극한값의 존재 조건과 다항함수의 인수정리를 결합한 종합적 해석
21. 함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 4$가 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 정수 $a, b$에 대하여 $f(1)$의 최댓값을 구하시오. [4점]
이 문항은 함수의 극한이 존재하기 위한 필요조건을 이해하고, 이를 바탕으로 다항함수의 인수정리 및 실근의 조건을 완벽히 추론해낼 수 있는지를 평가합니다.
모든 실수 $\alpha$ 에 대하여 주어진 극한이 존재해야 합니다. 만약 어떤 실수 $\alpha$ 에 대하여 분모인 $f(\alpha) = 0$ 이라면, 극한값이 존재하기 위한 필요조건에 의해 분자의 극한값 역시 $0$ 이 되어야 합니다. 즉, 다음 명제가 성립합니다.
함수 $f(x)$ 는 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수이므로 반드시 적어도 하나의 실근을 갖습니다. Step 1 에서 도출한 명제 $f(\alpha) = 0 \implies f(2\alpha + 1) = 0$ 의 의미를 대수적으로 깊이 생각해 봅시다.
이 명제는 어떤 실수 $r$ 이 방정식 $f(x) = 0$ 의 해라면, 그 값에 두 배를 하고 1을 더한 $2r + 1$ 또한 반드시 해가 되어야 함을 뜻합니다. 즉, 한 실근 $r$ 이 존재하면 이를 꼬리 물기 식으로 연속해서 대입하여 다음과 같은 무한한 실근의 나열(수열)을 만들 수 있습니다.
그런데 $f(x)$ 는 삼차함수이므로 방정식 $f(x)=0$ 의 서로 다른 실근은 최대 3개까지만 존재할 수 있습니다. 끝없이 만들어지는 위 수열의 값들이 좌표평면의 x축 위에서 단 3개 이하의 점(유한집합)에만 머물러야 한다는 강력한 제약이 생깁니다.
이 수열의 점화식을 $x_{n+1} = 2x_n + 1$ 이라 할 때, 식을 변형하면 $x_{n+1} + 1 = 2(x_n + 1)$ 이 됩니다. 이는 공비가 $2$ 인 등비수열의 형태를 띱니다. 만약 초기 실근 $r$ 이 $-1$ 이 아니라면 어떻게 될까요? 공비가 $2$ 이므로 항을 거듭할수록 값의 크기(절댓값)가 기하급수적으로 커지거나 계속해서 다른 값으로 변하게 됩니다. 이는 실근이 최대 3개뿐이라는 사실에 명백한 모순이 됩니다.
따라서 이 수열의 모든 항이 더 이상 다른 값으로 뻗어나가지 않고 유한한 실근 집합 내에 속하려면, 시작값인 $r$ 이 다음 항으로 넘어갈 때도 변동이 없어야만 합니다. 즉, $r = 2r + 1$ 을 만족하여 수열이 단 하나의 값에 고정되어야 합니다.
방정식 $r = 2r + 1$ 을 풀면 $r = -1$ 이 됩니다. 결론적으로 주어진 극한 조건을 만족하는 삼차함수 $f(x)$ 가 가질 수 있는 실근은 오직 $x = -1$ 하나뿐이라는 매우 중요한 사실에 도달하게 됩니다.
$x = -1$ 이 $f(x)=0$ 의 실근이므로 인수정리에 의해 $f(-1) = 0$ 입니다. 대입해 보겠습니다.
위 식을 정리하면 $b = a + 3$ 이 됩니다. 이를 $f(x)$ 에 다시 대입하여 조립제법으로 인수분해를 진행합니다.
새롭게 얻은 이차식 부분 $g(x) = x^2 + (a-1)x + 4$ 에 집중해 봅시다. Step 2 에 의해 $f(x)=0$ 의 실근은 오직 $-1$ 뿐이어야 하므로, $g(x)=0$ 은 $-1$ 이 아닌 다른 실근을 가져서는 안 됩니다.
그렇다면 $g(x)=0$ 이 $x=-1$ 을 실근으로 가질 수는 있을까요? 확인을 위해 $g(-1) = 0$ 을 가정해 봅시다.
결과적으로 $g(x)=0$ 은 어떠한 실근도 가져서는 안 됩니다. (허근만 가져야 함) 따라서 이차방정식의 판별식 $D < 0$ 이어야 합니다.
