수능 출제 분석

사인법칙과 코사인법칙의 기하학적 응용

삼각형의 변과 각의 관계를 이용한 다각형의 넓이 최대화 문제

Q [문제 원문]

14. 그림과 같이 삼각형 $\rm ABC$ 에서 선분 $\rm AB$ 위에 $\overline{\rm AD} : \overline{\rm DB} = 3 : 2$ 인 점 $\rm D$ 를 잡고, 점 $\rm A$ 를 중심으로 하고 점 $\rm D$ 를 지나는 원을 $O$, 원 $O$ 와 선분 $\rm AC$ 가 만나는 점을 $\rm E$ 라 하자. $\sin A : \sin C = 8 : 5$ 이고, 삼각형 $\rm ADE$ 와 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이의 비가 $9 : 35$ 이다. 삼각형 $\rm ABC$ 의 외접원의 반지름의 길이가 $7$ 일 때, 원 $O$ 위의 점 $\rm P$ 에 대하여 삼각형 $\rm PBC$ 의 넓이의 최댓값은? (단, $\overline{\rm AB} < \overline{\rm AC}$) [4점]

①$18 + 15\sqrt{3}$

②$24 + 20\sqrt{3}$

③$30 + 25\sqrt{3}$

④$36 + 30\sqrt{3}$

⑤$42 + 35\sqrt{3}$

1 [출제의도]

이 문항은 사인법칙과 코사인법칙을 통합적으로 활용하여 삼각형의 세 변의 길이를 결정하고, 이를 바탕으로 기하학적 도형의 최대/최소 조건을 추론하는 능력을 평가합니다.

비례식과 사인법칙을 연계하여 변의 길이의 비율을 파악하는 능력
삼각형의 넓이 공식을 이용하여 미지의 변의 길이를 구하는 능력
고정된 선분(밑변)을 기준으로 원 위의 점이 만드는 삼각형 넓이의 최댓값 기하학적 조건(높이의 최대화)을 이해하는 능력

2 [상세 풀이] (Step-by-Step)

Step 1

사인법칙과 비례식을 통한 변의 길이 설정

삼각형 $\rm ABC$에서 세 변의 길이를 $a = \overline{\rm BC}$, $b = \overline{\rm AC}$, $c = \overline{\rm AB}$라 합시다.
문제 조건 $\sin A : \sin C = 8 : 5$ 에 사인법칙 $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$ 를 적용하면, 변의 길이의 비는 사인의 비와 같습니다.

a : c = \sin A : \sin C = 8 : 5

따라서 비례상수 $k (k>0)$ 를 도입하여 $a = 8k$, $c = 5k$ 로 둘 수 있습니다.
조건에서 $\overline{\rm AD} : \overline{\rm DB} = 3 : 2$ 이므로, $\overline{\rm AD} = \frac{3}{5}c = 3k$ 입니다.
원 $O$는 점 $\rm A$를 중심으로 하고 점 $\rm D$를 지나므로, 원의 반지름 $r = \overline{\rm AD} = 3k$ 가 됩니다.
점 $\rm E$도 원 $O$ 위의 점이므로 $\overline{\rm AE} = r = 3k$ 입니다.

Step 2

넓이의 비를 이용한 나머지 변의 길이 산출

두 삼각형 $\rm ADE$ 와 $\rm ABC$ 의 공통 각은 $\angle A$ 입니다. 삼각형의 넓이 공식을 적용하여 비를 세워봅시다.

\triangle \rm ADE = \frac{1}{2} \cdot \overline{\rm AD} \cdot \overline{\rm AE} \cdot \sin A = \frac{1}{2} (3k)(3k) \sin A = \frac{9}{2} k^2 \sin A $$ $$ \triangle \rm ABC = \frac{1}{2} \cdot \overline{\rm AB} \cdot \overline{\rm AC} \cdot \sin A = \frac{1}{2} (5k)(b) \sin A

넓이의 비가 $9 : 35$ 이므로 다음과 같은 방정식이 성립합니다.

\frac{\frac{9}{2} k^2 \sin A}{\frac{1}{2} \cdot 5k \cdot b \cdot \sin A} = \frac{9}{35} $$ $$ \frac{9k^2}{5kb} = \frac{9}{35} \implies \frac{k}{5b} = \frac{1}{35} \implies 35k = 5b \implies b = 7k

조건 $(\overline{\rm AB} < \overline{\rm AC})$ 즉, $5k < 7k$ 도 만족함을 확인할 수 있습니다. 이제 세 변의 길이는 $8k, 7k, 5k$ 로 표현되었습니다.

