$\frac{\infty}{\infty}$ 꼴과 $\infty - \infty$ 꼴의 극한을 연계한 대수적 변형 능력 평가
수열 $\{a_n\}$에 대하여
일 때, $\lim\limits_{n \to \infty} \left( \sqrt{a_n^2 + n} - a_n \right)$ 의 값은? [3점]
이 문항은 수열의 극한 단원의 두 가지 핵심 유형을 복합적으로 다룰 수 있는지를 평가합니다.
조건식 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n a_n}{n^2 + 3} = 1$ 을 활용하여, 우리가 나중에 사용하기 편한 $\frac{a_n}{n}$ 형태의 극한값을 유도해야 합니다. 주어진 식을 다음과 같이 분리해 봅니다.
여기서 앞부분의 다항식 극한은 최고차항의 계수비에 의해 1로 수렴함을 알 수 있습니다.
극한의 기본 성질에 의해 두 수렴하는 수열의 곱으로 식을 해석하면 다음과 같습니다.
결론적으로, $n$이 무한히 커질 때 $a_n$은 1차식 $n$과 거의 같은 비율로 커진다는 점근적 성질을 얻었습니다.
문제에서 구해야 하는 값은 $\lim\limits_{n \to \infty} \left( \sqrt{a_n^2 + n} - a_n \right)$ 입니다. Step 1에서 $a_n$이 무한대로 발산함을 알 수 있으므로, 이 식은 $\infty - \infty$ 꼴입니다. 이를 계산하기 위해 무리식을 포함한 분자를 분모가 1인 분수로 생각하고 유리화를 진행합니다.
합차 공식을 이용하여 분자를 전개하면 다음과 같이 정리가 됩니다.
이제 식은 $\frac{\infty}{\infty}$ 꼴이 되었습니다. 우리가 Step 1에서 유도한 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = 1$ 을 활용하기 위해, 분모와 분자를 최고차항에 해당하는 $n$으로 나누어 줍니다. (근호 안으로는 $n^2$으로 들어갑니다.)
최종적으로 도출된 식에 극한을 취하여 값을 계산합니다. $n \to \infty$ 일 때, $\frac{1}{n}$ 은 0으로 수렴하고, Step 1에서 구한 $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = 1$ 을 대입합니다.
분모를 계산하면 $\sqrt{1} + 1 = 2$ 가 됩니다.
따라서 구하는 극한값은 $\frac{1}{2}$ 입니다. 정답은 2번입니다.
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = 1$ 임을 구한 뒤, 편의상 $a_n = n$ 이라고 생각하고 목표 식에 바로 대입하는 경우가 많습니다. 이 문제에서는 우연히 $a_n = n$을 대입해도 $\lim (\sqrt{n^2+n}-n)$ 이 되어 정답인 $1/2$이 도출됩니다. 하지만 이는 위험한 논리적 비약입니다.
조건을 만족하는 수열은 무수히 많습니다. 예를 들어, 문제의 원래 조건식을 완벽하게 만족하는 $a_n = \frac{n^2+3}{n} = n + \frac{3}{n}$ 을 살펴봅시다.
이 경우 $a_n \neq n$ 입니다. $\frac{3}{n}$ 이라는 미세한 오차가 존재합니다.
만약 다른 형태의 극한 문제였다면, 이 미세한 오차가 상쇄되지 않고 결과값에 영향을 미칠 수 있습니다. 본 해설의 Step 2~3 처럼 식을 변형하여 $\frac{a_n}{n}$ 형태를 만들어 대입하는 과정이 수학적으로 유일하고 완벽한 풀이입니다.
본 문제 풀이에 사용된 식 조작 기법을 일반화하여 증명해 보겠습니다.
정리 : $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = L \ (L > 0)$ 일 때, $\lim\limits_{n \to \infty} \left( \sqrt{a_n^2 + bn} - a_n \right) = \frac{b}{2L}$ 이다.
■ 시뮬레이터 조작 가이드 및 적용 수식
자연수 $n$ 의 값을 슬라이더로 변경하면서, 복잡한 무리식 형태의 함수가 최종 극한값 $0.5 \left(\frac{1}{2}\right)$ 로 어떻게 수렴해 가는지 시각적으로 확인해 보세요.
1. 시뮬레이터 적용 가상 수열 $a_n$
2. 시뮬레이터 렌더링 목표 수식 $F(n)$