29. 양수 $c$ 에 대하여 두 점 $\mathrm{F}(c, 0)$, $\mathrm{F'}(-c, 0)$ 을 초점으로 하고, 주축의 길이가 $6$ 인 쌍곡선이 있다. 이 쌍곡선 위에 다음 조건을 만족시키는 서로 다른 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ 가 존재하도록 하는 모든 $c$ 의 값의 합을 구하시오. [4점]
(가) 점 $\mathrm{P}$ 는 제1사분면 위에 있고, 점 $\mathrm{Q}$ 는 직선 $\mathrm{PF'}$ 위에 있다.
(나) 삼각형 $\mathrm{PF'F}$ 는 이등변삼각형이다.
(다) 삼각형 $\mathrm{PQF}$ 의 둘레의 길이는 $28$ 이다.
이 문항은 쌍곡선의 정의(두 초점으로부터의 거리의 차가 일정)를 정확히 이해하고, 초점을 지나는 직선이 쌍곡선의 두 가지(왼쪽, 오른쪽)와 만나는 기하학적 위치 관계를 논리적으로 추론하는 능력을 평가합니다. 특히, 점 $\mathrm{Q}$ 의 위치를 대수적, 기하학적으로 한정하고 이등변삼각형의 성질과 연립하여 미지수 $c$ 를 찾아내는 고도의 추론력을 요구합니다.
주축의 길이가 $6$ 이므로 쌍곡선의 방정식 중심 개념에서 $2a = 6$, 즉 $a = 3$ 입니다. 중심이 원점이고 초점이 x축 위에 있으므로 방정식은 다음과 같이 세울 수 있습니다.
조건 (가)에서 점 $\mathrm{P}$ 는 제1사분면($x > 0, y > 0$) 위에 있습니다. 쌍곡선의 오른쪽 가지($x \ge 3$)에 위치하므로, 초점 $\mathrm{F'}(-c, 0)$ 까지의 거리가 초점 $\mathrm{F}(c, 0)$ 까지의 거리보다 멀게 됩니다. 따라서 쌍곡선의 정의에 의해 다음 식이 성립합니다.
점 $\mathrm{Q}$ 는 직선 $\mathrm{PF'}$ 위에 있고 동시에 쌍곡선 위의 점입니다. 직선 $\mathrm{PF'}$ 는 초점 $\mathrm{F'}$ 을 지나고 제1사분면의 점 $\mathrm{P}$ 를 향해 뻗어가는 직선입니다.
초점 $\mathrm{F'}(-c, 0)$ 은 쌍곡선의 왼쪽 가지($x \le -3$)의 오목한 안쪽 구역에 위치합니다. 따라서 $\mathrm{F'}$ 에서 출발하여 쌍곡선의 오른쪽 가지에 있는 $\mathrm{P}$ 로 향하는 선분 $\mathrm{PF'}$ 은 반드시 쌍곡선의 왼쪽 가지를 관통해야 합니다.
어떤 직선이 초점 $\mathrm{F'}$ 을 지날 때 오른쪽 가지와 두 번 만나는 것은 기하학적으로 불가능합니다(점근선 안쪽 구역에 갇힘). 따라서 쌍곡선 위의 점 $\mathrm{Q}$ 는 오직 왼쪽 가지와의 교점일 수밖에 없으며, 위치 순서는 반드시 $\mathrm{F'} - \mathrm{Q} - \mathrm{P}$ 순서가 됩니다. (※ 하단 [실수 포인트 및 증명] 섹션에서 대수적으로 완벽히 증명합니다.)
세 점 $\mathrm{F'}, \mathrm{Q}, \mathrm{P}$ 가 일직선 상에 있고 $\mathrm{Q}$ 가 선분 $\mathrm{F'P}$ 위에 있으므로 $\overline{\mathrm{PQ}} = \overline{\mathrm{PF'}} - \overline{\mathrm{QF'}}$ 입니다.
점 $\mathrm{Q}$ 는 쌍곡선의 왼쪽 가지 위의 점이므로 쌍곡선의 정의에 의해 거리가 더 먼 쪽인 오른쪽 초점 $\mathrm{F}$ 와의 관계식은 다음과 같습니다.
이제 조건 (다)의 삼각형 $\mathrm{PQF}$ 의 둘레 길이를 계산해봅시다.
Step 1에서 구한 쌍곡선의 정의 $\overline{\mathrm{PF'}} - \overline{\mathrm{PF}} = 6$ 와 연립합니다.
조건 (나)에서 삼각형 $\mathrm{PF'F}$ 는 이등변삼각형입니다.
