도함수의 성질과 합성함수의 극대 조건을 기하학적, 대수적으로 완벽히 해체하는 문항
30. 두 상수 $a(1 \le a \le 2)$, $b$에 대하여 함수
$f(x) = \sin(ax + b + \sin x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $f(0) = 0, f(2\pi) = 2\pi a + b$
(나) $f'(0) = f'(t)$인 양수 $t$의 최솟값은 $4\pi$이다.
함수 $f(x)$가 $x=\alpha$에서 극대인 $\alpha$의 값 중 열린구간 $(0, 4\pi)$에 속하는 모든 값의 집합을 $A$라 하자. 집합 $A$의 원소의 개수를 $n$, 집합 $A$의 원소 중 가장 작은 값을 $\alpha_1$이라 하면,
$n\alpha_1 - ab = \frac{q}{p}\pi$이다. $p+q$의 값을 구하시오.
(단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
이 문항은 합성함수의 미분법을 활용하여 도함수를 유도하고, 삼각함수의 주기성과 방정식의 실근을 논리적으로 추론하는 능력을 평가합니다. 특히 속함수의 단조 증가성과 겉함수인 사인함수의 파동적 성질이 결합되었을 때 나타나는 극대점의 기하학적 형성 원리를 정확히 꿰뚫어 보아야 하는 고난도 미적분학 역량을 요구합니다.
조건 (가)의 $f(0) = 0$ 에 함수를 대입해 봅니다.
다음으로 $f(2\pi) = 2\pi a + b$ 를 살펴봅니다.
여기서 대수적 식과 삼각함수가 혼합된 방정식인 $\sin X = X$ 형태를 마주하게 됩니다. $y = X$ 와 $y = \sin X$ 그래프의 교점은 오직 원점 $(0, 0)$ 하나뿐이므로, $X = 2\pi a + b = 0$ 이 성립해야 합니다.
합성함수의 미분법으로 도함수를 구하면 다음과 같습니다.
$b = -2\pi a$ 이므로 $f'(0) = \cos(-2\pi a) \cdot (a+1) = \cos(2\pi a) \cdot (a+1)$ 입니다.
후보 $a$ 값들을 차례로 검증하여 $f'(0) = f'(t)$ 인 최소 양수 $t$ 가 $4\pi$ 인 경우를 찾습니다.
후보 1 : $a=1, b=-2\pi$
$f'(0) = \cos(2\pi) \cdot 2 = 2$
$f'(t) = \cos(t + \sin t) \cdot (1+\cos t) = 2$ 이려면 $\cos t = 1 \implies t=2m\pi$
최소 양수 $t=2\pi \neq 4\pi$ 이므로 탈락
후보 2 : $a=2, b=-4\pi$
$f'(0) = \cos(4\pi) \cdot 3 = 3$
$f'(t) = \cos(2t - 4\pi + \sin t) \cdot (2+\cos t) = \cos(2t+\sin t) \cdot (2+\cos t) = 3$
최댓값 $3$을 가지려면 $\cos t = 1 \implies t=2m\pi$ 이고 $\cos(2t+\sin t) = 1$ 이어야 함.
$t=2m\pi$를 대입하면 항상 $\cos(4m\pi) = 1$이 성립하므로, 최소 양수 $t=2\pi \neq 4\pi$ 이 되어 탈락
후보 3 : $a=1.5, b=-3\pi$
$f'(0) = \cos(3\pi) \cdot 2.5 = -2.5$
$f'(t) = \cos(1.5t - 3\pi + \sin t) \cdot (1.5+\cos t) = -\cos(1.5t+\sin t) \cdot (1.5+\cos t) = -2.5$
$\implies \cos(1.5t+\sin t) \cdot (1.5+\cos t) = 2.5$
코사인 함수의 최댓값은 $1$이므로, 두 인수의 곱이 $2.5$가 되기 위해서는 $(1.5 + \cos t)$ 가 가질 수 있는 최댓값인 $2.5$ 와, 앞의 코사인 항 $\cos(1.5t+\sin t)$ 가 가질 수 있는 최댓값인 $1$ 이 동시에 나타나야 합니다.
따라서 $\cos t = 1 \implies t=2m\pi$ 이고 동시에 $\cos(1.5t) = 1$ 이어야 합니다.
