29.
첫째항과 공비가 각각 $0$이 아닌 두 등비수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$에 대하여 두 급수 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n, \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$이 각각 수렴하고
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n b_n = \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \right) \times \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n \right)$,
$3 \times \sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_{2n}| = 7 \times \sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_{3n}|$
이 성립한다. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{b_{2n-1} + b_{3n+1}}{b_n} = S$일 때, $120S$의 값을 구하시오. [4점]
이 문항은 등비급수의 수렴 조건을 바탕으로 두 무한급수의 관계식을 대수적으로 풀어내는 능력을 평가합니다. 특히 절댓값이 포함된 등비수열의 새로운 공비 변화를 정확히 추론하고, 연립방정식을 푸는 과정에서 발생하는 무연근을 수렴 조건($-1 < r < 1$)을 통해 걸러내는 논리적 엄밀성을 묻고 있습니다.
두 등비수열 $\{a_n\}, \{b_n\}$의 첫째항을 각각 $a, b$ 라 하고, 공비를 각각 $r, s$ 라고 합시다. (단, $a \neq 0, b \neq 0, r \neq 0, s \neq 0$)
두 급수가 수렴하므로 공비의 조건은 $-1 < r < 1$, 그리고 $-1 < s < 1$ 입니다.
첫 번째 조건식 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n b_n = \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n \right) \times \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n \right)$ 을 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.
수열 $\{a_n b_n\}$ 은 첫째항이 $ab$ 이고 공비가 $rs$ 인 등비수열이 됩니다.
$a \neq 0, b \neq 0$ 이므로 양변을 $ab$ 로 나눌 수 있습니다.
분모끼리 같아야 하므로 식을 전개하여 정리합니다.
이 식을 공비 $s$ 에 대하여 정리하여 유리함수(분수함수) 형태로 표현한 뒤, 점근선을 파악하기 쉽게 진분수 꼴로 변형하면 다음과 같습니다.
참고 도형 : 관계식 $s = \frac{1}{4r - 2} + \frac{1}{2}$ 의 유리함수 개형
두 번째 조건식 $3 \times \sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_{2n}| = 7 \times \sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_{3n}|$ 을 분석합니다.
수열 $a_{2n} = a r^{2n-1} = (ar)(r^2)^{n-1}$ 이므로, 절댓값을 씌운 수열 $|a_{2n}|$ 은 첫째항이 $|ar|$ 이고 공비가 $r^2$ 인 등비수열입니다. (이때 $-1 < r < 1$ 이므로 $r^2 < 1$ 로 수렴 조건 만족)
마찬가지로 수열 $a_{3n} = a r^{3n-1} = (ar^2)(r^3)^{n-1}$ 이므로, 절댓값을 씌운 수열 $|a_{3n}|$ 은 첫째항이 $|ar^2|$ 이고 공비가 $|r|^3$ 인 등비수열입니다. 이를 급수 합 공식에 대입하면 다음과 같습니다.
$a \neq 0, r \neq 0$ 이므로 양변을 $|ar|$ 로 나눕니다.
분모를 인수분해하면 $1 - r^2 = (1 - |r|)(1 + |r|)$ 이고, $1 - |r|^3 = (1 - |r|)(1 + |r| + |r|^2)$ 입니다.
$|r| < 1$ 이므로 $1 - |r| \neq 0$ 입니다. 양변에서 $1 - |r|$ 을 약분합니다.
대각선으로 곱하여 식을 전개합니다.
이차방정식을 인수분해하면 $(2|r| + 3)(2|r| - 1) = 0$ 이 됩니다.
$|r| > 0$ 이므로 $|r| = \frac{1}{2}$ 가 성립합니다. 따라서 $r = \frac{1}{2}$ 또는 $r = -\frac{1}{2}$ 입니다.
이제 구한 $r$ 값을 Step 1에서 구한 식 (1)에 대입하여 종속 공비 $s$ 를 구해야 합니다. ($s = \frac{r}{2r-1}$ 에 대입하는 것이 계산에 더 편리합니다.)
$r = -\frac{1}{2}$ 을 대입하여 $s$ 의 값을 구합니다.
