30.
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$가
$f'(x) = |\sin x| \cos x$
이다. 양수 $a$에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 방정식을 $y=g(x)$라 하자. 함수
$h(x) = \int_0^x \{f(t) - g(t)\} dt$
가 $x=a$에서 극대 또는 극소가 되도록 하는 모든 양수 $a$를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $n$번째 수를 $a_n$이라 하자. $\frac{100}{\pi} \times (a_6 - a_2)$의 값을 구하시오. [4점]
이 문항은 정적분으로 정의된 함수의 극대·극소 조건을 도함수의 부호 변화를 통해 파악하고, 이를 원래 함수 $f(x)$와 접선 $g(x)$의 기하학적 위치 관계(변곡점)로 해석하는 추론 능력을 평가합니다. 특히, 절댓값이 포함된 도함수 $f'(x)$의 미분가능성을 조사하고, 이계도함수가 정의되지 않는 점에서도 도함수의 증감이 바뀌어 변곡점이 될 수 있음을 정확히 이해하고 있는지 묻는 고난도 문항입니다.
함수 $h(x)$가 $x=a$에서 극값을 가지려면, $h'(x)$가 $x=a$에서 부호가 변해야 합니다. 미적분학의 기본정리에 의해 $h'(x)$를 구하면 다음과 같습니다.
$g(x)$는 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선이므로, $h'(a) = f(a) - g(a) = 0$은 당연히 성립합니다. 중요한 것은 $x=a$의 좌우에서 $f(x) - g(x)$의 부호가 변해야 한다는 점입니다.
일반적으로 함수 $f(x)$가 미분가능할 때, 접점 $x=a$ 부근에서 곡선 $y=f(x)$는 접선 $y=g(x)$의 위쪽(아래로 볼록) 또는 아래쪽(위로 볼록) 중 한 곳에만 위치하게 됩니다. 이 경우 접점을 통과할 때 $f(x) - g(x)$의 부호가 변하지 않으므로 $h(x)$는 극값을 가지지 못합니다.
하지만 $x=a$ 좌우에서 $f(x) - g(x)$의 부호가 역전된다는 것은, 곡선 $y=f(x)$가 접선 $y=g(x)$를 뚫고 지나간다(관통한다)는 것을 의미합니다.
곡선이 접선을 뚫고 지나가기 위해서는 반드시 그 지점을 기점으로 곡선의 오목·볼록 상태가 '아래로 볼록'에서 '위로 볼록'으로, 혹은 그 반대로 뒤집혀야만 합니다. 수학에서는 이러한 점을 기하학적으로 변곡점(Inflection Point)이라고 정의합니다. 따라서 문제에서 묻는 $h(x)$가 극값을 갖는 양수 $a$의 조건은 곧 함수 $f(x)$의 변곡점의 $x$좌표를 찾는 것과 완벽히 동치입니다.
점 $(a, f(a))$가 변곡점이 되기 위해서는 $x=a$의 좌우에서 도함수 $f'(x)$의 증감이 바뀌어야 합니다. (즉, $f''(x)$의 부호가 변해야 합니다.)
주어진 $f'(x) = |\sin x| \cos x$를 $\sin x$의 부호에 따라 구간을 나누어 정리합니다.
각 구간 내에서 $f''(x) = 0$이 되며 좌우에서 부호가 바뀌는 지점을 찾습니다.
"고등학교 교육과정에서 미적분(과거 미적분2)에서 이계도함수를 배우나요?"
네, 배웁니다. 현행 2015 개정 교육과정(및 2022 개정)의 고등학교 수학 선택 과목인 [미적분]의 '미분법' 단원에서 이계도함수($f''(x)$)의 정의와 계산을 명시적으로 학습합니다. 나아가 이를 활용하여 곡선의 오목과 볼록을 판정하고 변곡점을 구하는 기하학적 성질을 자세히 다루고 있으므로, 수능 출제 범위 및 핵심 평가 요소에 완벽히 부합합니다.
$x = \pi, 2\pi, \cdots$ 와 같이 $\sin x = 0$ 이 되는 지점에서는 $f''(x)$가 존재하지 않습니다. 그러나 이계도함수의 존재 여부와 무관하게 도함수 $f'(x)$의 증감이 바뀌면 변곡점이 될 수 있으므로 반드시 확인해야 합니다.
