확률밀도함수의 대칭성과 평행이동 조건을 해석하여 미지수를 추론하는 문항
정규분포 $N(m_1, \sigma_1^2)$을 따르는 확률변수 $X$와 정규분포 $N(m_2, \sigma_2^2)$을 따르는 확률변수 $Y$가 다음 조건을 만족시킨다.
모든 실수 $x$에 대하여
$\mathrm{P}(X \le x) = \mathrm{P}(X \ge 40 - x)$ 이고
$\mathrm{P}(Y \le x) = \mathrm{P}(X \le x + 10)$ 이다.
$\mathrm{P}(15 \le X \le 20) + \mathrm{P}(15 \le Y \le 20)$ 의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것이 $0.4772$일 때, $m_1 + \sigma_2$ 의 값을 구하시오. (단, $\sigma_1$과 $\sigma_2$는 양수이다.) [4점]
| $z$ | $\mathrm{P}(0 \le Z \le z)$ |
|---|---|
| 0.5 | 0.1915 |
| 1.0 | 0.3413 |
| 1.5 | 0.4332 |
| 2.0 | 0.4772 |
이 문항은 확률변수의 누적확률을 나타내는 식이 의미하는 바를 기하학적 대칭성으로 연결하여 평균을 추론하고, 서로 다른 두 확률변수의 관계식을 표준화 과정을 통해 분석함으로써 각 분포의 평균과 표준편차를 구하는 능력을 종합적으로 평가합니다.
조건 (가)에서 모든 실수 $x$에 대하여 $\mathrm{P}(X \le x) = \mathrm{P}(X \ge 40 - x)$ 가 성립합니다.
정규분포 곡선은 평균 $m_1$ 에 대하여 좌우 대칭이므로, 어떤 확률변수의 값이 $m_1$ 에서 같은 거리만큼 떨어져 있을 때 꼬리 확률이 동일해집니다.
따라서 변수 $x$ 와 $40 - x$ 의 중점이 바로 $X$ 의 평균 $m_1$ 이 되어야 합니다.
즉, 확률변수 $X$ 는 $N(20, \sigma_1^2)$ 을 따릅니다.
조건 (나)에서 $\mathrm{P}(Y \le x) = \mathrm{P}(X \le x + 10)$ 이 모든 실수 $x$ 에 대해 성립합니다.
두 확률변수 $X, Y$ 를 각각의 평균과 표준편차를 이용하여 표준화($Z$) 해봅시다.
이 등식이 임의의 $x$ 에 대해 성립하려면 표준화된 상한값이 서로 항등식이어야 합니다.
계수를 비교하면, $ \sigma_1 = \sigma_2 $ 이고 $ m_2 = 10 $ 임을 알 수 있습니다.
이후 편의상 공통 표준편차를 $\sigma$ 라 하면, $X \sim N(20, \sigma^2)$, $Y \sim N(10, \sigma^2)$ 입니다.
문제에서 요구한 수식 $\mathrm{P}(15 \le X \le 20) + \mathrm{P}(15 \le Y \le 20) = 0.4772$ 의 좌변을 계산합니다.
Step 3의 두 확률을 더하면 꼬리가 이어지는 형태로 결합됩니다.
주어진 표준정규분포표에서 $\mathrm{P}(0 \le Z \le 2.0) = 0.4772$ 이므로,
$\frac{10}{\sigma} = 2.0 \implies \sigma = 5$ 입니다. 따라서 $\sigma_1 = \sigma_2 = 5$ 입니다.
최종적으로 구하는 값은 $m_1 + \sigma_2 = 20 + 5 = 25$ 입니다.
확률밀도함수 곡선이 평균 $x=m$ 에 대해 선대칭임을 의미하며, $\mathrm{P}(X \le m-a) = \mathrm{P}(X \ge m+a)$ 와 같은 식을 만족시킵니다.
$Z = \frac{X - m}{\sigma}$ 로 치환하여 모든 정규분포를 평균 0, 표준편차 1인 표준정규분포로 통일하여 확률을 비교하고 계산합니다.
$\mathrm{P}(Y \le x) = \mathrm{P}(X \le x+a)$ 의 형태는 두 확률변수 간에 $Y = X - a$ 의 관계(단, 표준편차가 같을 때)가 성립함을 시사합니다.