세 변의 길이는 $\overline{\mathrm{PF'}} = 14$, $\overline{\mathrm{PF}} = 8$, 그리고 초점 간의 거리 $\overline{\mathrm{F'F}} = 2c$ 입니다.
$\overline{\mathrm{PF'}} \neq \overline{\mathrm{PF}}$ 이므로, 이등변삼각형이 되기 위한 조건은 두 가지 경우뿐입니다.
$$ 14 = 2c \implies c = 7 $$
이때 세 변은 $14, 14, 8$ 이며, 삼각형 결정 조건($8 + 14 > 14$)을 완벽히 만족합니다.
$$ 8 = 2c \implies c = 4 $$
이때 세 변은 $14, 8, 8$ 이며, 삼각형 결정 조건($8 + 8 = 16 > 14$)을 완벽히 만족합니다.
평면 위의 두 정점(초점)으로부터의 거리의 차가 일정한 점들의 집합. 문제 전반을 관통하는 가장 핵심적인 기하학적 토대입니다.
쌍곡선의 초점을 지나는 직선이 점근선의 기울기와 갖는 대소 관계에 따라 교점의 위치와 개수가 결정되는 성질을 이용합니다.
가장 긴 변의 길이는 나머지 두 변의 길이의 합보다 작아야 한다는 조건. 도출된 $c$ 값이 기하학적으로 실존하는지 검증할 때 쓰입니다.
두 변의 길이가 같은 삼각형. 쌍곡선 상의 고정된 길이 차이를 이용해 가능한 변의 길이 조합을 좁히는 데 사용되었습니다.
쌍곡선에서 초점 $\mathrm{F'}$ 을 지나고 두 가지를 각각 교차하는 점을 $\mathrm{Q}$ (왼쪽 가지), $\mathrm{P}$ (오른쪽 가지)라 할 때, 반대편 초점 $\mathrm{F}$ 를 포함한 삼각형 $\mathrm{PQF}$ 의 둘레 길이는 매우 정형화된 공식을 가집니다.
이 유도 과정을 기억하면 복잡한 미지수 연산 없이 둘레 조건을 즉시 덧셈식으로 환원할 수 있습니다.
많은 학생들이 점 $\mathrm{Q}$ 도 점 $\mathrm{P}$ 와 마찬가지로 오른쪽 가지 위에 있다고 착각하여 식을 잘못 세웁니다. 이 경우 $\overline{\mathrm{PQ}} = \overline{\mathrm{PF'}} - \overline{\mathrm{QF'}}$ 와 $\overline{\mathrm{QF'}} - \overline{\mathrm{QF}} = 6$ 을 연립하게 되어 둘레 = $\overline{\mathrm{PF'}} + \overline{\mathrm{PF}} - 6 = 28$ 이라는 잘못된 식을 도출하고, 오답인 $c=10$ 을 포함해 합을 $17$ 로 적는 치명적인 실수를 범합니다.
초점 $\mathrm{F'}(-c, 0)$ 을 지나는 직선의 방정식을 $y = m(x+c)$ 라 하고, 이를 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 에 대입하여 교점의 $x$ 좌표를 구하는 이차방정식을 만듭니다.
$(b^2 - a^2m^2)x^2 - 2a^2m^2cx - a^2(m^2c^2 + b^2) = 0$
직선이 쌍곡선의 오른쪽 가지와 두 번 만나려면, 이 이차방정식의 두 근이 모두 양수여야 합니다.
두 근의 곱은 $\frac{-a^2(m^2c^2 + b^2)}{b^2 - a^2m^2}$ 입니다.
만약 기울기가 점근선보다 완만하여($m^2 < \frac{b^2}{a^2}$) 분모가 양수라면, 분자가 항상 음수이므로 두 근의 곱은 음수가 됩니다. 즉, 무조건 하나는 양수(오른쪽 가지), 하나는 음수(왼쪽 가지)의 근을 갖습니다.
만약 기울기가 가파르다면 분모가 음수가 되어 두 근의 곱은 양수이지만, 이때 두 근의 합 $\frac{2a^2m^2c}{b^2 - a^2m^2}$ 은 분모 때문에 음수가 되어 두 근이 모두 음수(왼쪽 가지와 2번 교차)가 됩니다.
결론: 초점 $\mathrm{F'}$ 을 지나는 그 어떤 직선도 오른쪽 가지와 2번 만날 수 없으므로, 점 $\mathrm{Q}$ 는 필연적으로 왼쪽 가지 위에 있어야만 합니다.
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