문제의 조건에서 $a, b$ 는 정수라고 하였으므로, $-3 < a < 5$ 인 정수 $a$ 는 $\{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ 입니다. 우리가 구해야 할 지는 $f(1)$ 의 최댓값입니다.
$f(1) = 2a + 8$ 은 $a$ 가 최대일 때 최댓값을 가집니다. 위 정수 집합에서 $a$ 의 최댓값은 $4$ 입니다.
두 함수 $P(x), Q(x)$에 대하여 $\lim_{x \to \alpha} \frac{P(x)}{Q(x)}$ 가 존재하고 $\lim_{x \to \alpha} Q(x) = 0$ 이면, $\lim_{x \to \alpha} P(x) = 0$ 입니다. 이는 미정계수 결정의 가장 기본이 되는 핵심 이론입니다.
다항식 $f(x)$ 에 대하여 $f(\alpha)=0$ 이면 $f(x)$ 는 $(x-\alpha)$ 를 인수로 갖습니다. 본 문제에서는 $f(-1)=0$ 이라는 정보로부터 일차식 인수를 분리해 낼 수 있었습니다.
계수가 실수인 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ 에서 판별식 $D = b^2-4ac$ 의 부호에 따라 실근의 개수가 결정됩니다. 실근이 존재하지 않아야 하는 조건을 파악하여 $D < 0$ 을 적용해 정수 $a$ 의 상한선과 하한선을 확정지었습니다.
학생들은 빈번하게 "어차피 실근이 -1 뿐이어야 하므로, 이차식 $g(x) = x^2 + (a-1)x + 4$ 가 아예 $(x+1)^2$ 이면 되는 것 아닌가?" 라고 착각하여, $g(x)$ 의 완전제곱식 조건을 성급히 대입하려는 실수를 범합니다.
가정 : 만약 $g(x) = (x+1)^2$ 라면, $g(x) = x^2 + 2x + 1$ 이 되어야 합니다.
하지만 우리가 구한 $g(x)$ 의 상수항은 명백히 상수 4 로 고정되어 있습니다. 즉 $1 \neq 4$ 이므로 어떠한 $a$ 값에 대해서도 $g(x) = (x+1)^2$ 의 형태를 띨 수 없습니다. 이러한 논리적 오류를 방지하기 위해서는 단순히 직관에 의존하지 않고 각 항의 계수와 상수항을 엄밀히 비교하는 습관이 필수적입니다.
명제 : 함수 $P(x), Q(x)$ 가 연속함수일 때, $\lim_{x \to \alpha} \frac{P(x)}{Q(x)} = L$ ($L$ 은 실수) 로 존재하고, $Q(\alpha) = 0$ 이면, $P(\alpha) = 0$ 이다.
증명 :
함수의 극한 성질 중, 두 함수의 극한값이 존재할 때 두 함수의 곱의 극한값은 각각의 극한값의 곱과 같다는 정리를 이용합니다.
$\displaystyle \lim_{x \to \alpha} P(x) = \lim_{x \to \alpha} \left( \frac{P(x)}{Q(x)} \times Q(x) \right)$
가정에서 $\lim_{x \to \alpha} \frac{P(x)}{Q(x)} = L$ 로 존재하고, $Q(x)$ 가 연속이므로 $\lim_{x \to \alpha} Q(x) = Q(\alpha) = 0$ 이 성립합니다. 따라서,
$\displaystyle \lim_{x \to \alpha} P(x) = L \times 0 = 0$
$P(x)$ 역시 다항함수로서 연속함수이므로 극한값과 함숫값이 동일합니다. 따라서 $P(\alpha) = 0$ 이 증명됩니다. 이 논리에 의해 본 문제의 분자 $f(2x+1)$ 역시 $\alpha$ 에서의 함숫값이 0이 되어야만 했습니다.
매개변수 $a$ 의 변화에 따른 삼차함수 $y=f(x)$ 의 그래프 개형과 좌표평면 x축과의 교점(실근) 변화를 관찰해보세요. 마우스 드래그를 통해 화면을 이동(Pan)하거나, 마우스 휠(스크롤)을 통해 확대 및 축소(Zoom)를 할 수 있습니다. $a \ge 5$ 이거나 $a \le -3$ 이 되면 -1 이외의 실근이 어떻게 나타나는지 좌표축을 따라 직관적으로 확인할 수 있습니다.