Step 3

외접원의 반지름과 코사인법칙을 이용한 $k$값 결정

삼각형 $\rm ABC$ 의 세 변이 모두 $k$ 로 표현되었으므로, 코사인법칙을 이용해 $\angle A$ 에 대한 삼각비 값을 구할 수 있습니다.

\begin{aligned} \cos A &= \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \\ &= \frac{(7k)^2 + (5k)^2 - (8k)^2}{2(7k)(5k)} \\ &= \frac{49k^2 + 25k^2 - 64k^2}{70k^2} = \frac{10k^2}{70k^2} = \frac{1}{7} \end{aligned}

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ 이고 $\sin A > 0$ 이므로, $$ \sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{7}\right)^2} = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{4\sqrt{3}}{7} $$

문제에서 외접원의 반지름 $R = 7$ 이 주어졌으므로, 다시 사인법칙을 적용합니다.

\frac{a}{\sin A} = 2R \implies \frac{8k}{\frac{4\sqrt{3}}{7}} = 14 \implies 8k = 14 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{7} = 8\sqrt{3} \implies k = \sqrt{3}

따라서 삼각형의 세 변의 실제 길이는 $\overline{\rm BC} = 8\sqrt{3}$, $\overline{\rm AC} = 7\sqrt{3}$, $\overline{\rm AB} = 5\sqrt{3}$ 이며, 원 $O$ 의 반지름 $r = 3k = 3\sqrt{3}$ 입니다.

Step 4

기하학적 조건 분석: 삼각형 $\rm PBC$ 의 넓이 최대화

삼각형 $\rm PBC$ 의 넓이는 밑변을 $\overline{\rm BC}$ 로 할 때 높이 $h_P$ 에 의해 결정됩니다. $\overline{\rm BC}$ 의 길이는 $8\sqrt{3}$ 으로 고정되어 있으므로, 넓이가 최대가 되려면 점 $\rm P$ 와 직선 $\rm BC$ 사이의 거리 $h_P$ 가 최대가 되어야 합니다.

원 $O$ 위의 점 $\rm P$ 에서 직선 $\rm BC$ 까지의 거리의 최댓값은, 원의 중심 $\rm A$ 에서 직선 $\rm BC$ 까지의 거리 $h_A$ 에 원의 반지름 $r$ 을 더한 값입니다. 즉, $h_{max} = h_A + r$ 입니다.

먼저 $h_A$ 를 구하기 위해 삼각형 $\rm ABC$ 의 넓이를 두 가지 방법으로 표현해 봅니다.

\text{방법 1 (밑변과 높이): } \triangle \rm ABC = \frac{1}{2} \cdot \overline{\rm BC} \cdot h_A = \frac{1}{2} (8\sqrt{3}) h_A = 4\sqrt{3} h_A $$ $$ \text{방법 2 (두 변과 끼인각): } \triangle \rm ABC = \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} (7\sqrt{3})(5\sqrt{3}) \left(\frac{4\sqrt{3}}{7}\right) = 30\sqrt{3}

두 넓이가 같아야 하므로, $4\sqrt{3} h_A = 30\sqrt{3} \implies h_A = \frac{30}{4} = \frac{15}{2}$ 입니다.

Step 5

최종 결과 도출

이제 점 $\rm P$ 가 직선 $\rm BC$ 에서 가장 멀리 떨어져 있을 때의 최대 높이 $h_{max}$ 를 계산합니다.

[$h_{max}$ 도출 기하학적 참조도]

※ 원의 중심 $\rm A$에서 밑변 $\rm BC$에 내린 수선의 발을 $\rm H$라 할 때, 점 $\rm P$가 선분 $\rm AH$의 연장선 위에 있을 때 삼각형 $\rm PBC$의 높이가 $h_A + r$ 로 최대가 됩니다.

h_{max} = h_A + r = \frac{15}{2} + 3\sqrt{3}

따라서 삼각형 $\rm PBC$ 넓이의 최댓값은 다음과 같습니다.

