수능 출제 분석

다항함수의 추론과 정적분의 활용

Q [문제 원문]

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가

$f(1) = f(2) = 0$, $\quad f'(0) = -7$

을 만족시킨다. 원점 $\mathrm{O}$와 점 $\mathrm{P}(3, f(3))$에 대하여 선분 $\mathrm{OP}$가 곡선 $y=f(x)$와 만나는 점 중 $\mathrm{P}$가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 곡선 $y=f(x)$와 $y$축 및 선분 $\mathrm{OQ}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $A$, 곡선 $y=f(x)$와 선분 $\mathrm{PQ}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $B$라 할 때, $B-A$의 값은? [4점]

① $\frac{37}{4}$ ② $\frac{39}{4}$ ③ $\frac{41}{4}$ ④ $\frac{43}{4}$ ⑤ $\frac{45}{4}$

1 [출제의도]

인수정리와 미분계수를 활용하여 미지수가 포함된 다항함수 식을 완성할 수 있는가?
곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 정적분으로 표현할 수 있는가?
정적분의 성질 (구간의 덧셈)을 이용하여, 복잡한 교점 좌표의 직접적인 계산 없이 정적분 값을 효율적으로 도출하는 추론 능력이 있는가?

2 [상세 풀이]

Step 1 함수 $f(x)$의 식 구하기

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 $f(1) = 0$, $f(2) = 0$ 이므로 인수정리에 의해 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.

$$ f(x) = (x-1)(x-2)(x-k) = (x^2 - 3x + 2)(x-k) $$ $$ f(x) = x^3 - (k+3)x^2 + (3k+2)x - 2k $$

이를 미분하여 $f'(0) = -7$ 임을 이용합니다.

f'(x) = 3x^2 - 2(k+3)x + (3k+2) $$ $$ f'(0) = 3k + 2 = -7 $$ $$ 3k = -9 \quad \implies \quad k = -3

따라서 삼차함수 $f(x)$는 다음과 같이 확정됩니다.

$$ f(x) = (x-1)(x-2)(x+3) = x^3 - 7x + 6 $$

Step 2 점 $\mathrm{P}$의 좌표 및 직선 $\mathrm{OP}$의 방정식

점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 $3$이므로 $y$좌표를 구합니다.

$$ f(3) = 3^3 - 7(3) + 6 = 27 - 21 + 6 = 12 $$

즉, $\mathrm{P}(3, 12)$ 입니다. 원점 $\mathrm{O}(0,0)$과 점 $\mathrm{P}(3,12)$를 지나는 직선 $\mathrm{OP}$의 기울기는 $\frac{12-0}{3-0} = 4$ 이므로 방정식은 다음과 같습니다.

$$ y = 4x $$

Step 3 교점 $\mathrm{Q}$의 설정과 정적분 식 세우기

직선 $y=4x$ 와 곡선 $y=f(x)$ 의 교점의 $x$좌표를 구하기 위해 연립합니다.

$$ x^3 - 7x + 6 = 4x $$ $$ x^3 - 11x + 6 = 0 $$

교점 중 하나가 $x=3$ 임을 알고 있으므로 조립제법(인수분해)을 하면 $(x-3)(x^2 + 3x - 2) = 0$ 이 됩니다. 점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{OP}$ 위의 점이므로 $x$좌표 $\alpha$는 $0 < \alpha < 3$ 범위를 만족합니다.
(참고 : $x^2 + 3x - 2 = 0$ 의 근 중 양수인 $\alpha = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}$ 가 교점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표입니다.)

구간 $[0, \alpha]$ 에서는 $f(x) \ge 4x$ 이고, 구간 $[\alpha, 3]$ 에서는 $4x \ge f(x)$ 이므로 넓이 $A, B$는 각각 다음과 같습니다.

A = \int_{0}^{\alpha} \{ f(x) - 4x \} dx $$ $$ B = \int_{\alpha}^{3} \{ 4x - f(x) \} dx

Step 4 $B-A$ 의 계산 및 정적분 성질 적용

구하고자 하는 $B - A$ 식에 대입해 봅니다.

