수능 출제 분석

타원의 접선의 방정식과 절편의 기하학적 의미 분석

Q 문제 원문

26. 자연수 $n (n \ge 2)$에 대하여 직선 $x = \frac{1}{n}$이 두 타원

$$ C_1 : \frac{x^2}{2} + y^2 = 1, \quad C_2 : 2x^2 + \frac{y^2}{2} = 1 $$

과 만나는 제1사분면 위의 점을 각각 P, Q라 하자.
타원 $C_1$ 위의 점 P에서의 접선의 $x$절편을 $\alpha$,
타원 $C_2$ 위의 점 Q에서의 접선의 $x$절편을 $\beta$라 할 때,
$6 \le \alpha - \beta \le 15$가 되도록 하는 모든 $n$의 개수는? [3점]

① 7 ② 9 ③ 11 ④ 13 ⑤ 15

1 [출제의도]

이 문항은 평면곡선 중 타원의 성질을 정확히 이해하고 있는지 평가합니다. 특히 다음 두 가지 핵심 역량을 요구합니다.

  • 타원 위의 한 점이 주어졌을 때, 접선의 방정식을 유도하고 이로부터 $x$절편의 좌표를 대수적으로 계산하는 능력
  • 도출된 절편 $\alpha$ 와 $\beta$ 에 대한 부등식을 세우고, 주어진 조건(자연수 $n$)을 만족하는 해의 개수를 정확히 추론하는 계산력

2 [상세 풀이]

Step 1

타원 $C_1$ 에서의 접선의 방정식과 $x$절편 $\alpha$ 구하기

직선 $x = \frac{1}{n}$ 이 타원 $C_1 : \frac{x^2}{2} + y^2 = 1$ 과 만나는 제1사분면 위의 점 P의 좌표를 $(\frac{1}{n}, y_1)$ 이라 합시다. 타원 위의 점 P에서의 접선의 방정식 공식 $\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1$ 을 적용합니다.

$$ \frac{\frac{1}{n} \cdot x}{2} + y_1 \cdot y = 1 \implies \frac{x}{2n} + y_1 y = 1 $$

이 접선의 $x$절편 $\alpha$ 를 구하기 위해 $y = 0$ 을 대입합니다.

$$ \frac{x}{2n} = 1 \implies x = 2n $$ $$ \therefore \alpha = 2n $$
[참고 도형 1 : 타원 C₁ 과 점 P에서의 접선] P(1/n, y₁) α = 2n x y
Step 2

타원 $C_2$ 에서의 접선의 방정식과 $x$절편 $\beta$ 구하기

타원 $C_2 : 2x^2 + \frac{y^2}{2} = 1$ 을 표준형으로 정리하면 $\frac{x^2}{1/2} + \frac{y^2}{2} = 1$ 입니다.
직선 $x = \frac{1}{n}$ 과 만나는 제1사분면 위의 점 Q의 좌표를 $(\frac{1}{n}, y_2)$ 라 합시다. 접선의 방정식은 다음과 같습니다.

$$ \frac{\frac{1}{n} \cdot x}{1/2} + \frac{y_2 \cdot y}{2} = 1 \implies \frac{2x}{n} + \frac{y_2 y}{2} = 1 $$

이 접선의 $x$절편 $\beta$ 를 구하기 위해 $y = 0$ 을 대입합니다.

$$ \frac{2x}{n} = 1 \implies x = \frac{n}{2} $$ $$ \therefore \beta = \frac{n}{2} $$
[참고 도형 2 : 타원 C₂ 과 점 Q에서의 접선] Q(1/n, y₂) β = n/2 x y
Step 3

부등식 풀이 및 조건에 맞는 자연수 $n$ 개수 산출

문제의 조건 $6 \le \alpha - \beta \le 15$ 에 앞에서 구한 $\alpha = 2n$, $\beta = \frac{n}{2}$ 을 대입합니다.

$$ 6 \le 2n - \frac{n}{2} \le 15 $$ $$ 6 \le \frac{3n}{2} \le 15 $$

부등식의 각 변에 $\frac{2}{3}$ 를 곱하여 $n$의 범위를 구합니다.

$$ 6 \times \frac{2}{3} \le n \le 15 \times \frac{2}{3} $$ $$ \therefore 4 \le n \le 10 $$

자연수 $n$의 값은 $4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ 이므로 그 개수는 $10 - 4 + 1 = 7$ 개 입니다.

