수열의 합과 일반항의 관계 및 등차수열의 구조적 추론
$a_1 = 2$ 인 수열 $\{a_n\}$ 과 $b_1 = 2$ 인 등차수열 $\{b_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여
을 만족시킬 때, $\displaystyle \sum_{k=1}^{5} a_k$ 의 값은? [4점]
이 문항은 고등학교 수학 I 과정의 수열 단원을 종합적으로 평가하는 핵심 문항입니다. 특히 다음과 같은 수학적 사고력을 측정합니다.
주어진 식에서 $n=1$ 인 경우를 먼저 대입하여 수열의 첫째항에 대한 정보를 확인해야 합니다. 수열의 합을 나타내는 식에 $n=1$ 을 대입하면 좌변은 $k=1$ 일 때의 단일 항이 됩니다.
문제 조건에서 $a_1 = 2$ 라고 주어졌으므로 이를 대입합니다.
수열 $\{b_n\}$ 은 등차수열이고, 첫째항 $b_1 = 2$ 이며 둘째항 $b_2 = 4$ 임을 구했습니다. 따라서 공차 $d$ 를 구할 수 있습니다.
그러므로 등차수열 $\{b_n\}$ 의 일반항은 $b_n = 2 + (n-1)2 = 2n$ 이 됩니다.
결과적으로 분모에 들어갈 식은 $b_{k+1} = 2(k+1) = 2k+2$ 입니다.
시그마 내부의 식 전체를 하나의 수열로 바라보는 것이 핵심입니다. 새로운 수열 $C_n = \frac{a_n}{b_{n+1}}$ 이라고 정의하고, 그 합을 $S_n$ 이라고 합시다.
$n \ge 2$ 일 때, 수열의 합과 일반항의 관계 공식 $C_n = S_n - S_{n-1}$ 을 적용합니다.
이제 Step 1에서 구한 $b_{n+1} = 2n + 2$ 를 식에 대입하여 $a_n$ 에 대하여 정리합니다.
(확인 작업) 식에 $n=1$ 을 대입해보면 $a_1 = 2(1)^2 + 1 - 1 = 2$ 가 되어 조건 $a_1=2$ 와 일치하므로, 이 일반항은 모든 자연수 $n$ 에 대해 성립합니다.
문항에서 요구하는 $\sum_{k=1}^{5} a_k$ 의 값을 구합니다. 항의 개수가 5개이므로 자연수의 거듭제곱의 합 공식을 사용해도 좋고, 직접 5개의 항을 나열하여 더해도 좋습니다. 여기서는 두 가지 방식을 모두 보여드립니다.
따라서 최종 정답은 120 입니다.
수열 $\{a_n\}$ 의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합을 $S_n$ 이라 할 때, $a_n = S_n - S_{n-1}$ ($n \ge 2$) 가 성립하며, 첫째항은 $a_1 = S_1$ 로 구합니다.
첫째항이 $a$ 이고 공차가 $d$ 인 등차수열의 일반항은 $a_n = a + (n-1)d$ 로 표현됩니다.
$\sum_{k=1}^n (p \cdot a_k + q \cdot b_k)$
$= p \sum_{k=1}^n a_k + q \sum_{k=1}^n b_k$
와 같이 합의 기호는 실수배와 덧셈/뺄셈에 대해 분배할 수 있습니다.
$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$,
$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
공식을 통해 다항식 수열의 합을 계산합니다.
오류 1 : 첨자의 잘못된 해석 ($b_{k+1}$ vs $b_k + 1$)
시험 현장의 긴장감 속에서 분모에 위치한 수열의 형태를 $\frac{a_k}{b_k + 1}$ 로 잘못 읽는 경우가 비일비재합니다. 이렇게 되면 $b_2$ 가 아닌 $b_1 + 1 = 3$ 으로 계산이 어긋나게 되어 완전히 다른 결과를 초래합니다. 수능 출제진은 폰트의 아래첨자 크기를 통해 이를 명확히 구분하므로, 문제를 읽을 때 $k+1$ 이 통째로 인덱스(Index)인지 철저히 확인해야 합니다.
오류 2 : 합과 일반항의 관계에서 $n=1$ 확인 누락
$C_n = S_n - S_{n-1}$ 공식을 기계적으로 사용한 후, 반드시 도출된 식에 $n=1$ 을 대입하여 실제 문제에 주어진 $a_1$ 과 일치하는지 확인해야 창합니다. 이 문제에서는 $S_n = \frac{1}{2}n^2$ 에 상수항이 없어 자연스럽게 첫째항부터 규칙이 성립하지만, 상수항이 존재하는 $S_n$ 의 형태에서는 첫째항 규칙이 깨지므로 이 검증 단계는 수능 수학의 필수 안전 장치입니다.
수열 $\{a_n\}$ 에 대하여, 제 1 항부터 제 $n$ 항까지의 합을 $S_n$ 이라고 정의합시다.
$$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{n-1} + a_n $$
마찬가지로 제 1 항부터 제 $n-1$ 항까지의 합은 $S_{n-1}$ 로 표현할 수 있습니다. (단, $n \ge 2$)
$$ S_{n-1} = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{n-1} $$
이제 첫 번째 식에서 두 번째 식을 변변 빼면 어떻게 될까요?
$$ \begin{aligned} S_n - S_{n-1} &= (a_1 + \cdots + a_n) - (a_1 + \cdots + a_{n-1}) \\ &= a_n \end{aligned} $$
따라서 $n \ge 2$ 일 때 $a_n = S_n - S_{n-1}$ 이 성립합니다. $n=1$ 인 경우는 $S_0$ 이라는 개념이 존재하지 않으므로, 정의에 의해 $S_1 = a_1$ 로 별도로 계산해주어야 논리적 모순이 없습니다. $\blacksquare$
이 시뮬레이터가 왜 필요한가요? (기하학적 해석)
수식 $S_n = \frac{1}{2}n^2$ 은 단순히 대수적인 2차식이 아니라, 밑변과 높이가 $n$인 직각삼각형의 넓이라는 명확한 기하학적 의미를 갖습니다.
이 시뮬레이터는 시그마($\Sigma$)를 통해 누적되는 복잡한 비율 수열의 합이 이 '면적(포물선 곡선 아래의 영역)'을 어떻게 채워나가는지 직관적으로 보여줍니다. 누적합이 2차 함수 포물선 형태로 완만하게 증가할 때, 면적의 변화량($S_n - S_{n-1}$)인 그 조각(일반항)은 왜 1차 함수 형태의 선형성을 띠게 되는지 2D 그래프 막대를 통해 시각적으로 체감할 수 있습니다.