정사영 및 이면각의 기하/대수적 융합 분석 해설
Q 문제 원문
27. 그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}} = 6$, $\overline{\mathrm{BC}} = 4\sqrt{5}$ 인 사면체 $\mathrm{ABCD}$에 대하여 선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하자. 삼각형 $\mathrm{AMD}$가 정삼각형이고 직선 $\mathrm{BC}$는 평면 $\mathrm{AMD}$와 수직일 때, 삼각형 $\mathrm{ACD}$에 내접하는 원의 평면 $\mathrm{BCD}$ 위로의 정사영의 넓이는? [3점]
1 출제의도 : 평가 핵심 기하 역량
본 문항은 공간도형에서 선과 평면의 수직 조건을 바탕으로 도형의 성질을 유추하고, 두 평면이 이루는 이면각과 정사영의 관계를 묻는 문항입니다. 구체적인 핵심 평가 요소는 다음과 같습니다 :
- 공간 도형의 수직 조건(직선과 평면의 수직)을 이해하고 이를 활용하여 교선과 수직인 선분(삼수선의 정리)을 찾아내는 역량
- 주어진 기하학적 조건(정삼각형, 중점 등)을 만족하도록 대상의 길이와 넓이를 구면/평면 기하학적으로 연산하는 능력
- 삼각형의 넓이 공식을 활용하여 내접원의 반지름을 논리적으로 도출하는 능력
- 두 평면의 이면각을 기하학적 단면(삼수선의 정리) 또는 대수적 방법(법선 벡터의 내적)을 통해 구하고 정사영 공식에 대입하는 계산 능력
2 상세 풀이 : 공간 기하의 순차적 해석
기본 도형의 변의 길이 및 직교 조건 해석
직선 $BC$는 평면 $AMD$와 수직이므로, 직선 $BC$는 평면 $AMD$ 위의 모든 직선과 수직입니다. 따라서 $BC \perp AM$ 이고 $BC \perp DM$ 입니다. 삼각형 $ABC$에서 선분 $AM$은 밑변 $BC$를 수직이등분하므로 삼각형 $ABC$는 $AB = AC = 6$ 인 이등변삼각형이 됩니다.
직각삼각형 $AMC$에서 피타고라스 정리를 이용해 선분 $AM$의 길이를 구합니다. 점 $M$은 $BC$의 중점이므로 $MC = 2\sqrt{5}$ 입니다.
삼각형 $AMD$는 정삼각형이므로 $AM = MD = AD = 4$ 가 됩니다. 또한 직각삼각형 $DMC$ ($\angle M = 90^\circ$)에서 선분 $CD$의 길이를 구합니다.
따라서 정사영을 구해야 할 삼각형 $ACD$는 세 변의 길이가 $AC=6$, $CD=6$, $AD=4$ 인 이등변삼각형임이 밝혀졌습니다.
삼각형 $ACD$의 내접원의 넓이 계산
이등변삼각형 $ACD$의 점 $C$에서 대변 $AD$에 내린 수선의 발을 $N$이라 하면, $N$은 선분 $AD$의 중점이므로 $AN = 2$ 입니다. 피타고라스 정리에 의해 삼각형 $ACD$의 높이 $CN$을 구합니다.
삼각형 $ACD$의 전체 넓이 $S_{ACD}$를 밑변 $AD$와 높이 $CN$을 이용하여 계산합니다.
삼각형의 넓이는 내접원의 반지름 $r$과 삼각형의 둘레 길이의 합으로도 표현할 수 있습니다. 세 변의 길이는 $6, 6, 4$ 이므로 둘레의 절반 $s = \frac{6+6+4}{2} = 8$ 입니다.
따라서 내접원의 넓이 $S_{\text{circle}}$은 다음과 같습니다.
💡 [추가 분석] 면 CAD(삼각형 CAD)의 높이 구하기
이후 이면각을 구하는 과정(Step 3)을 위해, 면 CAD(삼각형 ACD)의 높이를 삼각형의 넓이 관계를 통해 아주 간단히 미리 구해둘 수 있습니다.
점 $A$에서 밑변 $CD$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면, 선분 $AH$가 바로 삼각형 CAD의 높이가 됩니다.
※ 이렇게 넓이를 활용하여 직접 구한 높이 $AH$는 3차원 공간에서 삼수선의 정리를 적용할 때 직각삼각형 $AA'H$의 빗변의 길이로 아주 유용하게 사용됩니다. (기존 피타고라스 정리를 통한 연산을 우회할 수 있습니다.)
두 평면이 이루는 이면각 $\theta$의 코사인 값 도출 (2가지 맞춤 해법)
[방법 1] 순수 기하학적 분석 : 삼수선의 정리 활용
평면 $AMD$는 평면 $BCD$에 수직입니다.
직선 $BC$는 삼각형 $ABC$와 삼각형 $DBC$의 밑변이고, 선분 $AM$과 $DM$은 각각의 중선이므로 이등변삼각형의 성질에 의해 $BC \perp AM$, $BC \perp DM$ 입니다. 한 직선이 평면 위의 교차하는 두 직선과 수직이면 그 평면 전체와 수직이므로, 직선 $BC \perp$ 평면 $AMD$ 가 성립합니다.
