2025학년도 수능 기하 29번 해설 및 인터랙티브 기하 시뮬레이터

수능 출제 분석

쌍곡선의 정의와 삼각형의 닮음을 융합한 기하학적 추론 및 해석

Q 문제 원문

두 초점이 $F(c, 0), F'(-c, 0) \; (c>0)$인 쌍곡선 $x^2 - \frac{y^2}{35} = 1$이 있다. 이 쌍곡선 위에 있는 제1사분면 위의 점 $P$에 대하여 직선 $PF'$ 위에 $\overline{PQ} = \overline{PF}$인 점 $Q$를 잡자.

삼각형 $QF'F$와 삼각형 $FF'P$가 서로 닮음일 때, 삼각형 $PFQ$의 넓이는 $\frac{q}{p}\sqrt{5}$이다. $p+q$의 값을 구하시오.
(단, $\overline{PF'} < \overline{QF'}$이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

[객관식 변형 보기]

① 103

② 105

③ 107

④ 109

⑤ 111

1 출제의도 : 핵심 평가 역량

이 문항은 쌍곡선의 근본적인 정의를 활용하여 기하학적 길이를 미지수로 설정하고, 주어진 도형의 닮음 조건을 대수적 방정식으로 변환하여 문제를 해결하는 능력을 평가합니다.

쌍곡선의 정의 (두 초점까지의 거리의 차가 주축의 길이로 일정함)를 활용한 선분 길이의 미지수화 능력
세 점이 한 직선 위에 있을 조건(공선점)과 선분의 대소 관계를 이용한 기하학적 위치 추론
닮음비(AA 닮음 등)를 비례식으로 구성하여 미지수를 구하는 대수적 계산력
코사인 법칙 또는 삼각형의 넓이 공식을 활용한 최종 결론 도출 능력

2 상세 풀이 : Step-by-Step

Step 1

쌍곡선의 정의와 기본 변수 설정

주어진 쌍곡선의 방정식은 $x^2 - \frac{y^2}{35} = 1$ 입니다. 표준형 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 과 비교하면 $a^2 = 1$, $b^2 = 35$ 임을 알 수 있습니다.

초점의 좌표를 구하기 위해 $c^2 = a^2 + b^2$ 를 계산합니다.

c^2 = 1 + 35 = 36 \implies c = 6 \quad (\because c > 0) $$ $$ \text{초점의 좌표 : } F(6, 0), F'(-6, 0) \implies \overline{F'F} = 12

점 $P$는 제1사분면 위 쌍곡선의 점이므로, 쌍곡선의 정의에 의해 $\overline{PF'} - \overline{PF} = 2a = 2$ 가 성립합니다. 계산을 용이하게 하기 위해 선분의 길이를 미지수로 설정합시다.

\overline{PF} = m, \quad \overline{PF'} = n \quad (n > m > 0) $$ $$ \therefore n - m = 2 \implies m = n - 2

[참고도 1 : 쌍곡선의 기본 요소 및 거리의 차]

Step 2

점 Q의 위치 판별 및 닮음비 적용

직선 $PF'$ 위에 점 $Q$가 존재하며, $\overline{PQ} = \overline{PF} = m$ 입니다. 점 $Q$의 위치는 $P$를 기준으로 $F'$의 반대편에 있을 수도 있고, $F'$ 방향에 있을 수도 있습니다.

조건에서 $\overline{PF'} < \overline{QF'}$ 즉, $n < \overline{QF'}$ 를 만족해야 합니다. 만약 점 $Q$가 선분 $PF'$ 내부에 있다면 $\overline{QF'} = n - m < n$ 이 되어 모순입니다. 따라서 점 $Q$는 $F' - P - Q$ 순서로 일직선 상에 위치해야 합니다.

\text{선분 위치 관계에 의해 } \overline{QF'} = \overline{F'P} + \overline{PQ} = n + m

문제에서 $\triangle QF'F \sim \triangle FF'P$ 라고 하였습니다. 점 $Q, P, F'$ 가 공선점(한 직선 위)이므로, $\angle QF'F$ 와 $\angle FF'P$ 는 완전히 동일한 각을 공유합니다. 따라서 두 삼각형은 이 각을 중심으로 하는 닮음 관계입니다.