수험생들이 조건 (가)를 보고 식에 있는 숫자 40을 그대로 평균 $m_1 = 40$ 으로 단정짓는 치명적인 실수를 자주 범합니다. 식의 외형만 보고 암기식으로 풀이할 때 발생하는 오개념입니다.
정규분포의 확률밀도함수 $f(x)$는 평균 $m$에 대해 대칭이므로, $\int_{-\infty}^{x} f(t) dt = \int_{2m-x}^{\infty} f(t) dt$ 가 성립해야 합니다.
주어진 식 $\mathrm{P}(X \le x) = \mathrm{P}(X \ge 40 - x)$ 와 비교하면, 상한과 하한의 경계인 $x$ 와 $40 - x$ 가 평균 $m_1$ 에 대해 대칭이어야 합니다.
즉, $x$ 와 $40-x$ 의 거리가 $m_1$ 으로부터 같아야 하므로 절대값 식이 성립합니다.
$m_1 - x = (40 - x) - m_1 \implies 2m_1 = 40 \implies m_1 = 20$
따라서 40은 대칭점이 아니라 대칭점의 2배에 해당하는 값입니다.
조건 (나)의 표준화된 등식이 임의의 $x$ 에 대해 성립한다는 것의 논리적 근거입니다.
$\mathrm{P}\left(Z \le \frac{x - m_2}{\sigma_2}\right) = \mathrm{P}\left(Z \le \frac{x - 10}{\sigma_1}\right)$
표준정규분포에서 $z$값이 커질수록 확률 $\mathrm{P}(Z \le z)$ 의 값도 항상 증가합니다.
(※ 참고: 대학 과정의 '누적분포함수의 강한 단조증가성'에 해당하는 내용이나, 고교 교육과정에서는 '확률밀도함수 곡선 아래의 넓이'가 오른쪽으로 갈수록 누적되어 커지는 성질을 통해 직관적으로 이해할 수 있습니다.)
따라서 두 확률값이 같기 위해서는 반드시 그 상한선(기준이 되는 $z$값)이 서로 일치해야만 합니다.
$\frac{1}{\sigma_2}x - \frac{m_2}{\sigma_2} = \frac{1}{\sigma_1}x - \frac{10}{\sigma_1}$ (모든 $x$ 에 대해 성립)
이 식이 $x$ 에 대한 항등식이므로 일차항의 계수와 상수항이 각각 같아야 합니다.
일차항 계수 비교 : $\frac{1}{\sigma_2} = \frac{1}{\sigma_1} \implies \sigma_1 = \sigma_2$ (단, $\sigma_1, \sigma_2 > 0$)
상수항 비교 : $\frac{m_2}{\sigma_2} = \frac{10}{\sigma_1} \implies \frac{m_2}{\sigma_1} = \frac{10}{\sigma_1} \implies m_2 = 10$
이 증명을 통해 $Y$ 의 분포는 $X$ 의 분포를 모양(표준편차)의 변화 없이 $x$ 축 방향으로 평행이동한 것임을 엄밀하게 확정할 수 있습니다.
이 그래프는 문제에서 도출한 두 확률변수 $\color{#3b82f6}X \sim N(20, 5^2)$ 와 $\color{#f59e0b}Y \sim N(10, 5^2)$ 의 확률밀도함수를 나타냅니다.
문제에서 요구한 $\mathrm{P}(15 \le X \le 20) + \mathrm{P}(15 \le Y \le 20)$ 의 값은 아래 그래프에 색칠된 두 영역의 넓이의 합과 같습니다.
- 파란색 영역 ($X$) : 평균($20$)에서 왼쪽으로 $1\sigma$($5$) 만큼 떨어진 구간의 확률입니다.
- 주황색 영역 ($Y$) : 평균($10$)에서 오른쪽으로 $1\sigma$($5$) 만큼 떨어진 위치부터, $2\sigma$($10$) 만큼 떨어진 위치까지의 확률입니다.
두 분포의 모양(표준편차)이 완전히 같으므로, 꼬리 쪽에 해당하는 파란색 영역을 주황색 영역 옆에 퍼즐처럼 이어붙일 수 있습니다. 그 결과, 두 영역의 합은 결국 평균에서 오른쪽으로 $2\sigma$ 만큼 떨어진 전체 구간인 $\mathrm{P}(0 \le Z \le 2)$ 의 면적(0.4772)과 완벽히 일치하게 됨을 직관적으로 확인할 수 있습니다.