수능 출제 분석

입체도형의 부피와 치환적분법

함수의 형태를 꿰뚫어 보는 식의 조작과 정적분 설계 과정

Q [문제 원문]

26. 그림과 같이 곡선 $y = \sqrt{\frac{x+1}{x(x+\ln x)}}$ 과 $x$축 및 두 직선 $x=1$, $x=e$로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]

참고 파일 : image_7b86c5.png

①$\ln(e+1)$

②$\ln(e+2)$

③$\ln(e+3)$

④$\ln(2e+1)$

⑤$\ln(2e+2)$

1 [출제의도]

이 문항은 정적분을 활용하여 입체도형의 부피를 구하는 원리를 명확히 이해하고 있는지, 그리고 복잡한 분수 형태의 피적분함수에서 치환적분법을 발견하고 올바르게 연산할 수 있는지를 평가합니다.

단면의 넓이 $S(x)$를 함수식으로 올바르게 모델링하는 기하학적 추론 능력
피적분함수의 분자와 분모 구조를 파악하여 도함수의 관계성 발견하기
적절한 치환을 통한 정적분 구간의 변환 및 로그함수의 적분 연산

2 [상세 풀이] (Step-by-Step)

Step 1

단면의 넓이 $S(x)$ 함수식 세우기

입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면은 항상 정사각형입니다. 이 정사각형의 한 변의 길이는 주어진 곡선의 함숫값 $y$와 일치합니다.

정사각형의 한 변의 길이 : $y = \sqrt{\frac{x+1}{x(x+\ln x)}}$

따라서 단면의 넓이 $S(x)$는 한 변의 길이를 제곱하여 구할 수 있습니다. 제곱 과정을 통해 자연스럽게 근호가 사라집니다.

S(x) = y^2 = \left( \sqrt{\frac{x+1}{x(x+\ln x)}} \right)^2 $$ $$ S(x) = \frac{x+1}{x(x+\ln x)}

Step 2

부피를 구하기 위한 정적분 식 설계

입체도형은 직선 $x=1$부터 $x=e$까지 형성되어 있습니다. 부피 $V$는 단면적 $S(x)$를 해당 구간에서 정적분한 값입니다.

V = \int_{1}^{e} S(x) dx = \int_{1}^{e} \frac{x+1}{x(x+\ln x)} dx

Step 3

피적분함수 구조 파악 및 치환적분법 적용

적분하기 복잡해 보이는 식이지만, 치환적분법의 핵심인 '$f(x)$와 그 도함수 $f'(x)$의 공존'을 찾아야 합니다. 분자와 분모의 식을 분리해서 관찰해 봅니다.

\frac{x+1}{x(x+\ln x)} = \frac{1}{x+\ln x} \times \frac{x+1}{x} = \frac{1}{x+\ln x} \times \left( 1 + \frac{1}{x} \right)

치환 설정 : 분모의 일부인 $x + \ln x$ 를 $u$로 치환합니다.

$$ u = x + \ln x $$

양변을 $x$에 대해 미분하면, $$ \frac{du}{dx} = 1 + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x} $$

즉, $du = \frac{x+1}{x} dx$ 가 되어 피적분함수의 나머지 부분과 정확히 일치합니다.

치환에 따른 적분 구간의 변경도 잊지 않아야 합니다.

$x = 1$ 일 때, $u = 1 + \ln 1 = 1 + 0 = 1$
$x = e$ 일 때, $u = e + \ln e = e + 1$

Step 4

최종 연산 및 정답 도출

Step 3의 결과를 바탕으로 정적분 식을 $u$에 대한 식으로 완벽히 변환하여 계산합니다.

\begin{aligned} V &= \int_{1}^{e} \frac{1}{x+\ln x} \cdot \left( \frac{x+1}{x} \right) dx \\ &= \int_{1}^{e+1} \frac{1}{u} du \\ &= \left[ \ln|u| \right]_{1}^{e+1} \\ &= \ln(e+1) - \ln(1) \\ &= \ln(e+1) - 0 \\ &= \ln(e+1) \end{aligned}

따라서 구하고자 하는 입체도형의 부피는 $$ \ln(e+1) $$

3 [이론 매칭]

정적분의 활용 (부피)

닫힌구간에서 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이 $S(x)$를 적분하여 입체도형의 부피를 도출하는 이론입니다.