닮음비에 의해 대응하는 변의 길이의 비가 일정해야 합니다. $\overline{QF'} : \overline{FF'} = \overline{F'F} : \overline{F'P}$ 가 성립합니다.

\frac{\overline{QF'}}{\overline{F'F}} = \frac{\overline{F'F}}{\overline{F'P}} \implies \frac{n + m}{12} = \frac{12}{n} $$ $$ n(n + m) = 144

Step 1에서 구한 $m = n - 2$ 를 위 식에 대입합니다.

n(n + n - 2) = 144 \implies n(2n - 2) = 144 $$ $$ n(n - 1) = 72 \implies n^2 - n - 72 = 0 $$ $$ (n - 9)(n + 8) = 0 \implies \mathbf{n = 9} \quad (\because n > 0) $$ $$ \therefore \mathbf{m = 7}

[참고도 2 : 닮음 삼각형의 비례 관계 및 Q의 위치]

Step 3

코사인 법칙과 삼각형 PFQ의 넓이 계산

우리가 구해야 할 것은 $\triangle PFQ$ 의 넓이입니다. 이 삼각형의 두 변의 길이는 $\overline{PQ} = 7$, $\overline{PF} = 7$ 로 이미 알고 있습니다. 끼인각 $\angle QPF$ 의 사인(sine) 값만 알면 넓이를 계산할 수 있습니다.

점 $F', P, Q$ 가 일직선 상에 있으므로, $\angle QPF + \angle F'PF = 180^\circ$ 입니다. 따라서 $\sin(\angle QPF) = \sin(\angle F'PF)$ 이고, $\cos(\angle QPF) = -\cos(\angle F'PF)$ 가 성립합니다. 먼저 세 변의 길이를 모두 아는 $\triangle FF'P$ 에서 코사인 법칙을 적용하여 $\cos(\angle F'PF)$ 를 구합니다.

\triangle FF'P \text{ 에서}, \quad \overline{F'P} = 9, \overline{FP} = 7, \overline{F'F} = 12 $$ $$ \cos(\angle F'PF) = \frac{9^2 + 7^2 - 12^2}{2 \times 9 \times 7} = \frac{81 + 49 - 144}{126} = \frac{-14}{126} = -\frac{1}{9}

따라서 $\cos(\angle QPF) = \frac{1}{9}$ 입니다. 이를 통해 $\sin(\angle QPF)$ 를 구합니다.

\sin(\angle QPF) = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{9}\right)^2} = \sqrt{\frac{80}{81}} = \frac{4\sqrt{5}}{9}

최종적으로 $\triangle PFQ$ 의 넓이 $S$ 를 구합니다.

S = \frac{1}{2} \times \overline{PQ} \times \overline{PF} \times \sin(\angle QPF) $$ $$ S = \frac{1}{2} \times 7 \times 7 \times \frac{4\sqrt{5}}{9} = \frac{98\sqrt{5}}{9}

넓이가 $\frac{q}{p}\sqrt{5}$ 이므로 $p = 9, q = 98$ 이며, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수 조건을 만족합니다.
결론적으로 $p + q = 9 + 98 = 107$ 입니다.

[참고도 3 : 삼각형 PFQ의 넓이 도출 구조]

3 이론 매칭 : 적용된 수학적 개념

쌍곡선의 정의 평면 위 두 정점(초점)으로부터의 거리의 차가 일정한 점들의 집합

삼각형의 닮음 조건 (AA 닮음) 두 쌍의 대응각의 크기가 같을 때, 대응변의 길이의 비가 일정함

코사인 법칙 (Law of Cosines) 삼각형의 세 변의 길이와 한 각의 코사인 값 사이의 관계식

삼각형의 넓이 공식 두 변의 길이와 그 끼인각의 사인(sine) 값을 이용한 넓이 계산

4 실수 포인트 및 증명

⚠️ 자주 범하는 오개념 : 점 $Q$ 의 위치를 단순히 직선 위라고만 생각하여 $Q - P - F'$ 순서로 공선점이 될 가능성을 배제하지 못하고 풀이에 막히는 경우입니다.

