수능 출제 분석

정적분으로 정의된 함수의 미분과 부분적분법

접선과 곡선으로 둘러싸인 넓이 함수의 미분 및 원시함수가 주어지지 않은 정적분의 처리

Q [문제 원문]

28. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$가

$$ f'(x) = -x + e^{1-x^2} $$

이다. 양수 $t$에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선과 곡선 $y=f(x)$ 및 $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $g(t)$라 하자. $g(1) + g'(1)$ 의 값은? [4점]

①$\frac{1}{2}e + \frac{1}{2}$

②$\frac{1}{2}e + \frac{2}{3}$

③$\frac{1}{2}e + \frac{5}{6}$

④$\frac{2}{3}e + \frac{1}{2}$

⑤$\frac{2}{3}e + \frac{2}{3}$

1 [출제의도]

이 문항은 정적분으로 표현된 함수의 식을 세우고 이를 미분하는 능력과, 피적분함수의 원시함수를 직접 구하기 어려울 때 부분적분법을 활용하여 우회적으로 정적분 값을 계산하는 논리적 추론 능력을 종합적으로 평가합니다.

곡선 위의 임의의 점에서의 접선의 방정식을 구성하고 두 곡선으로 둘러싸인 넓이 식 도출하기
정적분으로 정의된 함수 $g(t)$를 전개한 후, 변수 $t$에 대하여 미분하여 $g'(t)$ 유도하기
함수 $f(x)$의 명시적인 식을 구할 수 없는 상황에서, $\int f(x) dx$ 형태를 부분적분법을 통해 주어진 $f'(x)$의 적분 형태로 변형하여 계산하기

2 [상세 풀이] (Step-by-Step)

Step 1

접선의 방정식과 넓이 함수 $g(t)$ 설정하기

곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t, f(t))$에서의 접선의 방정식은 다음과 같습니다.

$$ y = f'(t)(x - t) + f(t) $$

우선 이 접선과 곡선의 위치 관계를 파악하기 위해 $f(x)$의 이계도함수를 구해봅니다. $$ f''(x) = -1 - 2x e^{1-x^2} $$ $x>0$ 인 구간에서 $f''(x) < 0$ 이므로 곡선 $y=f(x)$는 위로 볼록합니다. 따라서 접선은 항상 곡선보다 위쪽에 위치합니다.

교육과정 관련 참고 (이계도함수)

이계도함수와 곡선의 오목/볼록은 현행 고등학교 '미적분' 과목의 정규 교육과정(도함수의 활용 단원)에 명확히 포함되어 있습니다. 따라서 이계도함수를 활용한 위 풀이는 수능 출제 의도에 완벽히 부합합니다.

만약 이계도함수 식을 계산하지 않고 논리적으로만 증명하고 싶다면, 도함수 $f'(x) = -x + e^{1-x^2}$ 의 증감을 직접 조사하면 됩니다. $x>0$ 구간에서 함수 $y=-x$는 감소함수이고, $y=e^{1-x^2}$ 역시 지수부분($1-x^2$)이 감소하므로 전체적으로 감소함수입니다. 두 감소함수의 합인 $f'(x)$는 단조감소하게 됩니다. 도함수 $f'(x)$가 감소한다는 것 자체가 곡선이 '위로 볼록'함을 의미하므로, 이계도함수 계산 없이도 접선이 곡선보다 위에 있다는 결론을 동일하게 이끌어낼 수 있습니다.

곡선, 접선, 그리고 $y$축($x=0$)으로 둘러싸인 넓이 $g(t)$는 위 식에서 아래 식을 빼서 적분한 것입니다.

g(t) = \int_{0}^{t} \left\{ f'(t)(x-t) + f(t) - f(x) \right\} dx

Step 2

넓이 함수 미분하여 $g'(t)$ 구하기

$g(t)$ 식 내부의 피적분함수를 $x$에 대해 적분하기 위해 전개합니다. 이때 $t$는 적분변수 $x$와 무관한 상수 취급을 받습니다.

