삼차함수와 이차함수의 결합, 평행이동된 도함수 방정식의 실근 집합 관계 추론
15. 실수 $a (a \neq 3\sqrt{5})$와 최고차항의 계수가 음수인 이차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $$ g(x) = \begin{cases} x^3 + ax^2 + 15x + 7 & (x \le 0) \\ f(x) & (x > 0) \end{cases} $$ 이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 $g(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
(나) $x$에 대한 방정식 $g'(x) \times g'(x-4) = 0$의 서로 다른 실근의 개수는 4이다.
$g(-2) + g(2)$의 값은? [4점]
본 문항은 구간별로 정의된 함수의 연속성과 미분가능성을 결정하고, 도함수 방정식 및 평행이동된 함수와의 곱 방정식의 실근 조건을 집합의 구조를 통해 추론하는 고난도 종합 문항입니다.
$x \le 0$인 구간에서의 삼차함수를 $h(x) = x^3 + ax^2 + 15x + 7$이라 합시다.
함수 $g(x)$가 실수 전체에서 미분가능하므로, $x = 0$에서 연속이고 미분가능해야 합니다.
$h'(x) = 3x^2 + 2ax + 15$ 이므로 $h'(0) = 15$ 입니다. 따라서 $f'(0) = 15$ 가 성립합니다.
이차함수 $f(x)$의 최고차항의 계수를 $-p \; (p > 0)$라 놓으면, $f(x)$ 및 도함수 $f'(x)$는 다음과 같습니다.
따라서 $x > 0$ 영역에서 $g'(x) = 0$의 근은 $f'(x) = 0$을 만족하는 단 하나의 양수근 $\alpha$입니다.
$x \le 0$ 영역에서 $g'(x) = h'(x) = 3x^2 + 2ax + 15$ 입니다.
이차방정식 $3x^2 + 2ax + 15 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 다음과 같습니다.
문제의 조건에서 $a \neq 3\sqrt{5}$ 이므로 $a^2 \neq 45$, 즉 $\frac{D}{4} \neq 0$ 입니다.
만약 $a^2 < 45$ 이면 $h'(x) = 0$은 실근을 갖지 않으므로 $g'(x) = 0$의 전체 실근은 $x > 0$에서의 $\alpha$ 1개뿐입니다.
이 경우 $g'(x) \times g'(x-4) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 4가 될 수 없으므로(최대 2개), 반드시 $a^2 > 45$ 이어야 합니다.
$a^2 > 45$일 때 $h'(x) = 0$은 두 서로 다른 실근 $x_1, x_2$를 가집니다.
근과 계수의 관계에 의해 두 근의 곱은 $\frac{15}{3} = 5 > 0$ 이므로 두 근은 부호가 같습니다.
만약 두 근이 모두 양수이면 $x \le 0$ 구역에 속하지 않으므로 $g'(x) = 0$의 실근이 될 수 없습니다.
따라서 두 근은 모두 음의 실근이어야 합니다.
음의 실근을 $x_1 < x_2 < 0$이라 할 때, 방정식 $g'(x) = 0$의 실근 전체의 집합 $S_1$은 다음과 같이 3개의 원소를 가집니다.
방정식 $g'(x-4) = 0$의 실근 집합을 $S_2$라 하면, $S_2$는 $S_1$의 각 원소를 $x$축 방향으로 $+4$만큼 평행이동한 집합입니다.
방정식 $g'(x) \times g'(x-4) = 0$의 실근 집합은 $S_1 \cup S_2$ 입니다.
집합의 원소의 개수 공식에 의해 다음이 성립합니다.
즉, $S_1$과 $S_2$는 정확히 2개의 원소를 공유해야 합니다.
$x_1 < x_2 < \alpha$ 순서에서 $S_2$의 원소들은 $x_1+4 < x_2+4 < \alpha+4$ 순서입니다.
$+4$ 평행이동에 의해 $x_1 < x_1 + 4$, $x_2 < x_2 + 4$, $\alpha < \alpha + 4$ 이므로, shared되는 2개 원소의 배치는 유일하게 확정됩니다.
$x_2 - x_1 = 4$ 이므로, 이차방정식 $3x^2 + 2ax + 15 = 0$의 두 근의 차 공식을 적용합니다.
$a > 0$ 이므로 $a = 9$ 입니다.
$a = 9$를 대입하여 $h'(x) = 0$의 근을 구합니다.
$x_2 + 4 = \alpha$ 식에 대입하면 다음과 같습니다.