\text{Max Area} = \frac{1}{2} \cdot \overline{\rm BC} \cdot h_{max} = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{3} \left( \frac{15}{2} + 3\sqrt{3} \right) = 4\sqrt{3} \left( \frac{15}{2} + 3\sqrt{3} \right) = 30\sqrt{3} + 36

순서를 정리하면 $$ 36 + 30\sqrt{3} $$

3 [이론 매칭]

사인법칙

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$. 각의 사인값 비율을 변의 길이 비율로 전환하고 외접원 반지름과 연계.

코사인법칙

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$. 세 변의 길이를 알 때 특정 각의 코사인 값을 구하여 삼각비 유도.

삼각형의 넓이

$S = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2}(\text{밑변})(\text{높이})$. 두 가지 방식을 엮어 중심 높이 도출.

원과 직선의 위치 관계

직선 밖의 중심에서 내린 수선 연장선 위의 원주점일 때 직선과의 거리가 최대 ($d+r$)가 됨을 활용.

4 [실수 포인트 및 증명]

🚨 높이 최대화 조건의 오개념

학생들이 $\triangle \rm PBC$ 넓이 최댓값을 구할 때, 단순히 선분 $\rm AB$ 나 $\rm AC$ 의 연장선 상에 점 $\rm P$ 가 있다고 직관적으로 착각하거나, 원의 중심 $\rm A$ 가 반드시 삼각형 내부에 있다고 가정하여 높이를 잘못 긋는 실수를 범합니다.

수학적 증명 : 원 밖의 직선까지 거리 최대/최소

직선 $l$ 과 만나지 않는 원 $O$(중심 $\rm A$, 반경 $r$) 위 임의의 점을 $\rm P$ 라 하고, 점 $\rm P$ 에서 직선 $l$ 에 내린 수선의 발을 $\rm P'$, 중심 $\rm A$ 에서 직선 $l$ 에 내린 수선의 발을 $\rm H$ 라 하자. 선분 $\rm AH$ 가 원과 만나는 점을 차례로 $\rm M, N$ ($\rm N$이 직선에서 더 멀다)이라 하면, $\overline{\rm PP'} \le \overline{\rm AH} + \overline{\rm AP} = h_A + r$ 이 성립한다. 등호는 선분 $\rm AP$ 가 선분 $\rm AH$ 의 연장선 상에 있을 때, 즉 점 $\rm P$ 가 점 $\rm N$ 에 위치할 때 성립한다. 이 기하학적 성질에 의해 $\triangle \rm PBC$ 의 높이는 최대 $h_A + r$ 이 된다.

5 [핵심 이론 증명]

사인법칙의 유도 (외접원을 이용한 증명)

삼각형 $\rm ABC$ 의 외접원의 중심을 $O$, 반지름의 길이를 $R$ 이라 하자.

각 $A$ 가 예각인 경우, 점 $\rm B$ 를 지나는 지름을 그어 원과 만나는 다른 한 점을 $\rm A'$ 이라 하면, 삼각형 $\rm A'BC$ 는 $\angle \rm A'CB = 90^\circ$ 인 직각삼각형이다.

원주각의 성질에 의해 $\angle A = \angle A'$ 이 성립한다.

직각삼각형 $\rm A'BC$ 에서 삼각비의 정의에 따라 다음이 성립한다.

$$ \sin A' = \frac{\overline{\rm BC}}{\overline{\rm A'B}} = \frac{a}{2R} $$

$\angle A = \angle A'$ 이므로 $\sin A = \frac{a}{2R}$ 이고, 이를 정리하면 $\frac{a}{\sin A} = 2R$ 이 된다.

이와 같은 논리로 각 $B, C$ 에 대해서도 반복하면 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ 이라는 핵심 정리가 증명되며, 본 문제 Step 3 에서 $R=7$ 과 연계하여 변수를 특정하는 강력한 도구가 된다.

기하학적 시각화 패널 (2D Interactive)

아래 슬라이더를 조작하여 원 $O$ 위를 움직이는 점 $\rm P$ 의 위치를 변경해 보세요.

💡 팁: 그래프 영역을 드래그하여 이동(Pan)하거나 휠/핀치 제스처로 확대/축소(Zoom) 할 수 있습니다.

점 $\rm P$ 회전 각도 ($\theta$) 90°

$\triangle \rm PBC$ 면적 변화 시뮬레이터

좌표축 : 점 $\rm B$가 원점 $(0,0)$