수능 출제 분석

표본평균의 분산과 확률변수의 성질

모분산으로부터 표본평균의 분산을 추론하고 변환하는 종합적 사고력 평가 문항

Q [문제 원문]

27. 숫자 1, 3, 5, 7, 9가 각각 하나씩 적혀 있는 5장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 1장의 카드를 꺼내어 카드에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 3번 반복하여 확인한 세 개의 수의 평균을 $\bar{X}$ 라 하자. $V(a\bar{X} + 6) = 24$일 때, 양수 $a$의 값은?

①1

②2

③3

④4

⑤5

1 [출제의도]

이 문항은 추출 방식(복원추출)에 따른 모집단의 확률분포를 파악하여 모평균과 모분산을 구하고, 이를 바탕으로 크기가 $n$인 표본을 추출했을 때 표본평균 $\bar{X}$의 분산이 모분산의 $\frac{1}{n}$이 됨을 이해하고 있는지 평가합니다. 또한, 확률변수의 분산 성질을 이용하여 최종적인 미지수 $a$의 값을 논리적으로 도출하는 능력을 묻는 문항입니다.

2 [상세 풀이]

Step 1

모집단의 확률분포와 모분산 $V(X)$ 구하기

주머니에서 1장의 카드를 임의로 꺼낼 때 카드에 적힌 수를 확률변수 $X$라 합시다. 각 카드가 뽑힐 확률은 동일하게 $\frac{1}{5}$입니다. 따라서 모집단 $X$의 확률분포는 다음과 같습니다.

P(X=x) = \frac{1}{5} \quad (x = 1, 3, 5, 7, 9)

모평균 $E(X)$와 모분산 $V(X)$를 계산합니다. 분산은 '제곱의 평균 - 평균의 제곱' 공식을 사용합니다.

\begin{aligned} E(X) &= \frac{1 + 3 + 5 + 7 + 9}{5} = \frac{25}{5} = 5 \\ E(X^2) &= \frac{1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2}{5} = \frac{1 + 9 + 25 + 49 + 81}{5} = \frac{165}{5} = 33 \\ V(X) &= E(X^2) - \{E(X)\}^2 = 33 - 5^2 = 33 - 25 = 8 \end{aligned}

Step 2

표본평균 $\bar{X}$의 분산 구하기

카드를 꺼내어 확인하고 다시 넣는 시행(복원추출)을 3번 반복하므로 표본의 크기는 $n=3$ 입니다. 표본평균 $\bar{X}$의 분산은 모분산을 표본의 크기로 나눈 값과 같습니다.

V(\bar{X}) = \frac{V(X)}{n} = \frac{8}{3}

👉 우측 패널의 [시각화 1] 참조
왜 표본평균의 분산이 줄어들까요? 1이나 9와 같은 극단적인 값이 3번 연속으로 뽑힐 확률은 매우 희박해집니다. 반면 1, 5, 9 또는 3, 5, 7 등 다양하게 섞여서 뽑히면 이들의 평균은 모평균인 5에 가까워집니다. 즉, 데이터가 평균 주변으로 오밀조밀하게 모이게 되므로 분산(흩어짐 정도)이 $1/3$로 줄어들게 됩니다.

Step 3

확률변수의 분산 성질을 이용한 미지수 $a$ 도출

확률변수의 성질에 의하여 $V(aX+b) = a^2 V(X)$ 임을 이용합니다. 문제의 조건 $V(a\bar{X} + 6) = 24$ 에 이를 적용합니다.

\begin{aligned} V(a\bar{X} + 6) &= a^2 V(\bar{X}) \\ a^2 \left( \frac{8}{3} \right) &= 24 \\ a^2 &= 24 \times \frac{3}{8} = 3 \times 3 = 9 \end{aligned}

조건에서 $a$는 양수이므로, 최종적으로 $a = 3$ 입니다.

👉 우측 패널의 [시각화 2] 참조
우측 시뮬레이터를 통해 $a$값을 조절해보세요. $a=3$이 되는 순간 분포의 폭(분산)이 어떻게 문제의 조건인 24에 완벽하게 일치하는지 직관적으로 확인할 수 있습니다.