앞서 구한 $\alpha = \frac{15}{2p} = 3$ 이므로 $2p = 5 \implies p = \frac{5}{2}$ 입니다.
따라서 $x > 0$ 구역의 함수 $f(x)$가 완전하게 확정됩니다.
$g(-2)$는 $x \le 0$ 구간의 삼차함수 $h(x)$에 $x = -2$를 대입하여 계산합니다 ($a = 9$).
$g(2)$는 $x > 0$ 구간의 이차함수 $f(x)$에 $x = 2$를 대입하여 계산합니다.
구하고자 하는 두 값의 합은 다음과 같습니다.
경계점 $x=0$에서 좌극한과 우극한이 같아 연쇄성을 확보하고, 좌미분계수와 우미분계수가 일치함을 이용하여 결합부에서의 부드러운 연결 조건을 적용하였습니다.
실근 집합의 합집합 원소 개수 공식 $|S_1 \cup S_2| = |S_1| + |S_2| - |S_1 \cap S_2|$ 및 평행이동에 의한 원소 간 크기 순서 보존성을 활용하여 교집합의 관계를 도출하였습니다.
삼차함수 도함수 $h'(x) = 3x^2 + 2ax + 15 = 0$의 두 근을 구할 때, 정의역 제한 $x \le 0$을 잊고 두 근이 양수인 경우에도 $g'(x) = 0$의 근이 된다고 오해하는 경우가 빈번합니다. $x > 0$ 영역은 이미 $f(x)$로 대체되었으므로 $h'(x)=0$의 양수근은 실제 $g'(x)=0$의 근이 될 수 없음을 명심해야 합니다.
$S_1 = \{x_1, x_2, \alpha\}$ ($x_1 < x_2 < \alpha$) 이고 $S_2 = \{x_1+4, x_2+4, \alpha+4\}$ 일 때, $|S_1 \cap S_2| = 2$가 되는 조합이 왜 유일한지 논리적으로 증명합니다.
1. $x_1 < x_1 + 4$, $x_2 < x_2 + 4$, $\alpha < \alpha + 4$ 이므로 자기 자신과는 같을 수 없습니다.
2. $\alpha + 4$는 $S_1$의 가장 큰 원소인 $\alpha$보다 엄격히 크므로 $\alpha + 4 \notin S_1$ 입니다.
3. 따라서 $S_2$의 원소 중 $S_1$에 포함될 수 있는 후보는 오직 $x_1+4$와 $x_2+4$ 뿐입니다.
4. $S_1 \cap S_2$의 원소 개수가 2가 되려면 $x_1+4 \in S_1$ 이고 $x_2+4 \in S_1$ 이어야 합니다.
5. $x_1 < x_1+4$ 이므로 $x_1+4$가 될 수 있는 $S_1$의 원소는 $x_2$ 또는 $\alpha$ 입니다. 또한 $x_2 < x_2+4$ 이므로 $x_2+4$가 될 수 있는 $S_1$의 원소는 오직 $\alpha$ 뿐입니다.
6. $x_2+4 = \alpha$ 이고 $x_1+4 < x_2+4 = \alpha$ 이므로 $x_1+4$는 반드시 $\alpha$보다 작아야 하여 $x_1+4 = x_2$ 로 결정됩니다.
이차방정식 $A x^2 + B x + C = 0 \; (A \neq 0)$의 두 실근을 $\alpha, \beta$ 라 할 때, 근의 공식에 의해 다음과 같습니다.
$$ \alpha = \frac{-B + \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}, \quad \beta = \frac{-B - \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} $$
두 근의 차 $|\alpha - \beta|$를 구하면 다음과 같이 성립합니다.
$$ |\alpha - \beta| = \left| \frac{2\sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} \right| = \frac{\sqrt{B^2 - 4AC}}{|A|} = \frac{\sqrt{D}}{|A|} $$
본 문제에서는 $3x^2 + 2ax + 15 = 0$에 적용하여 $A=3, B=2a, C=15$이므로 두 근의 차는 $\frac{\sqrt{4a^2 - 180}}{3} = \frac{2\sqrt{a^2-45}}{3}$ 가 됨을 수식적으로 완전하게 증명할 수 있습니다.
아래 슬라이더를 움직여 매개변수 $a$의 값을 조절해 보세요. $a = 9$일 때 도함수 $g'(x)$와 평행이동된 $g'(x-4)$의 근이 $x = -5, -1, 3, 7$로 포개어지며 총 4개의 실근을 가지는 현상을 직접 관찰할 수 있습니다.