우리가 구해야 할 목표는 급수 $S = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{b_{2n-1} + b_{3n+1}}{b_n}$ 입니다.
$b_n = b s^{n-1}$ 임을 이용하여 식을 분리해 봅시다.
따라서 $S$ 는 두 개의 등비급수 합으로 나뉩니다.
이 두 급수는 각각 첫째항이 $1$, 공비가 $s$ 인 등비급수와 첫째항이 $s^3$, 공비가 $s^2$ 인 등비급수입니다.
미리 구한 $s = \frac{1}{4}$ 을 대입하여 각각의 합을 구합니다.
이 두 급수는 각각 첫째항이 $1$, 공비가 $s$ 인 등비급수와 첫째항이 $s^3$, 공비가 $s^2$ 인 등비급수입니다.
미리 구한 $s = \frac{1}{4}$ 을 대입하여 각각의 합을 구합니다.
따라서 $S = \frac{4}{3} + \frac{1}{60} = \frac{80}{60} + \frac{1}{60} = \frac{81}{60} = \frac{27}{20}$ 입니다.
따라서 정답은 ③ $162$ 입니다.
무한등비급수 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$ 가 수렴하기 위한 필요충분조건은 첫째항 $a=0$ 이거나 공비 $r$이 $-1 < r < 1$ 의 범위를 가질 때입니다.
공비 $r$이 $|r| \ge 1$ 일 때 급수는 발산합니다. 특히 $r=1$ 이면 $S_n = na$ 가 되어 발산($a \neq 0$)하고, $r \le -1$ 이면 극한값이 진동하거나 발산합니다.
수열에 절댓값을 씌울 경우, 공비가 음수더라도 절댓값이 씌워지면서 새로운 수열의 공비는 무조건 양수로 변환($r \to |r|$)됨을 이용합니다.
연립방정식을 풀거나 분수방정식을 푸는 과정에서 식의 모양이 바뀌면서 원래의 정의역(분모가 0이 될 수 없음)을 벗어나는 거짓 해(무연근)가 발생할 수 있으며, 이를 반드시 검증해야 합니다.
이차방정식을 풀어 $|r| = \frac{1}{2}$ 을 얻었을 때, 습관적으로 양수인 $r = \frac{1}{2}$ 을 선택하고 넘어가는 경우가 많습니다.
우리가 처음에 도출한 관계식은 $r + s - 2rs = 0$ 이었습니다. 이를 $s$ 에 관한 함수로 표현하면 $s(r) = \frac{r}{2r - 1} = \frac{1}{4r - 2} + \frac{1}{2}$ 가 되는 유리함수입니다.
유리함수의 성질상 분모가 0이 되는 지점, 즉 $2r - 1 = 0 \implies r = \frac{1}{2}$ 인 지점에서는 수직 점근선이 형성되어 함수값이 정의되지 않습니다 (무한대로 발산).
문제 조건에서 두 급수가 "수렴한다"고 명시되어 있으므로 $s$ 역시 실수값을 가져야 하는데, $r = \frac{1}{2}$ 일 때는 대응하는 $s$ 값이 존재하지 않아 수학적 모순이 발생합니다. 우측 인터랙티브 패널의 $r$-축에서 $0.5$ 로 이동시켜보면 이 점근선을 시각적으로 확인할 수 있습니다.
첫째항이 $a$, 공비가 $r$ 인 등비수열의 첫째항부터 $n$ 항까지의 부분합을 $S_n$ 이라 하면,
양변에 공비 $r$ 을 곱하면,
두 식을 변끼리 빼면 대부분의 항이 소거됩니다.
여기서 $n$ 이 무한대로 갈 때($n \to \infty$), 급수가 수렴하기 위해서는 $\lim\limits_{n \to \infty} r^n = 0$ 이어야 합니다. 이는 $|r| < 1$ 일 때만 성립하며, 이때 최종적으로 급수의 합 $S$ 는 다음과 같이 결정됩니다.
슬라이더를 움직여 공비 $r$ 의 변화에 따른 종속 공비 $s$ 의 기하학적 궤적(쌍곡선)을 확인하세요. 캔버스를 드래그하여 이동하거나 휠(터치)로 확대/축소할 수 있습니다.