수능 출제 분석

무한등비급수와 교대수열의 규칙성 추론

절댓값이 포함된 급수의 조건을 해석하고, 주기성을 띠는 부호 수열의 극한을 계산하는 문항

Q [문제 원문]

등비수열 $\{a_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다.

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (|a_n| + a_n) = \frac{40}{3}, \quad \sum\limits_{n=1}^{\infty} (|a_n| - a_n) = \frac{20}{3}$

부등식

$\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^{2n} \left( (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} \times a_{m+k} \right) > \frac{1}{700}$

을 만족시키는 모든 자연수 $m$의 값의 합을 구하시오. [4점]

①21

②23

③25

④27

⑤29

1 [출제의도]

이 문항은 수열의 각 항의 부호에 따라 값이 달라지는 절댓값 기호의 성질을 이용하여 등비수열의 공비가 음수임을 논리적으로 추론하고, 주기적으로 부호가 변하는 복합 수열의 무한급수 합을 정확히 계산하는 능력을 평가합니다.

무한등비급수의 수렴 조건을 이해하고 합의 공식을 적용할 수 있는지 확인
교대로 부호가 바뀌는 수열을 군수열(Group Sequence) 형태로 묶어 새로운 공비를 찾아내는 연산 능력 평가
도출된 일반항을 지수부등식에 대입하여 조건을 만족하는 자연수 해를 구하는 대수적 해결력 요구

2 [상세 풀이] (Step-by-Step)

Step 1

등비수열의 부호 판별을 통한 공비의 범위 추론

등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라고 합시다. 조건에 주어진 두 식의 좌변을 살펴보면 다음과 같은 성질을 알 수 있습니다. (우측 2D 그래프 시각화 참고)

모든 항이 양수라면 : $|a_n| - a_n = 0$ 이 되어 두 번째 급수의 합이 $0$이 되므로 모순입니다.
모든 항이 음수라면 : $|a_n| + a_n = 0$ 이 되어 첫 번째 급수의 합이 $0$이 되므로 모순입니다.

따라서 수열 $\{a_n\}$은 양수와 음수가 교대로 나타나야 합니다. 이를 통해 공비 $r < 0$ 임을 명확히 알 수 있습니다.

Step 2

첫째항 $a$ 와 공비 $r$ 의 계산

첫째항 $a$ 가 양수라고 가정하면 ($a > 0$), 홀수 번째 항은 양수, 짝수 번째 항은 음수가 됩니다. 이 조건에 맞춰 두 급수를 풀어쓰면 다음과 같습니다.

홀수항 ($a_{2k-1} > 0$) 일 때 : $|a_{2k-1}| + a_{2k-1} = 2a_{2k-1}$ 짝수항 ($a_{2k} < 0$) 일 때 : $|a_{2k}| + a_{2k} = 0$ $$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} (|a_n| + a_n) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} 2a_{2k-1} = \frac{2a}{1-r^2} = \frac{40}{3} \quad \cdots \text{(1)} $$

홀수항 ($a_{2k-1} > 0$) 일 때 : $|a_{2k-1}| - a_{2k-1} = 0$ 짝수항 ($a_{2k} < 0$) 일 때 : $|a_{2k}| - a_{2k} = -2a_{2k}$ $$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} (|a_n| - a_n) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} (-2a_{2k}) = \frac{-2ar}{1-r^2} = \frac{20}{3} \quad \cdots \text{(2)} $$

식 (2)를 식 (1)로 나누어 공비 $r$을 구합니다.

$ \frac{\frac{-2ar}{1-r^2}}{\frac{2a}{1-r^2}} = \frac{20/3}{40/3} \implies -r = \frac{1}{2} \implies r = -\frac{1}{2} $

구한 $r$을 식 (1)에 대입하여 첫째항 $a$를 구합니다.

$ \frac{2a}{1 - (-1/2)^2} = \frac{40}{3} \implies \frac{2a}{3/4} = \frac{40}{3} \implies a = 5 $

결론 : $a_n = 5 \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

Step 3

극한 기호 안의 수열 부호 규칙 파악

극한식에 포함된 수열 $c_k = (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}} a_{m+k}$ 의 부호 규칙을 살펴봅니다. 계수 $S_k = (-1)^{\frac{k(k+1)}{2}}$ 의 값은 $k$에 따라 다음과 같이 반복됩니다.

$k=1 : (-1)^1 = -1$
$k=2 : (-1)^3 = -1$
$k=3 : (-1)^6 = 1$
$k=4 : (-1)^{10} = 1$

주기가 4인 규칙 $(-1, -1, 1, 1)$ 임을 알 수 있습니다. 극한 기호는 $\sum\limits_{k=1}^{2n}$ 이므로 2개의 항씩 묶어서 합의 규칙을 살펴보는 것이 효율적입니다.