여기서 적용되는 공간도형의 핵심 명제인 '한 평면이 다른 평면에 수직인 직선을 포함하면, 두 평면은 서로 수직이다'의 수학적 증명은 다음과 같습니다 :
1. 평면 $\alpha$가 직선 $l$을 포함하고, 직선 $l$이 평면 $\beta$에 수직($l \perp \beta$)이라고 가정합니다.
2. 두 평면 $\alpha$와 $\beta$의 교선을 $m$이라 하고, 직선 $l$과 교선 $m$의 교점을 $P$라 설정합니다.
3. 직선 $l$은 평면 $\beta$ 전체와 수직이므로, 평면 $\beta$에 포함된 교선 $m$과도 수직입니다 ($l \perp m$).
4. 평면 $\beta$ 위에서 점 $P$를 지나고 교선 $m$에 수직인 새로운 직선 $n$을 긋습니다 ($n \perp m$).
5. 이면각의 정의에 의해, 교선 $m$에 수직인 두 직선 $l$(평면 $\alpha$ 내부)과 $n$(평면 $\beta$ 내부)이 이루는 각이 바로 두 평면이 이루는 이면각입니다.
6. 그런데 처음에 직선 $l$이 평면 $\beta$에 수직이라 가정했으므로, $l$은 평면 $\beta$ 위의 직선 $n$과도 당연히 수직입니다 ($l \perp n$).
7. 즉, 이면각이 $90^\circ$가 되므로 평면 $\alpha$와 평면 $\beta$는 서로 수직임이 완벽하게 증명됩니다. $\blacksquare$
점 $A$에서 평면 $BCD$에 내린 수선의 발을 $A'$라 하면, 두 평면이 수직이므로 $A'$는 교선 $MD$ 위에 위치하며 정삼각형 $AMD$의 높이 선분의 발이 됩니다. 점 $A'$에서 선분 $CD$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면, 삼수선의 정리에 의해 평면 밖의 점 $A$에서 이은 선분 $AH$ 역시 선분 $CD$와 수직($AH \perp CD$)이 됩니다. 따라서 두 평면 $ACD$와 $BCD$가 이루는 이면각 $\theta$는 $\angle AHA'$와 정확히 같습니다.
직각삼각형 $MCD$에서 $MC = 2\sqrt{5}$, $MD = 4$, 빗변 $CD = 6$ 입니다. 점 $M$에서 빗변 $CD$에 내린 수선의 길이를 $h_M$이라 하면 면적 공식을 통해 다음이 성립합니다 : $\frac{1}{2} \times 6 \times h_M = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{5} \times 4 \implies h_M = \frac{4\sqrt{5}}{3}$. 점 $A'$는 선분 $MD$의 중점이므로, 닮음비($1 : 2$)에 의해 $A'$에서 $CD$까지의 거리인 $A'H$는 $h_M$의 절반이 됩니다.
직각삼각형 $AA'H$에서 이면각의 코사인 값을 구하기 위한 빗변 $AH$의 길이는 앞서 Step 2의 추가 분석에서 면적을 통해 구한 면 CAD의 높이와 정확히 일치합니다. (물론 정삼각형 $AMD$의 높이 $AA' = 2\sqrt{3}$ 을 이용하여 직각삼각형 $AA'H$에서 $AH = \sqrt{(AA')^2 + (A'H)^2} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$ 로 구할 수도 있습니다.)
따라서 직각삼각형 $AA'H$에서 이면각의 코사인 값은 다음과 같이 도출됩니다.
[방법 2] 대수적 분석 : 공간벡터의 내적 조건 활용
점 $M$을 공간좌표의 원점 $(0,0,0)$으로 설정하고, 직선 $BC$를 $x$축, 직선 $MD$를 $y$축으로 둡니다. 평면 $BCD$는 $xy$평면($z=0$)이 되며 법선 벡터는 $\vec{n}_1 = (0, 0, 1)$ 입니다. 각 꼭짓점의 좌표를 설정하면 $C(2\sqrt{5}, 0, 0)$, $D(0, 4, 0)$ 이며, 점 $A$는 평면 $AMD$($yz$평면) 상의 점이므로 $A(0, 2, 2\sqrt{3})$ 입니다.
평면 $ACD$의 법선 벡터를 $\vec{n}_2 = (a, b, c)$ 라 하면, 이 벡터는 평면 위의 두 벡터 $\vec{DC}$와 $\vec{DA}$에 각각 수직이므로 현행 기하 교육과정에 입각하여 **내적이 $0$**이 되어야 함을 이용해 연립방정식을 세웁니다.