\begin{aligned} g(t) &= f'(t) \int_{0}^{t} (x-t) dx + f(t) \int_{0}^{t} 1 dx - \int_{0}^{t} f(x) dx \\ &= f'(t) \left[ \frac{1}{2}x^2 - tx \right]_{0}^{t} + f(t) [x]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} f(x) dx \\ &= f'(t) \left( \frac{1}{2}t^2 - t^2 \right) + t f(t) - \int_{0}^{t} f(x) dx \\ &= -\frac{1}{2}t^2 f'(t) + t f(t) - \int_{0}^{t} f(x) dx \end{aligned}

이제 양변을 $t$에 대하여 미분합니다. 곱의 미분법과 정적분으로 정의된 함수의 미분법을 적용합니다.

\begin{aligned} g'(t) &= \frac{d}{dt} \left( -\frac{1}{2}t^2 f'(t) \right) + \frac{d}{dt} (t f(t)) - \frac{d}{dt} \int_{0}^{t} f(x) dx \\ &= -\frac{1}{2} \left( 2t f'(t) + t^2 f''(t) \right) + \left( 1 \cdot f(t) + t f'(t) \right) - f(t) \\ &= -t f'(t) - \frac{1}{2}t^2 f''(t) + f(t) + t f'(t) - f(t) \\ &= -\frac{1}{2}t^2 f''(t) \end{aligned}

Step 3

$g'(1)$의 값 계산하기

위에서 구한 식에 $t=1$을 대입하면 $g'(1) = -\frac{1}{2} f''(1)$ 입니다.
$f''(x) = -1 - 2x e^{1-x^2}$ 이므로 $f''(1)$을 계산합니다.

f''(1) = -1 - 2(1)e^{1-1} = -1 - 2(1) = -3 $$ $$ \therefore g'(1) = -\frac{1}{2} \times (-3) = \frac{3}{2}

Step 4

부분적분법을 활용한 $g(1)$ 계산하기

초기 $g(t)$ 식에 $t=1$을 대입합니다.

g(1) = -\frac{1}{2}(1)^2 f'(1) + 1 \cdot f(1) - \int_{0}^{1} f(x) dx = -\frac{1}{2} f'(1) + f(1) - \int_{0}^{1} f(x) dx

우리는 $f(x)$의 명시적인 식을 모릅니다. 따라서 $\int_{0}^{1} f(x) dx$ 부분에 부분적분법을 적용합니다. 피적분함수 $f(x)$를 $1 \cdot f(x)$ 로 생각하여, $1$을 적분할 함수로, $f(x)$를 미분할 함수로 둡니다.

\int_{0}^{1} 1 \cdot f(x) dx = \left[ x f(x) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x f'(x) dx = 1 \cdot f(1) - 0 - \int_{0}^{1} x f'(x) dx

이를 다시 $g(1)$ 식에 대입하면 다음과 같이 $f(1)$ 항이 소거됩니다.

\begin{aligned} g(1) &= -\frac{1}{2} f'(1) + f(1) - \left( f(1) - \int_{0}^{1} x f'(x) dx \right) \\ &= -\frac{1}{2} f'(1) + \int_{0}^{1} x f'(x) dx \end{aligned}

$f'(1) = -1 + e^{0} = 0$ 이므로, $g(1) = \int_{0}^{1} x f'(x) dx$ 입니다. 이제 $f'(x)$ 식을 대입하여 적분합니다. 이때 뒷부분 항은 지수를 치환하는 치환적분법을 사용합니다.

\begin{aligned} g(1) &= \int_{0}^{1} x \left( -x + e^{1-x^2} \right) dx = \int_{0}^{1} -x^2 dx + \int_{0}^{1} x e^{1-x^2} dx \\ &= \left[ -\frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{1} + \left[ -\frac{1}{2} e^{1-x^2} \right]_{0}^{1} \\ &= \left( -\frac{1}{3} \right) + \left( -\frac{1}{2} e^0 - \left( -\frac{1}{2} e^1 \right) \right) \\ &= -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}e \\ &= \frac{1}{2}e - \frac{5}{6} \end{aligned}

Step 5

최종 결과 도출

Step 3과 Step 4에서 구한 두 값을 더하여 최종 답을 도출합니다.

g(1) + g'(1) = \left( \frac{1}{2}e - \frac{5}{6} \right) + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}e - \frac{5}{6} + \frac{9}{6} = \frac{1}{2}e + \frac{4}{6} = \frac{1}{2}e + \frac{2}{3}

따라서 구하고자 하는 값은 $$ \frac{1}{2}e + \frac{2}{3} $$

3 [이론 매칭]

정적분으로 정의된 함수의 미분

적분 구간에 변수 $t$가 포함되어 있고, 피적분함수에도 $t$가 포함된 경우 식을 전개하여 분리한 후 미분하는 기본 원리를 사용합니다.