Step 4

[방법 1] 2항씩 묶은 군수열의 무한급수 계산

$2n$ 개의 항을 더하는 것이므로, 2개씩 묶은 새로운 수열 $B_j = c_{2j-1} + c_{2j}$ 를 정의합니다. (우측 3D 시각화 참고)

첫 번째 묶음 : $B_1 = c_1 + c_2 = -a_{m+1} - a_{m+2} = -a_m \cdot r - a_m \cdot r^2 = -a_m r(1+r)$ 두 번째 묶음 : $B_2 = c_3 + c_4 = a_{m+3} + a_{m+4} = a_m \cdot r^3 + a_m \cdot r^4 = a_m r^3(1+r)$

수열 $\{B_j\}$ 는 공비가 $R = -r^2 = -\frac{1}{4}$ 인 등비수열을 이룹니다. $r = -\frac{1}{2}$ 이므로 첫째항 $B_1$ 을 구하면,

B_1 = -a_m \left(-\frac{1}{2}\right) \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} a_m

무한등비급수의 합 공식에 의해 전체 합은 다음과 같습니다.

\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^{2n} c_k = \sum\limits_{j=1}^{\infty} B_j = \frac{B_1}{1 - R} = \frac{\frac{1}{4} a_m}{1 - \left(-\frac{1}{4}\right)} = \frac{\frac{1}{4} a_m}{\frac{5}{4}} = \frac{1}{5} a_m

※ 교육과정 용어 정리 : '교대수열'과 '군수열'
이 풀이에서 사용된 '교대수열'(부호가 교대로 바뀌는 수열)과 '군수열'(항들을 묶어 규칙을 찾는 수열)은 현재 고등학교 정규 수학 교육과정에 명시적인 단원명이나 공식 용어로 등장하지는 않습니다.
하지만 공비가 음수인 등비수열이나 $(-1)^n$ 이 포함된 수열 등 그 '원리와 개념'은 수능 및 모의평가의 고난도 문항(수열의 추론, 극한 등)에서 매우 빈번하게 출제됩니다. 공식 명칭을 몰라도 묶음 단위로 규칙성을 파악하는 추론 능력은 여전히 필수적입니다.

[방법 2] 교과과정 밀착형 풀이 : 홀수/짝수 번째 항 분리 계산

군수열 개념 없이, 극한의 기본 성질을 활용하여 주어진 급수를 홀수 번째( $k=1, 3, 5 \cdots$ )와 짝수 번째( $k=2, 4, 6 \cdots$ ) 수열의 합으로 분리하여 계산할 수도 있습니다.

주어진 급수를 $S = \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^{2n} c_k$ 라고 할 때, 항을 나열하면 다음과 같습니다. $S = (-a_{m+1} - a_{m+2}) + (a_{m+3} + a_{m+4}) - (a_{m+5} + a_{m+6}) + \cdots$ 이를 극한 성질에 따라 부호가 동일하게 교차하는 두 개의 무한등비급수로 분리합니다. ① $k$가 홀수인 항의 합 : $S_{\text{odd}} = -a_{m+1} + a_{m+3} - a_{m+5} + \cdots$ (첫째항 : $-a_{m+1}$, 공비 : $-r^2 = -\frac{1}{4}$) ② $k$가 짝수인 항의 합 : $S_{\text{even}} = -a_{m+2} + a_{m+4} - a_{m+6} + \cdots$ (첫째항 : $-a_{m+2}$, 공비 : $-r^2 = -\frac{1}{4}$)

S_{\text{odd}} = \frac{-a_{m+1}}{1 - \left(-\frac{1}{4}\right)} = \frac{-a_m \left(-\frac{1}{2}\right)}{\frac{5}{4}} = \frac{\frac{1}{2} a_m}{\frac{5}{4}} = \frac{2}{5} a_m $$ $$ S_{\text{even}} = \frac{-a_{m+2}}{1 - \left(-\frac{1}{4}\right)} = \frac{-a_m \left(\frac{1}{4}\right)}{\frac{5}{4}} = \frac{-\frac{1}{4} a_m}{\frac{5}{4}} = -\frac{1}{5} a_m $$ $$ \therefore S = S_{\text{odd}} + S_{\text{even}} = \frac{2}{5} a_m - \frac{1}{5} a_m = \frac{1}{5} a_m

두 방법 모두 동일한 결과를 도출하며, 이 방법은 현행 교과과정에 완벽하게 부합합니다.

Step 5

부등식 해답 도출

이제 문제의 부등식 조건에 구한 극한값을 대입합니다.

\frac{1}{5} a_m > \frac{1}{700} \implies a_m > \frac{1}{140} $$ $$ 5 \left(-\frac{1}{2}\right)^{m-1} > \frac{1}{140} \implies \left(-\frac{1}{2}\right)^{m-1} > \frac{1}{700}

우변이 양수이므로 좌변도 양수여야 합니다. 즉, $m-1$ 은 짝수여야 하므로 자연수 $m$ 은 홀수입니다. $m = 2p+1$ (단, $p$ 는 $0$ 이상의 정수) 로 치환하면,

\left(-\frac{1}{2}\right)^{2p} = \left(\frac{1}{4}\right)^p > \frac{1}{700} \implies 4^p < 700

이를 만족하는 정수 $p$ 의 값은 $4^4 = 256$, $4^5 = 1024$ 이므로 $p = 0, 1, 2, 3, 4$ 입니다. 이에 대응하는 $m$ 의 값은 $1, 3, 5, 7, 9$ 가 됩니다.