[참고 도형 3 : 부등식의 해와 자연수 n의 개수 시각화] 4 5 6 7 8 9 10 총 7개

3 [이론 매칭]

타원의 방정식

중심이 원점인 타원의 표준형을 이해하고, 주어진 방정식을 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 형태로 변환하여 해석하는 이론입니다.

타원의 접선의 방정식

타원 위의 한 점 $(x_1, y_1)$ 에서 그은 접선의 방정식 공식 $\frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1$ 을 적용하는 이론입니다.

일차부등식

변수 $n$ 에 대한 연립 일차부등식을 세우고 그 해 구간 내에 존재하는 정수(자연수)의 개수를 구하는 대수적 원리입니다.

4 [실수 포인트 및 증명]

학생들이 자주 범하는 오개념

오류 : 타원 $C_2$ 의 계수 처리 실수

타원 $C_2 : 2x^2 + \frac{y^2}{2} = 1$ 에서 $x^2$ 앞의 계수 2를 접선 공식에 대입할 때 혼동하는 경우가 잦습니다. 이를 표준형 $\frac{x^2}{1/2}$ 로 바꾸지 않고 $2x_1 x$ 로 바로 대입해도 되지만, 분수 계산 과정에서 $x$절편을 $\frac{1}{2n}$ 등으로 잘못 도출하는 연산 실수가 발생하기 쉽습니다.

수학적 증명 (계수 보존) :

이차곡선 $Ax^2 + By^2 = 1$ 위의 점 $(x_1, y_1)$ 에서의 접선은 $Ax_1 x + By_1 y = 1$ 입니다.
$C_2$ 의 경우 $A=2, B=\frac{1}{2}$ 이므로, 점 $(\frac{1}{n}, y_2)$ 에서의 접선은 $2(\frac{1}{n})x + \frac{1}{2}(y_2)y = 1$ 이 됩니다.
$y=0$ 일 때, $\frac{2}{n}x = 1$ 이 되어 $x = \frac{n}{2}$ 가 정확하게 도출됨을 확인할 수 있습니다. 표준형 변환 없이도 계수를 그대로 분리 대입($x^2 \rightarrow x_1 x$)하는 원리가 언제나 성립합니다.

5 [핵심 이론 증명]

타원 위의 점에서의 접선의 방정식 유도 (음함수 미분법)

정의 및 유도 과정 :

타원의 방정식 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 양변을 $x$에 대하여 미분합니다. (단, $y$는 $x$의 함수)

$$ \frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2} \frac{dy}{dx} = 0 $$

여기서 $\frac{dy}{dx}$ 를 구하면,

$$ \frac{dy}{dx} = - \frac{b^2 x}{a^2 y} \quad (y \ne 0) $$

타원 위의 점 $(x_1, y_1)$ 에서의 접선의 기울기 $m$은 위 식에 $x=x_1, y=y_1$ 을 대입한 값입니다.

$$ m = - \frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} $$

기울기가 $m$ 이고 점 $(x_1, y_1)$ 을 지나는 직선의 방정식은 $y - y_1 = m(x - x_1)$ 이므로,

$$ y - y_1 = - \frac{b^2 x_1}{a^2 y_1} (x - x_1) $$

양변에 $\frac{y_1}{b^2}$ 을 곱하여 정리하면,

$$ \frac{y_1 y}{b^2} - \frac{y_1^2}{b^2} = - \frac{x_1 x}{a^2} + \frac{x_1^2}{a^2} $$ $$ \frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = \frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} $$

점 $(x_1, y_1)$ 은 타원 위의 점이므로 $\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1$ 이 성립합니다. 따라서 접선의 방정식은 다음과 같이 증명됩니다.

$$ \therefore \frac{x_1 x}{a^2} + \frac{y_1 y}{b^2} = 1 $$

수학적 기하 실시간 시뮬레이터 (2D)

시각화 가이드

이 뷰어는 타원 기하학과 접선의 방정식을 2D 좌표평면 상에서 직관적으로 보여줍니다.
아래의 버튼이나 슬라이더를 통해 자연수 $n$ 의 값을 변경하며 $x$절편 $\alpha$ 와 $\beta$ 의 변화를 실시간으로 확인하세요.
※ 마우스 휠: 확대/축소, 드래그: 이동

자연수 $n$ 값 조절 (2 ~ 15)
n : 4
■ $C_1$ 접선 절편 $\alpha$
8.00
■ $C_2$ 접선 절편 $\beta$
2.00
■ 차이값 $\alpha - \beta$
6.00
타원 C₁
타원 C₂
점 P 접선
점 Q 접선