지수함수와 직선의 교점의 성질을 파악하고, 합성함수의 정의를 이용하여 함숫값을 구하는 문항
곡선 $y = \left(\frac{1}{5}\right)^{x-3}$과 직선 $y = x$가 만나는 점의 $x$좌표를 $k$라 하자. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
$x > k$인 모든 실수 $x$에 대하여
$f(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^{x-3}$이고 $f(f(x)) = 3x$이다.
$f\left(\frac{1}{k^3 \times 5^{3k}}\right)$의 값을 구하시오. [4점]
이 문항은 주어진 지수함수와 직선의 교점의 기하학적, 대수적 의미를 이해하고, 이를 바탕으로 합성함수 $f(f(x)) = 3x$의 구조를 분석하여 특정 변역에서의 함숫값을 추론하는 능력을 평가합니다.
곡선 $y = \left(\frac{1}{5}\right)^{x-3}$과 직선 $y = x$가 만나는 점의 $x$좌표가 $k$이므로, 점 $(k, k)$는 곡선 위의 점입니다. 즉, 다음 식이 성립합니다.
이 관계식은 이후 문제 해결 과정에서 핵심적으로 사용됩니다.
문제의 조건에서 $x > k$일 때, $f(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^{x-3}$ 입니다. 지수함수 $y = \left(\frac{1}{5}\right)^{x-3}$은 단조 감소하는 함수이므로 $x > k$이면 다음 부등식이 성립합니다.
$t = f(x)$ 라 하면, Step 2에 의해 $x > k$ 일 때 $t < k$ 가 됩니다.
$t = \left(\frac{1}{5}\right)^{x-3}$ 이므로, $x$를 $t$에 대한 식으로 표현하면 $x = 3 - \log_5 t$ 입니다. 이를 대입합니다.
입력값 $X = \frac{1}{k^3 \times 5^{3k}}$ 가 매우 작은 양수이므로 명백히 $X \le k$ 구간입니다. 함수식 $f(x) = 9 - 3\log_5 x$ 를 사용합니다.
$k = 5^{3-k}$ 에서 $\log_5 k = 3 - k$ 를 대입합니다.
$t = \left(\frac{1}{5}\right)^{x-3}$ 형태를 $x$에 대하여 정리하는 과정에서 지수 표현을 로그 표현으로 전환하는 원리가 적용되었습니다.
$f(f(x))$ 에서 속함수 $f(x)$ 의 치역이 겉함수 $f$ 의 새로운 정의역이 된다는 성질을 이용하여 $x < k$ 구간의 함수식을 추론하였습니다.
학생들이 자주 범하는 실수는 구하고자 하는 함숫값의 입력인 $\frac{1}{k^3 \times 5^{3k}}$ 가 $k$ 보다 큰지 작은지 정확히 판별하지 않고 아무 식에나 대입하는 것입니다.
1. 치환: 속함수 부분을 새로운 변수로 둡니다. $t = f(x)$
2. 정의역의 변환 (가장 중요): $x$의 범위가 $x > k$ 이므로, 치환된 변수 $t$의 범위는 함수 $f(x)$ ($x>k$일 때) 의 치역과 같습니다.
$f(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^{x-3}$ 은 감소함수이므로, $x > k$ 일 때 $f(x) < f(k) = k$ 입니다. 즉, $t < k$ 입니다.
3. 역함수 관계 활용: $t = \left(\frac{1}{5}\right)^{x-3}$ 이므로, $x$를 $t$에 대한 식으로 표현합니다.
$x = 3 - \log_5 t$
4. 결과 식 도출: 원래의 항등식 $f(f(x)) = 3x$ 에 대입합니다.
$f(t) = 3(3 - \log_5 t) = 9 - 3\log_5 t$ (단, $t < k$)
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