양수 $t$ 에 대하여 확률변수 $X$ 가 정규분포 $N(1, t^2)$ 을 따른다.
$P(X \le 5t) \ge \frac{1}{2}$
이 되도록 하는 모든 양수 $t$ 에 대하여 $P(t^2 - t + 1 \le X \le t^2 + t + 1)$ 의 최댓값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값을 $k$ 라 하자. $1000 \times k$ 의 값을 구하시오.
[4점]
| $z$ | $P(0 \le Z \le z)$ |
|---|---|
| 0.6 | 0.226 |
| 0.8 | 0.288 |
| 1.0 | 0.341 |
| 1.2 | 0.385 |
| 1.4 | 0.419 |
이 문항은 연속확률변수의 분포를 다루는 데 있어 가장 기본적이면서도 중요한 정규분포의 표준화(Standardization) 과정을 완벽히 이해하고 있는지를 평가합니다. 표준화된 확률변수 $Z$ 의 확률밀도함수가 $y$ 축($Z=0$)에 대하여 선대칭이라는 대칭성(Symmetry)을 활용하여, 확률이 최대가 되기 위한 기하학적 최적화 조건을 스스로 추론해낼 수 있는지 묻는 최고난도 분석 문항입니다.
확률변수 $X$ 가 평균이 $1$, 표준편차가 $t$ 인 정규분포 $N(1, t^2)$ 을 따릅니다. 확률을 계산하거나 비교하기 위해 $X$ 를 표준정규분포를 따르는 확률변수 $Z$ 로 변환하는 표준화 작업이 필요합니다.
변수 $t$ 는 양수라는 조건이 있으므로, 위 변환은 모든 실수 공간에서 연속적이고 유효합니다.
문제의 첫 번째 조건인 $P(X \le 5t) \ge \frac{1}{2}$ 부등식을 Step 1에서 구한 식을 이용하여 표준화합니다.
표준정규분포에서 $P(Z \le 0) = \frac{1}{2}$ 입니다. 어떤 값 이하일 확률이 $\frac{1}{2}$ 보다 크거나 같으려면, 그 적분 구간의 상한은 반드시 $0$ 이상의 값이어야 합니다.
문제에서 양수 $t$ ($t > 0$)라고 하였으므로, 분모인 $t$ 를 양변에 곱해도 부등호의 방향은 바뀌지 않습니다.
이제 우리가 최댓값을 구해야 하는 확률식을 동일하게 $Z$ 로 표준화하여 구조를 살펴봅시다.
분자와 분모를 $t$ 로 약분($t > 0$ 이므로 가능)하면 놀랍도록 단순한 형태로 정리됩니다.
우리가 구해야 하는 확률은 표준정규분포 곡선 아래에서 폭(길이)이 $2$ 로 고정된 구간의 면적입니다. 구간의 중심은 $\frac{(t-1)+(t+1)}{2} = t$ 입니다.
표준정규분포 곡선은 $Z=0$ 을 축으로 대칭이며, 중심축에 가까울수록 곡선의 높이가 높습니다. 따라서 폭이 일정한 구간의 면적이 최대가 되려면, 구간의 중심인 $t$ 가 대칭축인 $0$ 에 가장 가까워야 합니다.
Step 2에서 도출한 조건에 의해 $t \ge \frac{1}{5}$ 이어야 합니다. 이 제한된 범위 내에서 $t$ 가 $0$ 에 가장 가까운 값을 가질 때는 바로 경곗값일 때입니다.
$t = 0.2$ 를 우리가 구하고자 하는 확률식에 대입하여 최종 값 $k$ 를 구합니다.
정규분포의 대칭성 $P(-z \le Z \le 0) = P(0 \le Z \le z)$ 을 이용하여 적분 구간을 나눕니다.
제공된 표준정규분포표에서 값들을 찾습니다.
$P(0 \le Z \le 0.8) = 0.288$
$P(0 \le Z \le 1.2) = 0.385$
평균이 $m$, 표준편차가 $\sigma$ 인 임의의 정규분포 $X$ 를, 평균이 $0$ 이고 표준편차가 $1$ 인 표준정규분포 $Z$ 로 변환하여 확률을 규격화하는 이론입니다.