▶ $x = \pi$ 주변에서의 조사
$x = \pi$ 의 좌극한 부근($\frac{3\pi}{4} < x < \pi$)에서 $f''(x) = \cos 2x > 0$ 이므로 $f'(x)$는 증가합니다.
$x = \pi$ 의 우극한 부근($\pi < x < \frac{5\pi}{4}$)에서 $f''(x) = -\cos 2x < 0$ 이므로 $f'(x)$는 감소합니다.
따라서 $f'(x)$는 $x = \pi$에서 증가하다가 감소하므로, $f(x)$는 아래로 볼록에서 위로 볼록으로 바뀝니다. 즉, 변곡점입니다.
▶ $x = 2\pi$ 주변에서의 조사
마찬가지로 $x = 2\pi$ 좌측($f'' < 0$)에서 우측($f'' > 0$)으로 넘어갈 때, $f'(x)$의 증감이 감소에서 증가로 바뀌므로 $x=2\pi$ 역시 변곡점입니다.
지금까지 찾은 변곡점의 $x$좌표(양수)를 작은 순서대로 나열하면 수열 $a_n$이 됩니다.
우리가 구해야 할 값은 $\frac{100}{\pi} \times (a_6 - a_2)$ 입니다.
따라서 정답은 ③ $125$ 입니다.
미적분학의 기본정리에 의해 $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt = f(x)$가 성립함을 이용하여 도함수를 도출합니다.
도함수 $h'(x)$가 $x=a$를 좌우로 통과할 때, 부호가 $(+)$에서 $(-)$로 또는 $(-)$에서 $(+)$로 변해야 극값을 갖습니다.
원래 함수 $f(x)$와 그 접선 $g(x)$의 차이인 $f(x) - g(x)$의 부호가 변하는 점이 바로 곡선의 오목·볼록이 바뀌는 변곡점입니다.
이계도함수 $f''(x)$가 존재하지 않는 점($x=n\pi$)이라도 도함수 $f'(x)$의 증감이 바뀌면 그 점은 변곡점이 됩니다.
학생들이 가장 많이 하는 실수는 $h'(a) = f(a) - g(a) = 0$ 임을 확인하고, $a$를 단순히 $f'(x)$의 임의의 점으로 생각하여 오류에 빠지는 것입니다. 하지만 $g(x)$가 접선이므로 $x=a$에서 항상 $h'(a)=0$이 성립합니다. 중요한 것은 0이 되는 것이 아니라 부호의 변화(Sign change)입니다. 만약 $a$가 변곡점이 아닌 일반적인 접점이라면 접선은 곡선을 뚫지 못하고 곡선의 한쪽에만 존재하게 되어 $h'(x)$의 부호가 변하지 않습니다.
수식을 기계적으로 미분하여 $f''(x) = \pm\cos 2x = 0$ 이 되는 점들만 찾고, 절댓값 때문에 $f''(x)$가 정의되지 않는 $x = \pi, 2\pi$ 와 같은 점들을 누락하는 경우가 많습니다. 고등학교 심화수학 과정 및 대학 미적분학에서도 강조하듯, 임계점(Critical point)은 미분계수가 0인 점뿐만 아니라 미분불가능한 점도 포함하여 조사해야 합니다.
고등학교 교육과정을 다소 넘어서지만 심화 이해를 위해 테일러 급수(Taylor series)를 이용하면 이를 명쾌하게 증명할 수 있습니다. 함수 $f(x)$를 $x=a$ 주변에서 전개하면 다음과 같습니다.
접선의 방정식은 $g(x) = f(a) + f'(a)(x-a)$ 이므로, 두 식의 차이는 다음과 같이 근사됩니다.
만약 $f''(a) \neq 0$ 이라면 (즉, 일반적인 점), $(x-a)^2$ 항이 지배적이 되어 $x=a$ 좌우에서 항상 같은 부호를 갖습니다 (부호 변화 없음 $\rightarrow$ 극값 아님).
하지만 $f''(a) = 0$ 이고 $f'''(a) \neq 0$ 이라면 (즉, 변곡점), $(x-a)^3$ 항이 지배적이 되어 $x=a$를 통과할 때 부호가 극적으로 바뀝니다. 따라서 $h'(x) = f(x)-g(x)$가 부호 변화를 일으키며 $h(x)$가 극값을 갖게 됩니다.