2025학년도 수능 기하 28번 해설 및 3D 시뮬레이터

수능 출제 분석

좌표공간 내의 직각삼각형과 구의 교선을 활용한 공간지각력 및 방정식 추론

Q [문제 원문]

좌표공간에 $\overline{AB}=8$, $\overline{BC}=6$, $\angle ABC = \frac{\pi}{2}$인 직각삼각형 ABC와 선분 AC를 지름으로 하는 구 $S$가 있다. 직선 AB를 포함하고 평면 ABC에 수직인 평면이 구 $S$와 만나서 생기는 원을 $O$라 하자. 원 $O$ 위의 점 중에서 직선 AC까지의 거리가 4인 서로 다른 두 점을 P, Q라 할 때, 선분 PQ의 길이는? [4점]

① $\sqrt{43}$

② $\sqrt{47}$

③ $\sqrt{51}$

④ $\sqrt{55}$

⑤ $\sqrt{59}$

1 [출제의도]

이 문항은 3차원 공간에서 주어진 도형(직각삼각형, 구)의 기하학적 성질을 파악하고, 이를 좌표공간으로 옮겨 대수적으로 해석하는 능력을 평가합니다.

공간도형을 좌표공간에 적절히 배치하여 점의 좌표를 설정하는 능력
구의 방정식과 평면의 방정식을 유도하고, 그 교선인 원의 방정식을 도출하는 능력
공간에서 점과 직선 사이의 거리를 구하는 공식을 벡터의 내적과 피타고라스 정리를 활용해 계산하는 추론 역량

2 [상세 풀이] 대수적 / 해석기하적 접근

Step 1

좌표공간 설정 및 주요 점의 좌표 구하기

문제의 입체 도형과 동일한 시각적 구도를 가지도록 직각을 낀 점 B를 원점 $(0, 0, 0)$으로 설정하고, 선분 BC를 x축, 선분 AB를 y축에 배치하여 평면 ABC를 $xy$평면($z=0$) 위에 둡니다. 점 A와 C의 위치를 원문 그림과 일치하도록 설정합니다.

점 B : $(0, 0, 0)$
점 C (x축 위) : $(6, 0, 0)$
점 A (y축 위) : $(0, 8, 0)$

선분 AC를 지름으로 하는 구 $S$의 중심 $M$은 선분 AC의 중점입니다.

M = \left( \frac{6+0}{2}, \frac{0+8}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = (3, 4, 0) $$ $$ \text{구의 반지름 } R = \overline{MA} = \sqrt{(0-3)^2 + (8-4)^2 + 0^2} = 5

[참고도 1 : xy평면 상의 직각삼각형 ABC 설정 (A, C 위치 교환 반영)]

Step 2

평면과 구의 교선, 원 O의 방정식 도출

직선 AB(y축)를 포함하고 평면 ABC($xy$평면)에 수직인 평면을 $\alpha$라 하면, 평면 $\alpha$는 $yz$평면이 되며 방정식은 $x=0$입니다.

구 $S$의 방정식은 중심이 $(3,4,0)$이고 반지름이 $5$이므로 다음과 같습니다.

$$ (x-3)^2 + (y-4)^2 + z^2 = 25 $$

원 $O$는 구 $S$와 평면 $\alpha (x=0)$의 교선이므로 위 식에 $x=0$을 대입합니다.

(-3)^2 + (y-4)^2 + z^2 = 25 \implies (y-4)^2 + z^2 = 16 \quad (x=0)

따라서 원 $O$는 $yz$평면 위에 존재하며, 중심이 $(0, 4, 0)$이고 반지름이 $4$인 원입니다.

[참고도 2 : yz평면 상의 원 O와 중심점]

Step 3

점 P에서 직선 AC까지의 거리 수식화 (내적 활용)

원 $O$ 위의 임의의 점을 $X(0, y, z)$라 합시다. 이 점은 앞서 구한 원의 방정식 $(y-4)^2 + z^2 = 16$ 을 만족합니다.

