평면벡터의 분해와 평행이동의 기하학적 불변성

Step 1 : 시점의 통일과 벡터의 분해

조건 (나)에 주어진 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{AX}}$ 를 분석하기 위해, 우변의 벡터들을 고정된 내분점 $\mathrm{D, E, F}$ 를 경유하도록 뺄셈을 이용하여 분해합니다.

이를 조건 (나)의 식에 대입하여 정리하면 다음과 같습니다.

Step 2 : 상수 벡터의 계산과 영벡터 도출

위 식에서 앞부분의 괄호 $(\overrightarrow{\mathrm{DB}} + \overrightarrow{\mathrm{EC}} + \overrightarrow{\mathrm{FA}})$ 는 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 가 고정되어 있으므로 상수 벡터입니다. 각 변을 $1 : 3$ 으로 내분하므로 그 크기는 원래 변 벡터의 $\frac{3}{4}$ 에 해당합니다.

삼각형의 세 변을 순환하는 벡터의 합은 시점과 종점이 일치하므로 영벡터($\vec{0}$)가 됩니다. 즉, $\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{BC}} + \overrightarrow{\mathrm{CA}} = \overrightarrow{\mathrm{AA}} = \vec{0}$ 이므로, $(\overrightarrow{\mathrm{DB}} + \overrightarrow{\mathrm{EC}} + \overrightarrow{\mathrm{FA}}) = \vec{0}$ 입니다. 따라서 $\overrightarrow{\mathrm{AX}}$ 는 다음과 같이 극적으로 단순화됩니다.

Step 3 : 벡터 크기의 최대 조건과 평행이동

조건 (가)에 의해 $|\overrightarrow{\mathrm{DP}}| = |\overrightarrow{\mathrm{EQ}}| = |\overrightarrow{\mathrm{FR}}| = 1$ 입니다. 이는 점 $\mathrm{P, Q, R}$ 이 각각 점 $\mathrm{D, E, F}$ 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$인 원 위를 움직인다는 것을 뜻합니다.

Step 2에서 구한 식 $\overrightarrow{\mathrm{AX}} = -(\overrightarrow{\mathrm{DP}} + \overrightarrow{\mathrm{EQ}} + \overrightarrow{\mathrm{FR}})$ 의 크기인 $|\overrightarrow{\mathrm{AX}}|$ 가 최대가 되려면 어떻게 해야 할까요?
벡터들의 합의 크기가 최대가 되는 순간은, 더해지는 모든 벡터들이 완벽하게 같은 방향을 가리킬 때입니다. (마치 세 사람이 같은 방향으로 물건을 당길 때 가장 큰 힘이 발휘되는 것과 같습니다.)

따라서 $|\overrightarrow{\mathrm{AX}}|$ 가 최대가 되려면 $\overrightarrow{\mathrm{DP}}, \overrightarrow{\mathrm{EQ}}, \overrightarrow{\mathrm{FR}}$ 세 벡터의 방향과 크기가 모두 같아야 합니다. 즉, $\overrightarrow{\mathrm{DP}} = \overrightarrow{\mathrm{EQ}} = \overrightarrow{\mathrm{FR}}$ 이어야 합니다.

이 공통된 벡터를 $\vec{v}$ 라고 해봅시다.
그러면 $\overrightarrow{\mathrm{DP}} = \vec{v}$ 에서 점 $\mathrm{P}$ 는 점 $\mathrm{D}$ 를 $\vec{v}$ 만큼 평행이동한 점이 됩니다.
마찬가지로 점 $\mathrm{Q}$ 는 점 $\mathrm{E}$ 를 $\vec{v}$ 만큼, 점 $\mathrm{R}$ 은 점 $\mathrm{F}$ 를 $\vec{v}$ 만큼 평행이동한 점이 됩니다.

결과적으로 삼각형 $\mathrm{PQR}$ 의 세 꼭짓점은 삼각형 $\mathrm{DEF}$ 의 세 꼭짓점을 정확히 같은 방향, 같은 거리($\vec{v}$)만큼 평행이동하여 얻어집니다. 도형을 평행이동해도 그 모양과 넓이는 변하지 않으므로, 우리가 구하려는 삼각형 $\mathrm{PQR}$ 의 넓이 $S$ 는 고정된 삼각형 $\mathrm{DEF}$ 의 넓이와 완전히 같습니다.

Step 4 : 삼각형의 넓이 계산 및 정답 도출

이제 삼각형 $\mathrm{DEF}$ 의 넓이를 구합니다. 전체 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 는 한 변의 길이가 $4$ 인 정삼각형이므로, 전체 넓이는 $\frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = 4\sqrt{3}$ 입니다.

삼각형 $\mathrm{DEF}$ 를 제외한 외곽의 세 작은 삼각형($\triangle \mathrm{ADF}, \triangle \mathrm{BDE}, \triangle \mathrm{CEF}$)의 넓이를 각각 구합니다. 내분점의 비율이 $1 : 3$ 이므로 각 선분의 길이는 $1$ 과 $3$ 입니다.

대칭성에 의해 $\triangle \mathrm{ADF}, \triangle \mathrm{BDE}, \triangle \mathrm{CEF}$ 의 넓이는 모두 동일합니다. 따라서 삼각형 $\mathrm{DEF}$ 의 넓이 $S$ 는 다음과 같습니다.

최종적으로 구하고자 하는 값은 $16S^2$ 이므로,