정규분포의 곡선은 종(Bell) 모양을 띠며 평균을 지나는 수직선에 대하여 좌우 대칭입니다. 이 기하학적 성질을 통해 면적(확률)의 최대/최소 조건을 유추할 수 있습니다.
수험생들이 자주 범하는 오개념은 $P(X \le 5t) \ge \frac{1}{2}$ 조건에서, 직관적으로 등호가 성립할 때($P(X \le 5t) = \frac{1}{2}$)를 정답의 조건으로 성급히 단정 지어버리는 것입니다. 이 경우 $5t = m = 1$ 이 되어 $t = \frac{1}{5}$ 을 우연히 맞출 수는 있으나, 이는 논리적 추론이 결여된 위험한 접근입니다.
1. 확률밀도함수 $f(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z^2/2}$ 는 $z=0$ 에서 최댓값을 가지며, $|z|$ 가 커질수록 단조감소합니다.
2. 우리가 구하는 확률 함수 $g(t) = \int_{t-1}^{t+1} f(z) dz$ 라고 정의합시다.
3. 미적분학의 기본 정리에 의해 $g'(t) = f(t+1) - f(t-1)$ 입니다.
4. 만약 $t > 0$ 이면, $t+1 > |t-1|$ 이 성립합니다. (예: $t=0.5$ 일 때, $1.5 > |-0.5|$).
정규분포 곡선의 성질상, 중심(0)에서 더 멀리 떨어진 $t+1$ 에서의 함숫값이 $t-1$ 에서의 함숫값보다 작습니다. 즉, $f(t+1) < f(t-1)$ 이 됩니다.
5. 따라서 $t > 0$ 인 구간에서 $g'(t) < 0$ 이므로 함수 $g(t)$ 는 단조감소합니다.
결론적으로 $g(t)$ 의 최댓값을 구하려면 주어진 도메인 $t \ge \frac{1}{5}$ 내에서 가장 작은 $t$ 값을 선택해야 함이 대수적으로 완벽히 증명됩니다. 우연이 아닌 필연적인 논리입니다.
왜 $Z = \frac{X-m}{\sigma}$ 로 치환하면 어떠한 정규분포도 $N(0, 1)$ 로 매핑될까요? 이는 평행이동과 척도 변환(Scaling)의 결합입니다.
1. 평행이동 : 임의의 확률변수 $X$ 의 분포 곡선을 그려놓고 생각합시다. 그 중심은 $m$ 에 있습니다. 이 곡선을 원점($0$)을 중심으로 옮기기 위해서는 $X$ 의 모든 값에서 $m$ 을 빼주면 됩니다. 즉, 새로운 변수 $X' = X - m$ 은 평균이 $0$ 이 됩니다.
2. 척도 변환(Scaling) : 곡선의 퍼진 정도를 통일시켜야 합니다. $X'$ 의 표준편차는 여전히 $\sigma$ 입니다. 이 척도를 $1$ 로 만들기 위해 변수를 $\sigma$ 로 나눕니다. 즉, $Z = \frac{X'}{\sigma} = \frac{X-m}{\sigma}$ 가 됩니다.
3. 확률 보존 : 변수를 $\sigma$ 로 나누면 $x$ 축의 눈금이 $\frac{1}{\sigma}$ 배로 줄어듭니다. 곡선 아래의 전체 면적(확률 1)을 유지하기 위해, 확률밀도함수의 높이는 반대로 $\sigma$ 배 증가하게 됩니다. 이것이 정규분포 밀도함수 수식 앞의 계수 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$ 에서 $\sigma$ 가 분모에 존재하는 이유입니다. 기하학적 변환을 통해 면적은 완벽하게 보존되며 테이블 하나로 모든 정규분포 확률을 계산할 수 있게 됩니다.
구간의 중심 변수 t 를 조절하여, 폭이 $2$ 로 고정된 적분 구간 $[t-1, t+1]$ 의 면적(확률)이 중심 대칭축에 가까워질수록 어떻게 커지는지 직관적으로 확인하세요.
조건 $t \ge 0.2$ 에 의해, $t=0.2$ 일 때 확률이 최대가 됩니다.