점 $X$에서 직선 AC에 내린 수선의 발을 $H$라 합시다. 직선 AC는 점 $A(0, 8, 0)$를 지나고 점 $C(6, 0, 0)$를 향하므로 방향벡터가 $\vec{v} = \vec{OC} - \vec{OA} = (6, -8, 0)$입니다. 계산의 편의를 위해 길이를 줄여 방향벡터 $\vec{d} = (3, -4, 0)$으로 설정합시다.

점 $H$의 위치벡터는 $\vec{AH} = t\vec{d} = (3t, -4t, 0)$ (단, $t$는 실수)로 표현할 수 있습니다.

수직 조건에 의해 벡터 $\vec{XH}$와 방향벡터 $\vec{d}$의 내적은 0입니다. $\vec{XH} \cdot \vec{d} = 0 \implies (\vec{AH} - \vec{AX}) \cdot \vec{d} = 0 \implies \vec{AH} \cdot \vec{d} = \vec{AX} \cdot \vec{d}$

\vec{AX} = (0, y-8, z) $$ $$ \vec{AH} \cdot \vec{d} = (3t, -4t, 0) \cdot (3, -4, 0) = 9t + 16t = 25t $$ $$ \vec{AX} \cdot \vec{d} = (0, y-8, z) \cdot (3, -4, 0) = -4(y-8) $$ $$ \therefore 25t = -4(y-8) \implies t = \frac{-4(y-8)}{25}

피타고라스 정리에 의해 점 $X$와 직선 AC 사이의 거리 $d$의 제곱은 $|\vec{XH}|^2 = |\vec{AX}|^2 - |\vec{AH}|^2$ 입니다.

|\vec{AX}|^2 = (y-8)^2 + z^2 $$ $$ |\vec{AH}|^2 = (3t)^2 + (-4t)^2 = 25t^2 = 25 \left( \frac{-4(y-8)}{25} \right)^2 = \frac{16}{25}(y-8)^2 $$ $$ d^2 = |\vec{XH}|^2 = (y-8)^2 + z^2 - \frac{16}{25}(y-8)^2 = z^2 + \frac{9}{25}(y-8)^2

조건에 따라 거리가 $4$이므로 $d^2 = 16$ 입니다.

z^2 + \frac{9}{25}(y-8)^2 = 16

Step 4

연립방정식 풀이 및 선분 PQ의 길이 도출

원 $O$의 방정식에서 $z^2 = 16 - (y-4)^2$ 이므로, 이를 앞서 구한 거리 제곱 식에 대입합니다.

16 - (y-4)^2 + \frac{9}{25}(y-8)^2 = 16 $$ $$ -(y-4)^2 + \frac{9}{25}(y-8)^2 = 0 \implies (y-4)^2 = \frac{9}{25}(y-8)^2

양변에 제곱근을 취하면 두 가지 경우가 나옵니다 : $y-4 = \pm \frac{3}{5}(y-8)$

Case 1 : $y-4 = -\frac{3}{5}(y-8) \implies 5y-20 = -3y+24 \implies 8y = 44 \implies y = \frac{11}{2}$
이때 $z^2 = 16 - \left(\frac{11}{2}-4\right)^2 = 16 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 16 - \frac{9}{4} = \frac{55}{4}$
따라서 $z = \pm \frac{\sqrt{55}}{2}$ 입니다.
Case 2 : $y-4 = \frac{3}{5}(y-8) \implies 5y-20 = 3y-24 \implies 2y = -4 \implies y = -2$
이때 $z^2 = 16 - (-2-4)^2 = 16 - 36 = -20$.
$z$는 실수여야 하므로 모순입니다.

두 점 P, Q의 좌표는 $\left(0, \frac{11}{2}, \frac{\sqrt{55}}{2}\right)$와 $\left(0, \frac{11}{2}, -\frac{\sqrt{55}}{2}\right)$가 됩니다.
선분 PQ는 z축에 평행하므로 그 길이는 두 z좌표의 차이입니다.