계산의 편의를 위해 $a = 2\sqrt{3}$ 으로 두면, $b = \sqrt{15}$, $c = \sqrt{5}$ 가 됩니다. 따라서 $\vec{n}_2 = (2\sqrt{3}, \sqrt{15}, \sqrt{5})$ 입니다. 두 평면이 이루는 이면각 $\theta$의 코사인 값은 두 법선 벡터가 이루는 예각의 코사인 값과 같습니다.
정사영 넓이 계산 및 최종 정답 도출
구한 내접원의 면적 $S = 2\pi$ 이며, 두 평면이 이루는 이면각의 코사인 값은 $\cos \theta = \frac{\sqrt{10}}{8}$ 입니다. 따라서 평면 $BCD$ 위로의 정사영의 넓이 $S'$는 정사영 공식을 통해 다음과 같이 도출됩니다.
이에 따른 정답지는 ① 이 됨이 완벽히 증명되었습니다.
3 이론 매칭 : 관련 고교 교육과정 수학 정리
직선과 평면의 수직
직선이 한 평면과 수직이면, 그 직선은 평면 위에 있는 모든 직선과 수직 관계를 가집니다.
삼수선의 정리
공간 상의 한 점과 평면, 그리고 평면 내의 직선 사이의 수직 관계를 연쇄적으로 증명하는 핵심 공간 기하 정리입니다.
평면의 법선 벡터 (내적 조건)
평면 내의 두 꼬인 위치가 아닌 벡터와 수직(내적 0)을 이루는 벡터가 법선 벡터가 되며, 이면각 계산의 기초가 됩니다.
정사영의 면적 정리
넓이 $S$를 이면각 $\theta$의 평면에 투영할 때, 변환 면적은 $S' = S \cos \theta$로 산출됩니다.
4 실수 포인트 및 기하학적 증명 분석
⚠️ 학생들이 주로 놓치는 오개념 포인트
수험생들은 이면각을 구하고자 할 때, 직관적으로 두 평면의 모서리(선분 $CD$)의 임의의 점에서 각 꼭짓점으로 선을 그어버리는 실수를 범합니다. 하지만 정확한 이면각은 반드시 교선의 한 점에서 양쪽 평면으로 각각 '수직'으로 뻗어나간 두 선분이 이루는 각도로 정의됩니다.
따라서 아무 점에서나 선을 긋는 것이 아니라, 삼수선의 정리를 의도적으로 활용하여 밑면에 수선을 먼저 내리고, 그 발에서 다시 교선에 수선을 내림으로써 엄밀하게 $\angle AHA'$가 이면각임을 기하학적으로 고정시켜야 합니다.
핵심 이론 증명 : 이면각과 법선 벡터의 관계
두 평면 $\alpha$와 $\beta$가 이루는 이면각의 크기를 $\theta$라 할 때, 각 평면에 수직인 법선 벡터 $\vec{n}_1$과 $\vec{n}_2$가 이루는 예각의 크기 역시 $\theta$가 됨을 단면도상에서 기하학적으로 증명할 수 있습니다.
1. 두 평면 $\alpha$와 $\beta$의 교선에 완전히 수직인 평면으로 공간을 절단한 단면(2D)을 생각합니다. 이 단면에서 두 평면은 두 개의 선으로 나타나며, 그 사잇각이 이면각 $\theta$입니다.
2. 두 법선 벡터가 교차하는 임의의 점 $P$에서 각 평면에 내린 두 수선의 발, 그리고 두 평면의 교점은 하나의 사각형을 이룹니다.
3. 이 사각형에서 법선이 이루는 두 내각은 각각 $90^\circ$입니다. 임의의 사각형 내각의 합은 $360^\circ$이므로, 점 $P$에서 두 법선 벡터가 이루는 한 각은 $180^\circ - \theta$가 됩니다.
4. 따라서 두 법선 벡터를 연결하는 직선이 교차하며 생기는 맞꼭지각 구조에 의해, 형성하는 예각의 크기는 직선의 성질에 따라 이면각 $\theta$와 정확히 일치하게 됩니다.
3D 입체 기하 투영 시뮬레이터
💡 시뮬레이터 조작 및 해설 연계
① 좌표 공간의 정합: 점 $M(0,0,0)$을 기점으로 $BC$ 선분이 X축(적색), $MD$ 선분이 Y축(녹색), 공간상의 수직선이 Z축(청색)으로 배치되어 대수적 풀이(법선 벡터)의 완벽한 3D 시각화 토대를 제공합니다. (Three.js 렌더러 기준 $Y$가 위쪽으로 표출되도록 좌표 매핑됨)
② 내접원과 정사영의 관계: 기울어진 평면 $ACD$(푸른 유리) 내부의 노란색 원(내접원)이 이면각을 따라 바닥 평면 $BCD$(녹색 유리) 위로 수직 투영(빨간 타원)되는 과정을 입체적으로 관찰할 수 있습니다.
③ 동적 카메라 제어: 마우스 클릭 및 드래그, 스크롤 휠, 또는 우측 상단의 플로팅 UI 버튼을 활용하여 다양한 각도에서 입체 도형의 단면과 정사영 수축 비율을 확인해 보세요.