조건을 만족하는 모든 자연수 $m$ 의 합은 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

3 [이론 매칭]

절댓값 기호가 포함된 수열의 성질

항의 부호(양수/음수)에 따라 $|a_n| + a_n$ 과 $|a_n| - a_n$ 의 전개 결과가 $2a_n$ 또는 $0$ 으로 다르게 분류되는 대수적 정의를 활용하였습니다.

무한등비급수의 수렴 조건과 합

공비 $r$이 $|r| < 1$ 일 때 무한등비급수가 수렴하며 그 합은 $\frac{a}{1-r}$ 로 계산된다는 기본 공식을 교대수열과 군수열에 각각 적용하였습니다.

군수열(Group Sequence)의 극한

주기성을 띠는 부호로 인해 항들이 불규칙해 보일 때, 주기에 맞춰 여러 항을 하나의 새로운 항으로 묶어(이 문제에서는 2개씩) 규칙성을 가진 새로운 등비수열로 변환하여 극한을 처리했습니다.

4 [실수 포인트 및 증명]

🚨 공비 $r$을 무의식적으로 양수로 단정짓는 오류

수험생들이 등비수열 문제를 풀 때 가장 많이 하는 실수 중 하나는, 별도의 조건이 없으면 공비 $r$ 과 첫째항 $a$ 가 모두 양수일 것이라고 무의식적으로 가정하고 식을 전개하는 것입니다.

수학적 모순 확인 :

만약 수열의 모든 항이 양수라면($a_n > 0$), 절댓값 $|a_n| = a_n$ 이 성립합니다.
이를 두 번째 식에 대입하면 $\sum (|a_n| - a_n) = \sum (a_n - a_n) = \sum 0 = 0$ 이 됩니다. 하지만 문제에서는 이 합이 $\frac{20}{3}$ 이라고 주어졌으므로, 명백한 수학적 모순이 발생합니다. 따라서 공비 $r$ 은 음수여서 항의 부호가 교대해야만 함을 알 수 있습니다.

5 [핵심 이론 증명]

무한등비급수의 합 공식 유도

풀이 전반에 사용된 무한등비급수의 합 $S = \frac{a}{1-r}$ ($|r|<1$) 공식을 엄밀히 증명합니다.

제 $n$항까지의 부분합 $S_n$ 을 정의합니다.

$$ S_n = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-1} \quad \text{--- (1)} $$

양변에 공비 $r$ 을 곱합니다.

$$ rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^n \quad \text{--- (2)} $$

식 (1)에서 식 (2)를 빼면 중간 항들이 소거됩니다.

$$ S_n - rS_n = a - ar^n \implies S_n(1-r) = a(1-r^n) $$

$r \neq 1$ 이므로 양변을 나누어 부분합을 구하고, $|r| < 1$ 이라는 조건 아래에서 $n \to \infty$ 극한을 취하면 $\lim\limits_{n \to \infty} r^n = 0$ 이 됩니다.

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \lim\limits_{n \to \infty} S_n = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{a}{1-r} $$

교대 등비수열의 절댓값 성질 (2D)

원래의 교대 수열 $a_n$ (파란색, 빨간색 점)과 절댓값을 더한 수열 $|a_n| + a_n$ (주황색 선)의 차이를 보여주는 그래프입니다.
$a_n$ 은 공비가 음수이므로 양수(Red)와 음수(Blue) 항이 교대로 진동합니다. $|a_n| + a_n$ 수열을 취하면 음수 항은 $0$이 되고, 양수 항은 $2$배로 증폭되어 반쪽짜리 진동 그래프가 만들어지는 것을 직관적으로 확인할 수 있습니다.

원수열 $a_n$

절댓값 합 $|a_n| + a_n$

군수열의 무한급수 수렴 시각화 (3D)

2항씩 묶어 만든 새로운 등비수열 $B_j$ 의 합이 기하학적으로 어떻게 수렴하는지 보여주는 3D 모델입니다. 바깥쪽의 하얀색 프레임(Wireframe)은 이 급수가 궁극적으로 도달하는 극한의 총 부피(비율 공간)를 의미합니다.

슬라이더를 움직여 항의 개수를 증가시켜 보세요.
$B_j$ 수열의 공비는 $R = -\frac{1}{4}$ 이지만, 합의 크기 수렴을 직관적으로 보여주기 위해 절댓값 공비 $|R| = \frac{1}{4}$ 의 비율로 블록이 채워지는 모습을 형상화했습니다. 수렴 속도가 매우 빠르기 때문에 4~5개의 항만으로도 전체 한계 프레임의 대부분이 채워집니다.

군수열 묶음 개수 ($j$) 1