기하학적 증명 : $Q$ 는 왜 $P$ 바깥쪽 연장선에 있어야 하는가?

만약 점 $Q$ 가 선분 $PF'$ 내부에 존재하여 점의 순서가 $P - Q - F'$ 가 된다고 가정해 봅시다.

1. 이 경우 $\overline{QF'} = \overline{PF'} - \overline{PQ}$ 가 됩니다.
2. 미지수로 치환하면 $\overline{QF'} = n - m$ 입니다.
3. 쌍곡선의 정의에 의해 $n - m = 2$ 이므로 $\overline{QF'} = 2$ 가 됩니다.
4. 문제의 조건에서 $\overline{PF'} < \overline{QF'}$ 즉, $n < 2$ 이어야 합니다.
5. 하지만 $m > 0$ 이고 $n = m + 2$ 이므로, 항상 $n > 2$ 입니다. 이는 $n < 2$ 라는 조건과 정면으로 모순(Contradiction)됩니다.

$\therefore$ 점 $Q$는 반드시 점 $P$를 기준으로 점 $F'$ 의 반대쪽 연장선 상에 위치해야 합니다. ($F' - P - Q$)

5 핵심 이론 증명 : 코사인 법칙

이 문항의 마지막 넓이 도출 단계에서 핵심적으로 사용된 코사인 법칙(Law of Cosines)을 좌표평면을 이용하여 논리적으로 유도해 봅시다.

일반적인 $\triangle ABC$ 에서 $\angle C$ 를 원점에 두고 유도합니다.
점 $C(0,0)$ 으로 설정하고, 선분 $CB$ 를 $x$축 양의 방향에 둡니다.

\text{각 꼭짓점의 좌표 : } C(0,0), \quad B(a, 0) $$ $$ \text{점 } A\text{의 좌표는 삼각비를 이용하여 } A(b \cos C, b \sin C) \text{ 가 됩니다.}

점 $A$ 와 점 $B$ 사이의 거리 $c$ 의 제곱($c^2$)을 두 점 사이의 거리 공식으로 구합니다.

\begin{align*} c^2 &= (b \cos C - a)^2 + (b \sin C - 0)^2 \\ &= b^2 \cos^2 C - 2ab \cos C + a^2 + b^2 \sin^2 C \\ &= a^2 + b^2(\cos^2 C + \sin^2 C) - 2ab \cos C \\ \end{align*} $$ \because \sin^2 C + \cos^2 C = 1 \text{ 이므로,} $$ $$ \mathbf{c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C} $$

이 공식을 통해 세 변의 길이를 알면 삼각형 내부의 모든 각의 코사인 값을 역산출 할 수 있으며, 본 문항의 $\triangle FF'P$ 에서 유용하게 적용되었습니다.

쌍곡선 2D 기하 시뮬레이터 (Canvas 2D)

시뮬레이터 조작 가이드

하단의 점 P의 x좌표 슬라이더를 조작해 보세요. 점 P가 쌍곡선 위를 이동함에 따라 연장선 위의 점 Q가 자동으로 계산됩니다.
두 삼각형의 닮음 조건비가 일치하는 순간($x_P \approx 1.33$), 방정식의 유일한 해가 도출됨을 확인할 수 있습니다.
(참고: 시뮬레이터는 부동소수점 연산을 사용하므로, 비율이 소수점 이하에서 미세한 차이가 발생하여 근사적으로 같아지는 경우로 판별될 수 있습니다.)
(화면을 마우스로 드래그하여 이동하거나 휠로 확대/축소할 수 있습니다.)

제 1사분면 위 점 P의 x좌표 ($x_P$) x : 1.33

■ 닮음비 A : $\overline{QF'} / \overline{FF'}$

0.000

■ 닮음비 B : $\overline{F'F} / \overline{F'P}$

0.000

비율이 일치하지 않습니다. (닮음 성립 불가)

쌍곡선

$\triangle QF'F$

$\triangle FF'P$