beta$) 가 이루는 각 $\angle \mathrm{PH'H}$ 와 같습니다.
직각삼각형 $\triangle \mathrm{PH'H}$ ($\angle \mathrm{PHH'} = 90^\circ$) 에 집중합니다.

삼각형 $\triangle \mathrm{PH'H}$ 의 빗변은 $\overline{\mathrm{PH'}} = \sqrt{78}$ 이고, 밑변은 $\overline{\mathrm{HH'}} = 4$ 이므로 코사인 값은 다음과 같이 구해집니다.

이면각 $\theta$ 의 코사인 값

$$ \cos \theta = \frac{\overline{\mathrm{HH'}}}{\overline{\mathrm{PH'}}} = \frac{4}{\sqrt{78}} = \frac{4\sqrt{78}}{78} = \frac{2\sqrt{78}}{39} $$

3 [이론 매칭]

정사영

공간도형을 특정 평면 위로 수직 투영했을 때 나타나는 도형. 길이와 넓이가 $\cos \theta$ 배로 축소되는 성질을 가지며 이면각 해석의 기본 틀이 됩니다.

타원의 정의

두 초점으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합. $\overline{\mathrm{FQ}} + \overline{\mathrm{F'Q}} = 2a$ 를 활용하여 초점의 위치와 c값을 특정했습니다.

삼수선의 정리

공간의 한 점, 평면, 평면 위의 직선 사이의 수직 관계를 명확히 하는 정리. $\mathrm{PH'} \perp \mathrm{AB}$ 를 이끌어내어 직각삼각형을 구성하는 핵심 이론입니다.

이면각

교선을 공유하는 두 반평면이 이루는 각. 교선 위의 한 점에서 교선에 수직으로 그은 두 반선이 이루는 각으로 정의하여 연산했습니다.

4 [실수 포인트 및 증명]

🚨 정사영된 점의 위치에 대한 오개념

공간의 점 $\mathrm{P}$ 가 타원의 단축 상이나 특수한 대칭축 위에 있을 것이라고 섣불리 지레짐작하여 좌표를 잘못 설정하는 경우가 많습니다. 본 해설처럼 기하학적 제약 조건(반지름이 4인 원의 접함, 초점과의 거리 차이)을 통해 철저하게 좌표를 유도해야 오류를 방지할 수 있습니다.

2D / 3D Interactive 공간도형 및 정사영 분석

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타원 초점거리 (c)

$3\sqrt{3} \approx 5.20$

이면각 $\cos\theta$

$\frac{2\sqrt{78}}{39} \approx 0.45$

* 3D 시뮬레이션에서는 이면각에 따른 점 P의 위치와 정사영 관계를 확인할 수 있습니다.