\overline{PQ} = \frac{\sqrt{55}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{55}}{2}\right) = \sqrt{55}

별해 [우아한 기하학적 풀이] 직관과 성질 활용

이 풀이는 좌표계나 복잡한 대수 연산을 전혀 사용하지 않고, 중학교 도형 성질(원과 비례, 피타고라스 정리)과 고등학교 공간도형의 기본 정리만을 활용하여 답을 도출하는 직관적이고 아름다운 해법입니다.

Step 1

공간 성질을 통한 원 $O$의 정체 파악

평면 $\alpha$는 직선 $AB$를 포함하고 평면 $ABC$에 수직입니다. $\angle ABC = 90^\circ$ 이므로, 직선 $BC$는 평면 $\alpha$에 수직입니다.

구 $S$의 중심 $M$은 선분 $AC$의 중점입니다. 점 $M$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $N$이라 합시다.
$MN \parallel BC$ 이므로 직각삼각형 $ABC$의 중점 연결 정리에 의해 점 $N$은 선분 $AB$의 중점이 되며, 거리는 $\overline{MN} = \frac{1}{2}\overline{BC} = 3$ 입니다.

피타고라스 정리에 의해 원 $O$의 반지름 $r$은 구의 반지름(5)과 중심거리(3)를 이용해 도출됩니다. $r = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$.
선분 $AB$의 길이가 8이므로, 원 $O$는 선분 $AB$를 지름으로 하는 원임을 확정할 수 있습니다.

Step 2

구면 위 점의 성질과 직각삼각형 유도

점 $P$는 원 $O$ 위의 점이므로 곧 구 $S$ 위의 점입니다. 선분 $AC$가 구의 지름이므로 구면각 성질(원주각)에 의해 $\angle APC = 90^\circ$ 입니다.

점 $P$에서 빗변 $AC$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면, 문제 조건에 의해 높이 $\overline{PH} = 4$ 입니다.
직각삼각형 $\triangle APC$의 넓이 공식을 두 가지로 적용해 봅니다.

\overline{AP} \times \overline{PC} = \overline{AC} \times \overline{PH} = 10 \times 4 = 40 $$ $$ \overline{AP}^2 + \overline{PC}^2 = \overline{AC}^2 = 100 \quad \text{(피타고라스 정리)}

두 식을 연립하여 $\overline{PC}^2 = 100 - \overline{AP}^2$ 를 대입 후 양변을 제곱하여 풉니다.

\overline{AP}^2 (100 - \overline{AP}^2) = 1600 \implies (\overline{AP}^2)^2 - 100\overline{AP}^2 + 1600 = 0 $$ $$ (\overline{AP}^2 - 20)(\overline{AP}^2 - 80) = 0 \implies \overline{AP}^2 = 20 \text{ 또는 } 80

[참고도 A : 구면 위 점이 만드는 직각삼각형 APC와 높이]

Step 3

원 $O$ 내부의 직각삼각형과 현 $PQ$ 길이 도출

점 $P$는 지름이 $AB$인 원 $O$ 위의 점이므로 $\angle APB = 90^\circ$ 입니다.
직각삼각형 $\triangle APB$에서 피타고라스 정리에 의해 $\overline{PB}^2 = \overline{AB}^2 - \overline{AP}^2 = 64 - \overline{AP}^2$ 입니다. 길이의 제곱은 양수여야 하므로 $\overline{AP}^2 = 20$ 으로 확정됩니다.

원 $O$에서 거리가 같은 두 점이 만드는 현 $PQ$는 지름 $AB$와 수직으로 교차합니다. 교점을 $K$라 합시다.
직각삼각형 $\triangle APB$에서 직각 꼭짓점 $P$에서 빗변에 수선을 내린 상황이므로 소공식(사영 정리)을 적용할 수 있습니다.

