삼각함수의 그래프 성질과 주기, 최댓값 조건을 활용한 미정계수 추론
닫힌구간 $[0, 2\pi]$ 에서 정의된 함수 $f(x) = a\cos bx + 3$ 이 $x = \frac{\pi}{3}$ 에서 최댓값 $13$ 을 갖도록 하는 두 자연수 $a, b$ 의 순서쌍 $(a, b)$ 에 대하여 $a+b$ 의 최솟값은? [4점]
이 문항은 삼각함수의 그래프가 가지는 기하학적 특징(진폭, 평행이동, 주기성)을 대수적 수식과 연결하여 해석할 수 있는지를 평가합니다.
함수 $f(x) = a\cos bx + 3$ 의 최댓값에 관여하는 것은 코사인 함수의 진폭을 결정하는 $a$ 와 $y$ 축 방향의 평행이동을 의미하는 상수 $3$ 입니다.
코사인 함수의 치역은 $-1 \le \cos bx \le 1$ 이고, 문제의 조건에서 $a$ 는 자연수 (즉, $a > 0$)이므로 각 변에 $a$ 를 곱하고 $3$ 을 더하면 다음과 같은 부등식이 성립합니다.
따라서 함수 $f(x)$ 의 최댓값은 $a + 3$ 이 됩니다. 문제에서 최댓값이 $13$ 이라고 주어졌으므로 다음 방정식을 세울 수 있습니다.
Step 1에서 구한 $a=10$ 을 대입하면 함수는 $f(x) = 10\cos bx + 3$ 이 됩니다.
문제 조건에서 $x = \frac{\pi}{3}$ 일 때 최댓값 $13$ 을 갖는다고 하였으므로, 함수식에 대입하여 성립해야 합니다.
코사인 함수의 값이 $1$ 이 되기 위해서는 각도가 $2n\pi$ ($n$ 은 정수) 형태여야 합니다.
양변을 $\pi$ 나누고 $3$ 을 곱하여 $b$ 에 대해 정리합니다.
문제의 조건에서 $b$ 는 자연수라고 명시되어 있습니다. Step 2에서 도출한 $b = 6n$ ($n$ 은 정수) 에서 $b$ 가 자연수가 되려면 정수 $n$ 도 자연수($1, 2, 3, \dots$)이어야 합니다.
따라서 가능한 자연수 $b$ 의 집합은 다음과 같습니다.
우리가 구하고자 하는 것은 $a + b$ 의 최솟값입니다. $a$ 는 $10$ 으로 고정되어 있으므로, $a + b$ 가 최소가 되기 위해서는 $b$ 의 값이 최소가 되어야 합니다.
가능한 자연수 $b$ 의 값 중 가장 작은 값은 $n=1$ 일 때인 $b = 6$ 입니다.
따라서 구하는 최솟값은 $16$ 이며, 정답은 3번입니다.
오류 1 : $a$ 가 음수일 가능성을 배제하지 않는 경우
기계적으로 $f(x)$ 의 최댓값을 $|a| + 3$ 이라고 암기한 후, $a = \pm 10$ 이 나온다고 착각할 수 있습니다. 문제의 발문 첫 줄에 '두 자연수 a, b' 라는 조건이 주어졌으므로 $a>0$ 임을 인지하고 $a+3 = 13$ 을 유도해야 합니다.
오류 2 : $x=\frac{\pi}{3}$ 를 한 주기 내의 첫 번째 최댓값으로 단정 짓는 경우
$\cos(b\frac{\pi}{3}) = 1$ 을 만족하는 각을 무조건 $0$ 이나 $2\pi$ 로만 한정하여 생각하는 학생이 많습니다. 만약 $b\frac{\pi}{3} = 2\pi$ 만 생각했다면 $b=6$ 하나만 도출됩니다. 이 문제에서는 '최솟값'을 물었기에 운 좋게 맞을 수 있으나, '두 번째로 작은 값'이나 '모든 b의 합'을 묻는 변형 문제에서는 반드시 오답을 내게 됩니다.
$\cos \theta = 1$ 의 해는 특정 범위가 없다면 $\theta = 2n\pi$ ($n \in \mathbb{Z}$) 로 일반화하여 표현해야 합니다. 따라서 $b = 6n$ 이라는 일반항을 세우는 논리적 과정이 필수적입니다.
일반적인 삼각함수 $f(x) = A\cos(Bx) + C$ (단, $A > 0$) 의 최댓값이 $A + C$ 임을 부등식의 성질을 이용하여 증명합니다.
■ 시뮬레이터 조작 가이드
$f(x) = a\cos(bx) + 3$ 의 그래프에서 $a$ 와 $b$ 의 값을 변경하며 다음을 확인해 보세요.