3 [이론 매칭]

🎲

이산확률분포

확률질량함수 및 기댓값, 분산의 정의

📊

표본평균의 분포

모집단과 표본평균의 통계적 관계

🔄

확률변수의 성질

기댓값과 분산의 연산 성질

4 [실수 포인트 및 증명]

🚨 치명적 오개념 주의: 분산의 성질 적용 시 상수배의 착각

학생들이 가장 많이 틀리는 지점은 $V(aX + b)$를 구할 때, 기댓값 $E(aX+b) = aE(X)+b$ 와 혼동하여 $V(aX+b) = aV(X)$ 로 $a$를 제곱하지 않거나, 상수 $b$를 더해버리는 실수입니다.

수학적 증명을 통한 오개념 타파

분산의 정의 $V(Y) = E(\{Y - E(Y)\}^2)$ 에 $Y = aX+b$ 를 직접 대입해봅시다.

$$ \begin{aligned} V(aX+b) &= E(\{ (aX+b) - E(aX+b) \}^2) \\ &= E(\{ aX + b - (aE(X) + b) \}^2) \quad \text{(상수 b 소거)} \\ &= E(\{ aX - aE(X) \}^2) \\ &= E(\{ a(X - E(X)) \}^2) \\ &= E(a^2 \{ X - E(X) \}^2) \\ &= a^2 E(\{ X - E(X) \}^2) \quad \text{(상수 } a^2 \text{ 을 기댓값 밖으로)} \\ &= a^2 V(X) \end{aligned} $$

수식에서 보듯, 더해진 상수 $b$는 평균이 이동한 만큼 변량도 같이 이동하므로 편차 계산에서 완벽히 소거됩니다. 또한 $a$는 제곱 식 안에서 곱해지기 때문에 밖으로 나올 때 반드시 $a^2$이 되어야 합니다.

5 [핵심 이론 증명]

표본평균의 분산 $V(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ 의 논리적 유도

모분산이 $\sigma^2$인 모집단에서 크기가 $n$인 표본 $X_1, X_2, \dots, X_n$을 복원 추출할 때, 각각의 $X_i$는 서로 독립이며 모분산과 동일한 분산 $V(X_i) = \sigma^2$을 가집니다.

표본평균 $\bar{X}$ 의 정의는 다음과 같습니다.

$$ \bar{X} = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n} $$

여기에 분산을 취하면, 앞서 증명한 분산의 성질(상수를 나눌 때 제곱으로 나옴)에 의해 다음이 성립합니다.

$$ V(\bar{X}) = V\left( \frac{1}{n} (X_1 + X_2 + \dots + X_n) \right) = \frac{1}{n^2} V(X_1 + X_2 + \dots + X_n) $$

각 표본 $X_i$ 가 서로 독립이므로, 합의 분산은 분산의 합과 같습니다.

$$ V(X_1 + \dots + X_n) = V(X_1) + V(X_2) + \dots + V(X_n) = \sigma^2 + \sigma^2 + \dots + \sigma^2 = n\sigma^2 $$

따라서, 최종적으로 표본평균의 분산은 다음과 같이 유도됩니다.

$$ V(\bar{X}) = \frac{1}{n^2} (n\sigma^2) = \frac{\sigma^2}{n} $$

핵심 원리 시각화 도구

복잡한 수식을 직관적인 그래프로 이해해보세요. 문제 해결의 핵심이 되는 두 가지 수학적 성질을 시각적으로 확인할 수 있습니다.

📊 [시각화 1] 표본평균의 분산 감소

모집단 $X$(파란색 막대)와 크기 3인 표본평균 $\bar{X}$(붉은 곡선)의 분포 비교입니다. 여러 번 뽑아 평균을 내면 극단값이 상쇄되어 데이터가 평균(5) 주변으로 촘촘하게 모이는 현상(분산이 $1/3$로 감소)을 확인하세요.

📈 [시각화 2] 확률변수의 성질 시뮬레이터

$Y = a\bar{X} + 6$ 변환에 따른 분산의 기하급수적 팽창을 확인하세요. 슬라이더를 움직여 목표 분산인 24에 도달하는 $a$ 값을 직접 찾아보세요.

상수 $a$ 값 조정 : 1.0

목표 분산

24.0

현재 분산 $V(a\bar{X}+6)$

2.67