치환적분법

합성함수의 미분법의 역과정으로, 피적분함수 내에 특정 함수의 도함수가 포함되어 있을 때 변수를 치환하여 적분을 단순화하는 기법입니다.

로그함수의 미분과 적분

$(\ln x)' = \frac{1}{x}$ 의 성질과, 유리함수 $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ 의 기본 적분 공식을 활용하였습니다.

4 [실수 포인트 및 증명]

🚨 치환적분 꼴 미인식 및 부분적분법 오도

다항함수와 로그함수가 섞인 복잡한 분수식을 보면, 반사적으로 부분적분법을 시도하거나 식의 조작 방향을 잃어버리는 경우가 많습니다. 분모를 분배법칙으로 풀어 $x^2 + x\ln x$ 로 두면 미분 꼴을 더 찾기 어려워집니다.

수학적 해결 방안 :

분수형 피적분함수에서는 항상 최우선적으로 $\frac{f'(x)}{f(x)}$ 꼴이 숨어있는지 검토해야 합니다. 분자의 $x+1$과 분모의 $x$를 묶어 $\frac{x+1}{x} = 1 + \frac{1}{x}$ 로 분리하는 시야가 문제 해결의 열쇠입니다.

🚨 넓이 공식의 오적용 (관성적 실수)

과거 기출이나 모의고사에서 "단면이 정삼각형"인 문제가 빈출되었기 때문에, 이 문항에서도 무의식적으로 단면의 넓이를 $S(x) = \frac{\sqrt{3}}{4}y^2$ 로 계산하는 치명적인 실수를 범할 수 있습니다.

수학적 해결 방안 :

문제의 '정사각형' 키워드에 밑줄을 긋고, 풀이 첫 줄에 반드시 $S(x) = y^2$ 이라는 수식을 먼저 명시적으로 적어두어 뇌의 관성적 오류를 차단해야 합니다.

5 [핵심 이론 증명]

치환적분법의 수학적 증명

치환적분법은 합성함수의 미분법으로부터 유도됩니다.

함수 $F(u)$가 $f(u)$의 한 부정적분이고, $u = g(x)$가 미분가능한 함수일 때, 합성함수 $F(g(x))$를 $x$에 대하여 미분하면 다음과 같습니다.

$$ \frac{d}{dx} \left[ F(g(x)) \right] = F'(g(x))g'(x) = f(g(x))g'(x) $$

위 식의 양변을 $x$에 대하여 적분하면,

$$ \int f(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + C = F(u) + C = \int f(u) du $$

이 문제에서는 $f(u) = \frac{1}{u}$, $g(x) = x + \ln x$, $g'(x) = \frac{x+1}{x}$ 의 구조로 완벽하게 부합하며, 정적분일 경우 치환된 변수 $u$의 경계값 $g(a), g(b)$를 적용하여 계산을 마무리할 수 있습니다.

기하학적 시각화 패널 (2D / 3D)

아래 슬라이더를 움직여 절단면 $x$의 위치를 변화시켜 보세요. 곡선에 따른 밑변 길이 변화와 3D 공간 상의 정사각형 단면 크기가 연동됩니다.

절단면 위치 ($x$) 1.50

[2D] 밑면 영역 및 단면의 밑변

곡선 $y = \sqrt{\frac{x+1}{x(x+\ln x)}}$

[3D] 입체도형 및 정사각형 단면

마우스 드래그 : 회전 / 휠 : 확대·축소

x 축 (적분구간)

z 축 (단면 높이)

y 축 (함숫값 깊이)