함수의 증가 조건과 완전제곱식의 기하학적 해석
27. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를
이라 하자. 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(0, g(0))$에서의 접선이 $x$축이고 함수 $g(x)$가 역함수 $h(x)$를 가질 때, $h'(8)$의 값은? [3점]
이 문항은 함수가 역함수를 가질 조건(단조성)을 다항함수의 도함수 성질과 연결하여 함수식을 추론하고, 역함수의 미분법을 활용하여 특정 점에서의 미분계수를 정확히 계산할 수 있는지를 평가합니다.
곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(0, g(0))$에서의 접선이 $x$축이라는 것은 다음 두 가지 조건을 의미합니다.
이를 주어진 $g(x) = f(e^x) + e^x$ 식에 적용해 봅니다.
다음으로 $g(x)$를 합성함수의 미분법을 이용해 미분합니다.
함수 $g(x)$가 역함수를 가지려면 실수 전체의 집합에서 항상 증가하거나 항상 감소해야 합니다(일대일대응). 즉, 도함수 $g'(x)$의 부호가 변하지 않아야 합니다.
* 교육과정에서는 '단조증가/감소'라는 전문 용어 대신 '어떤 구간에서 항상 증가/감소한다'고 표현합니다.
$f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이므로, 그 도함수 $f'(x)$는 최고차항의 계수가 $3$인 이차함수입니다. 따라서 $f'(x) + 1$ 은 아래로 볼록한 포물선입니다.
$e^x$를 $t$ ($t > 0$)로 치환하면, $t > 0$ 인 모든 실수 $t$에 대하여 $f'(t) + 1 \ge 0$ 이어야 합니다. (아래로 볼록이므로 항상 $\le 0$일 수는 없습니다.)
Step 1에서 $f'(1) + 1 = 0$ 임을 확인했습니다. $t=1$일 때 함숫값이 $0$인데, 모든 $t>0$에서 $0$ 이상이어야 하므로, 이차함수 $y = f'(t) + 1$ 은 $t=1$에서 $t$축에 접해야 합니다 (중근).
[참조도] $y = f'(t) + 1$ 의 그래프 ($t > 0$)
구해진 $f'(x)$를 부정적분하여 $f(x)$를 찾습니다.
Step 1에서 구한 $f(1) = -1$ 을 대입하여 적분상수 $C$를 결정합니다.
역함수 $h(x)$에 대하여 $h'(8)$의 값을 구해야 합니다. 역함수 미분법 공식에 의해 $h'(8) = \frac{1}{g'(a)}$ 이며, 이때 $g(a) = 8$ 입니다.
먼저 $g(a) = 8$ 을 만족하는 실수 $a$를 찾습니다. Step 3에서 찾은 $g(x)$ 식을 활용하면 계산이 매우 간편해집니다.
[참조도] 원함수와 역함수의 대응 관계
$g(\ln 3) = 8 \iff h(8) = \ln 3$
이제 $x = \ln 3$ 일 때 $g(x)$의 미분계수 $g'(\ln 3)$을 구합니다.
연속함수가 역함수를 갖기 위한 필요충분조건은 해당 구간에서 항상 증가하거나 항상 감소하는(일대일대응) 것입니다. 미분가능한 함수의 경우 $f'(x) \ge 0$ 또는 $f'(x) \le 0$ 이어야 합니다.
미분가능한 함수 $f(x)$의 역함수 $g(x)$에 대하여, $f(a)=b$ 일 때 $g'(b) = \frac{1}{f'(a)}$ 가 성립합니다. 이는 두 그래프가 $y=x$ 대칭이므로 접선의 기울기가 서로 역수 관계임을 의미합니다.
$y = f(g(x))$ 를 미분하면 $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ 가 됩니다. 본 문항에서는 $f(e^x)$ 를 미분하기 위해 이 정리가 필수적으로 사용되었습니다.
$g'(x) = e^x(f'(e^x) + 1) \ge 0$ 조건에서, 다항식 부분을 $x$에 관한 함수로 착각하여 "모든 실수 $x$에 대해 $f'(x)+1 \ge 0$ 이어야 한다"고 잘못 해석하는 경우가 많습니다.
합성된 속함수 $e^x$의 치역을 명확히 설정해야 합니다. $e^x = t$ 로 치환하면 $t > 0$ 이라는 제한 범위가 생깁니다. 따라서 "$t > 0$ 인 범위에서만" $f'(t)+1 \ge 0$ 이면 충분하다는 것을 인지하는 것이 핵심입니다.
$t=1$일 때 $f'(1)+1 = 0$ 이고, $t>0$에서 $f'(t)+1 \ge 0$ 이라는 두 조건을 얻었음에도, 이를 식으로 구성할 때 $f'(t)+1 = 3(t-1)^2$ (완전제곱식)으로 바로 연결하지 못해 미지수를 두고 복잡한 계산의 늪에 빠지기 쉽습니다.
미분가능한 함수가 특정 구간에서 항상 $0$ 이상인데, 내점(interior point)에서 함숫값이 $0$이 되었다면, 그 점은 반드시 극소점이어야 하며 $x$축에 접해야(중근) 합니다. 이차함수에서는 필연적으로 완전제곱식 형태가 됨을 증명 없이도 직관적으로 떠올려야 합니다.
함수 $f(x)$와 그 역함수 $g(x)$에 대하여 역함수의 정의에 의해 다음의 항등식이 성립합니다.
$$ f(g(x)) = x $$
위 식의 양변을 $x$에 대하여 미분하면, 합성함수의 미분법에 의해 다음과 같이 전개됩니다.
$$ f'(g(x)) \cdot g'(x) = 1 $$
따라서 역함수의 도함수 $g'(x)$는 다음과 같이 정리됩니다.
$$ g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))} \quad (\text{단, } f'(g(x)) \neq 0) $$
이 공식을 직관적으로 해석하면, $f(x)$의 그래프 위 점 $(a, b)$에서의 접선의 기울기와, 이를 $y=x$에 대칭시킨 $g(x)$의 그래프 위 점 $(b, a)$에서의 접선의 기울기는 서로 역수 관계임을 알 수 있습니다. 시각화 패널에서 이를 직접 확인해보세요.
원함수 $g(x)$와 역함수 $h(x)$는 직선 $y=x$에 대하여 대칭입니다.
슬라이더를 움직여 곡선 위를 이동하며, 서로 대칭인 두 점에서의 접선 기울기가 역수 관계가 됨을 실시간으로 확인하세요.
마우스 드래그(또는 터치)로 이동, 휠(또는 핀치)로 확대/축소가 가능합니다.