B - A = \int_{\alpha}^{3} \{ 4x - f(x) \} dx - \int_{0}^{\alpha} \{ f(x) - 4x \} dx

뒤쪽 적분의 피적분함수의 부호를 반대로 바꾸어 식을 더하기로 변환합니다.

B - A = \int_{\alpha}^{3} \{ 4x - f(x) \} dx + \int_{0}^{\alpha} \{ 4x - f(x) \} dx

정적분의 구간 병합 성질에 의해 $\alpha$ 가 상쇄되며, 하나의 깔끔한 식으로 정리됩니다!

B - A = \int_{0}^{3} \{ 4x - f(x) \} dx

Step 5 최종 연산

$4x - f(x) = 4x - (x^3 - 7x + 6) = -x^3 + 11x - 6$ 이므로 적분합니다.

\int_{0}^{3} (-x^3 + 11x - 6) dx = \left[ -\frac{1}{4}x^4 + \frac{11}{2}x^2 - 6x \right]_{0}^{3} $$ $$ = -\frac{81}{4} + \frac{99}{2} - 18 $$ $$ = -\frac{81}{4} + \frac{198}{4} - \frac{72}{4} $$ $$ = \frac{198 - 153}{4} = \frac{45}{4}

따라서 정답은 ⑤ $\frac{45}{4}$ 입니다.

3 [이론 매칭]

인수정리 다항식 $f(x)$에 대하여 $f(a)=0$이면 $f(x)$는 $(x-a)$를 인수로 가짐.

다항함수의 미분법 함수의 식을 전개하여 도함수를 구하고 미분계수를 도출.

두 곡선 사이의 넓이 닫힌 구간 $[a,b]$에서 $f(x) \ge g(x)$일 때 넓이 $S = \int_a^b \{f(x)-g(x)\}dx$.

정적분의 성질 (구간 연결) 임의의 실수 $a, b, c$에 대하여 $\int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx = \int_a^b f(x)dx$.

4 [실수 포인트 및 증명]

실수 포인트 : 교점 $\mathrm{Q}$의 좌표에 집착하는 경우

교점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표인 $\alpha = \frac{-3+\sqrt{17}}{2}$ 를 구한 뒤, 이를 직접 적분 구간에 넣어 $A$와 $B$를 각각 무리수 연산으로 구하려 하면 극심한 시간 소모와 연산 실수가 발생합니다. 이 문제는 구하고자 하는 값($B-A$) 자체에 초점을 맞추어 식을 구성해야 합니다.

수학적 증명 : 왜 두 식이 합쳐지는가?

어떤 함수 $h(x) = 4x - f(x)$ 를 정의해 봅시다.

넓이 $B = \int_{\alpha}^{3} h(x) dx$ 이고, 넓이 $A = \int_{0}^{\alpha} \{-h(x)\} dx$ 입니다.

정적분의 선형성에 의해 $A = -\int_{0}^{\alpha} h(x) dx$ 로 쓸 수 있습니다.

따라서 $B - A = \int_{\alpha}^{3} h(x) dx - \left( -\int_{0}^{\alpha} h(x) dx \right) = \int_{\alpha}^{3} h(x) dx + \int_{0}^{\alpha} h(x) dx$ 가 됩니다.

5 [핵심 이론 증명]

정적분의 구간 병합 성질 증명

정적분의 기본 정리에 의해, 연속함수 $f(x)$의 한 부정적분을 $F(x)$라 하면 다음이 성립합니다.

\int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx = \{ F(c) - F(a) \} + \{ F(b) - F(c) \} $$ $$ = F(c) - F(a) + F(b) - F(c) = F(b) - F(a) $$ $$ = \int_{a}^{b} f(x) dx

이 원리에 의해 본 문제에서 구간이 $[0, \alpha]$ 와 $[\alpha, 3]$ 으로 분리되었던 식이 $[0, 3]$ 이라는 하나의 정적분 구간으로 매끄럽게 연결될 수 있었습니다.

기하학적 상황의 2D 평면 시각화

파란색 영역(A)과 빨간색 영역(B)의 교점 $\alpha$가 상쇄되는 과정을 직관적으로 확인하세요.
(마우스 드래그로 이동, 휠 스크롤로 확대/축소가 가능합니다.)