\overline{AP}^2 = \overline{AK} \times \overline{AB} \implies 20 = \overline{AK} \times 8 \implies \overline{AK} = \frac{5}{2} $$ $$ \overline{PK}^2 = \overline{AP}^2 - \overline{AK}^2 = 20 - \left(\frac{5}{2}\right)^2 = 20 - \frac{25}{4} = \frac{55}{4} $$ $$ \therefore \overline{PK} = \frac{\sqrt{55}}{2}

현 $PQ$의 길이는 대칭성에 의해 $\overline{PK}$의 2배이므로 최종 정답은 $\sqrt{55}$ 입니다.

[참고도 B : 원 O와 현 PQ, 직각삼각형의 사영정리]

3 [이론 매칭]

좌표공간의 설정 구의 방정식 평면과 직선의 방정식 벡터의 내적과 수직 조건 피타고라스 정리 원의 성질 (원주각) 삼각형의 중점연결정리 사영 정리 (소공식)

4 [실수 포인트 및 증명]

오개념 : 2차원 점과 직선 사이의 거리 공식 오용 점 $X(0,y,z)$에서 직선 AC까지의 거리를 계산할 때, 직선 AC가 $xy$평면에 있고 점 $X$가 $yz$평면에 있음에도 불구하고 특정 평면으로 정사영된 상황이라 착각하여 $d = \frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 공식을 잘못 적용하는 경우가 많습니다.

수학적 해결책 : 위치벡터와 내적 활용 3차원 공간에서 직선 밖의 한 점 $P$에서 직선에 이르는 거리를 구할 때는 수선의 발(Orthogonal Projection) 개념을 사용해야 합니다. 직선 위의 임의의 점을 매개변수 $t$로 표현하고, 방향벡터와의 내적이 0이 된다는 직교 조건을 활용하여 수선의 발 $H$를 정확히 구해야 합니다. 이를 통해 피타고라스 정리 $|\vec{PH}|^2 = |\vec{AP}|^2 - |\vec{AH}|^2$를 성립시켜야 완벽한 공간거리가 도출됩니다.

5 [핵심 이론 증명]

내적을 이용한 공간 상의 점과 직선 사이의 거리 유도

직선 $l$이 점 $A$를 지나고 방향벡터 $\vec{v}$를 가질 때, 직선 밖의 점 $P$에서 $l$에 내린 수선의 발을 $H$라 하자.

1. 점 $H$는 직선 $l$ 위의 점이므로 $\vec{AH} = t\vec{v}$ (단, $t$는 실수) 로 표현할 수 있다.

2. $\vec{PH} = \vec{AH} - \vec{AP} = t\vec{v} - \vec{AP}$ 이다.

3. $\vec{PH}$는 직선 $l$의 방향벡터 $\vec{v}$와 수직이므로, 내적 $\vec{PH} \cdot \vec{v} = 0$ 이다.

4. 식을 전개하면 $(t\vec{v} - \vec{AP}) \cdot \vec{v} = 0 \implies t|\vec{v}|^2 - \vec{AP} \cdot \vec{v} = 0 \implies t = \frac{\vec{AP} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2}$ 이다.

5. 매개변수 $t$를 구했으므로 점 $H$의 좌표를 확정할 수 있다.

6. 최종적인 거리 $d$는 직각삼각형 $\triangle PAH$에서의 피타고라스 정리 $d^2 = |\vec{PH}|^2 = |\vec{AP}|^2 - |\vec{AH}|^2$ 를 통해 도출된다.

3D 인터랙티브 기하 공간

조작 가이드 : 마우스 좌클릭 드래그로 3차원 회전, 우클릭 드래그로 패닝(이동), 휠 스크롤로 확대/축소가 가능합니다. 구 $S$, 원 $O$, 점 P와 Q의 위치 관계를 원문과 동일한 시각에서 확인하세요.

X축 (Red) Y축 (Green) Z축 (Blue)