'적어도' 조건이 포함된 확률 문제의 수학적 접근법
26. 어느 학급의 학생 16명을 대상으로 과목 A와 과목 B에 대한 선호도를 조사하였다. 이 조사에 참여한 학생은 과목 A와 과목 B 중 하나를 선택하였고, 과목 A를 선택한 학생은 9명, 과목 B를 선택한 학생은 7명이다. 이 조사에 참여한 학생 16명 중에서 임의로 3명을 선택할 때, 선택한 3명의 학생 중에서 적어도 한 명이 과목 B를 선택한 학생일 확률은? [3점]
이 문항은 조합(Combination)을 이용하여 표본공간과 사건의 경우의 수를 정확히 산출할 수 있는지 평가합니다. 특히 문제의 조건에 '적어도 하나'라는 표현이 포함되어 있을 때, 경우를 일일이 나누어 계산하는 것보다 여사건의 확률을 이용하는 것이 연산의 효율성과 정확성을 높일 수 있음을 인지하고 이를 수학적으로 추론해 내는 능력을 묻고 있습니다.
먼저 학급 전체 학생 수와 각 과목을 선택한 학생 수를 명확히 파악합니다.
- 전체 학생 수 : $16$명
- 과목 A를 선택한 학생 수 : $9$명
- 과목 B를 선택한 학생 수 : $7$명
전체 $16$명의 학생 중에서 임의로 $3$명을 선택하는 모든 경우의 수는 조합을 이용하여 구합니다. 선택하는 순서는 고려하지 않으므로 기호 $C$ (Combination)를 사용합니다.
분모와 분자를 약분하여 계산하면,
우리가 구해야 할 사건을 $E$ 라고 하면, $E$ 는 '적어도 한 명이 과목 B를 선택한 사건'입니다. 이 조건을 직접 계산하려면 B를 1명, 2명, 3명 선택하는 경우를 모두 나누어 더해야 하므로 번거롭습니다.
따라서 여사건 $E^c$ 를 이용합니다. 사건 $E$ 의 여사건 $E^c$ 는 '선택한 3명이 모두 과목 A를 선택한 사건'이 됩니다.
이를 계산하면,
먼저 여사건이 일어날 확률 $P(E^c)$ 를 구합니다.
분모와 분자를 28로 약분하면 (또는 단계적으로 약분 4, 7),
따라서 우리가 구하고자 하는 원래 사건 $E$ 의 확률 $P(E)$ 는 전체 확률 $1$에서 여사건의 확률을 빼서 구합니다.
서로 다른 $n$개의 원소 중에서 순서를 고려하지 않고 $r$개를 선택하는 경우의 수입니다. 표본공간과 사건의 경우의 수를 구하는 데 필수적인 연산 도구입니다.
어떤 사건 $A$ 가 일어나지 않을 사건을 여사건 $A^c$ 라 하며, 전체 확률 $1$에서 여사건의 확률을 차감하여 본 사건의 확률을 구합니다. '적어도', '이상/이하' 등의 조건부에서 매우 강력합니다.
학생들이 시험장에서 긴장하면 '적어도'라는 키워드를 보고도 기계적으로 케이스를 분류하여 풀려고 시도합니다. 이 경우 B를 1명, 2명, 3명 뽑는 세 가지 경우를 각각 구해야 하므로 연산량이 3배로 늘어나 덧셈이나 곱셈 과정에서 실수가 자주 발생합니다.
직접 분류하여 사건 $E$ 의 경우의 수를 구하면 다음과 같습니다.
- B 1명, A 2명 : ${}_{7}C_{1} \times {}_{9}C_{2} = 7 \times 36 = 252$
- B 2명, A 1명 : ${}_{7}C_{2} \times {}_{9}C_{1} = 21 \times 9 = 189$
- B 3명, A 0명 : ${}_{7}C_{3} \times {}_{9}C_{0} = 35 \times 1 = 35$
결과 : 두 방법의 결과는 정확히 일치하지만, 직접 계산법은 곱셈과 덧셈 연산이 많아 시간 단축이 생명인 수능에서 치명적일 수 있습니다. 따라서 조건에 따라 전략적으로 여사건을 선택하는 훈련이 필요합니다.
표본공간을 $S$, 임의의 사건을 $A$ 라고 정의합시다. 사건 $A$ 가 일어나지 않을 사건을 $A^c$ 라고 합니다.
1. 집합의 성질에 의해 사건 $A$ 와 $A^c$ 는 공통 원소가 없는 배반사건(Mutually Exclusive Events)입니다. 즉, $A \cap A^c = \emptyset$ 입니다.
2. 또한 두 사건의 합집합은 전체 표본공간이 됩니다. 즉, $A \cup A^c = S$ 입니다.
3. 확률의 덧셈정리에 의해 두 사건이 배반사건일 때 합사건의 확률은 각각의 확률의 합과 같습니다.
4. 표본공간 $S$ 가 일어날 확률은 항상 $1$ 이므로, $P(A \cup A^c) = P(S) = 1$ 이 성립합니다.
이 수학적 사실은 확률의 공리 체계인 콜모고로프 공리(Kolmogorov axioms)로부터 자연스럽게 도출되는 정리입니다.
이 문제의 핵심은 '적어도 하나'라는 조건에서 직접 케이스를 분류하여 더하는 것(직접 계산)과 전체에서 반대되는 경우를 빼는 것(여사건) 중 어느 것이 더 효율적인지 파악하는 것입니다.
아래 슬라이더를 조작하여 전체 인원 중 선택하는 인원($r$)을 늘려보세요. 선택 인원이 많아질수록 직접 계산해야 할 케이스(주황색 영역)는 늘어나 계산 실수를 유발하지만, 여사건(파란색 영역)은 항상 단 1가지 케이스만 계산하면 됨을 직관적으로 확인할 수 있습니다.