부분적분법

원시함수를 구하기 어려운 $\int f(x) dx$ 형태에서 다항함수 $1$이 곱해져 있다고 간주하여 $\int u v' dx = uv - \int u' v dx$ 를 적용, $f'(x)$ 꼴로 유도합니다.

치환적분법

합성함수의 적분인 $\int x e^{1-x^2} dx$ 꼴에서 지수 부분의 $1-x^2$를 $u$로 치환하여 미분 형태 $-2x dx = du$ 를 매칭시켜 계산합니다.

4 [실수 포인트 및 증명]

🚨 $f(x)$의 식을 직접 구하려는 시도

학생들이 가장 많이 당황하는 지점은 넓이 식에 $\int_0^1 f(x) dx$가 남아있는데, 정작 주어진 것은 $f'(x)$일 때입니다. 이때 양변을 적분하여 $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \int e^{1-x^2} dx$ 와 같이 원시함수를 직접 구하려다 적분이 불가능함(오차함수 형태)을 깨닫고 시간을 낭비하게 됩니다.

수학적 해결 방안 :

교과 과정 내에서 명시적인 식으로 적분되지 않는 함수가 주어졌다면, 이는 반드시 다른 항과 상쇄되거나 부분적분법을 통해 우회 계산되도록 출제된 것입니다. $\int_a^b f(x) dx$ 꼴은 항상 $1 \cdot f(x)$ 로 보고 부분적분하여 $[x f(x)] - \int x f'(x) dx$ 로 변환할 수 있음을 기억해야 합니다. 본 풀이의 Step 4 과정이 이에 대한 완벽한 증명이자 파훼법입니다.

5 [핵심 이론 증명]

적분 구간과 피적분함수 모두에 변수가 있는 정적분의 미분

우리가 Step 2에서 수행한 미분 과정은 대학 수학에서 라이프니츠 적분 법칙(Leibniz Integral Rule)으로 불리는 정리의 특수한 형태입니다.

$$ \frac{d}{dt} \int_{a}^{t} h(x, t) dx = h(t, t) + \int_{a}^{t} \frac{\partial}{\partial t} h(x, t) dx $$

고교 과정에서는 편미분을 배우지 않으므로, 이 문제처럼 다항식 형태로 분리 가능한 경우 식을 전개하여 분리한 후 미분하는 방식으로 그 정당성을 유도합니다.

만약 $h(x, t) = f'(t)(x-t) + f(t) - f(x)$ 라면, 위 공식을 적용하여 바로 증명해 볼 수 있습니다.

$h(t, t) = f'(t)(t-t) + f(t) - f(t) = 0$
$\frac{\partial}{\partial t} h(x, t) = f''(t)(x-t) - f'(t) + f'(t) = f''(t)(x-t)$

따라서, $g'(t) = 0 + \int_{0}^{t} f''(t)(x-t) dx = f''(t) \left[ \frac{1}{2}x^2 - tx \right]_{0}^{t} = -\frac{1}{2}t^2 f''(t)$ 가 되어 Step 2의 결과와 완벽하게 동일함이 증명됩니다. 전개 후 미분하는 것은 이 일반화된 법칙을 교과 과정 내에서 풀어쓰는 논리적 과정입니다.

기하학적 시각화 패널 (2D Interactive)

아래 슬라이더를 움직여 접점의 $x$좌표인 $t$ 값을 변화시켜 보세요. 곡선(파란선) 위의 접선(청록선)과 $y$축으로 둘러싸인 넓이 $g(t)$ 영역이 어떻게 변하는지 직관적으로 확인할 수 있습니다.
💡 캔버스를 드래그하여 이동하고, 휠을 스크롤하여 확대/축소할 수 있습니다.

접점 위치 $t$ 1.00

넓이 $g(t)$ 시각화

함수 $f(x)$
접선 $y$
넓이 $g(t)$