$t=2m\pi$를 대입하면 $\cos(3m\pi) = 1$ 이 성립해야 하므로 $m$은 짝수여야 합니다. 이를 만족하는 최소의 양의 정수 $m=2$ 이면 $t=4\pi$가 되어 조건 완벽 일치!
확정된 함수는 $f(x) = \sin(1.5x - 3\pi + \sin x) = -\sin(1.5x + \sin x)$ 입니다.
해석의 편의를 위해 속함수를 $g(x) = 1.5x + \sin x$ 로 정의합시다.
$g'(x) = 1.5 + \cos x > 0$ 이므로 $g(x)$는 실수 전체의 집합에서 항상 증가하는 함수입니다.
$\cos \theta$ 의 부호가 $(-)$ 에서 $(+)$ 로 전환되는 각도는 $\theta = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$ 형태입니다.
따라서 조건은 $g(x) = \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, \frac{11\pi}{2} \cdots$ 가 됩니다.
구간 $x \in (0, 4\pi)$ 에서 증가함수 $g(x)$ 의 치역은 $g(0) = 0$ 부터 $g(4\pi) = 6\pi$ 까지입니다. 이 치역 $(0, 6\pi)$ 내에 존재하는 극대 유발 값들은 다음과 같습니다.
정확히 3개의 값을 가지므로, 원소의 개수 $n = 3$ 입니다.
가장 작은 극대점 $\alpha_1$ 은 $g(\alpha_1) = 1.5\alpha_1 + \sin \alpha_1 = 1.5\pi$ 를 만족하는 값입니다. 이 방정식은 $g'(x) > 0$ 이므로 실수 전체에서 항상 증가하여 오직 단 하나의 실근을 가집니다. 방정식의 구조를 살펴보면, 우변의 $1.5\pi$ 형태에 맞추어 $x$에 $\pi$를 대입했을 때 $1.5\pi + \sin\pi = 1.5\pi + 0 = 1.5\pi$ 가 되어 등식이 완벽하게 성립함을 알 수 있습니다. 따라서 유일한 해는 $\alpha_1 = \pi$ 입니다.
겉함수와 속함수의 미분곱인 $\{f(g(x))\}' = f'(g(x))g'(x)$ 를 활용하여 삼각함수가 포함된 복잡한 합성함수의 도함수를 대수적으로 전개하는 능력이 필수적입니다.
삼각함수가 포함된 방정식 $\cos(1.5t+\sin t) = 1$ 과 같은 꼴에서, 내부 각도가 $2m\pi$ 가 되어야 함을 추론하고 정수 조건을 만족하는 최소 양수를 탐색했습니다.
도함수 $f'(x)$의 부호가 양에서 음으로 전환되는 기하학적 성질을 이용해 극대점을 분류합니다. 속함수의 증감(항상 양수)을 분리하여 생각함으로써 복잡도를 크게 낮출 수 있습니다.
학생들은 $\sin X = X$를 볼 때, "어차피 교점은 원점 뿐이지 않나?" 라며 논리적 증명 없이 넘기는 경우가 많습니다. 이는 직관에 의존한 위험한 풀이 습관입니다.
새로운 함수 $F(X) = X - \sin X$ 로 정의합니다.
$F'(X) = 1 - \cos X$ 이며, 모든 실수 $X$에 대하여 $\cos X \le 1$ 이므로 항상 $F'(X) \ge 0$ 입니다.
$F'(X) = 0$ 이 되는 점은 $X = 2m\pi$ 로 이산적으로 떨어져 있으므로, $F(X)$는 실수 전체의 집합에서 항상 증가하는 함수가 됩니다.
항상 증가하는 함수는 X축과 최대 한 번만 만나며, $F(0) = 0$ 이므로 해는 오직 $X=0$ 단 하나뿐임이 완벽히 증명됩니다.
본 문항의 핵심 연산인 체인 룰을 미분계수의 정의로 유도해 봅니다.
함수 $y = f(g(x))$ 가 있을 때, $u = g(x)$ 로 치환하면 $y = f(u)$ 입니다. $x$의 증분 $\Delta x$ 에 대응하는 $u$ 와 $y$ 의 증분을 각각 $\Delta u, \Delta y$ 라 합니다.
$$ \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \left( \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} \right) $$
$g(x)$가 연속이고 미분가능하므로 $\Delta x \to 0$ 일 때 $\Delta u \to 0$ 이 성립합니다.
$$ \therefore \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta u \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} = f'(u) \cdot g'(x) = f'(g(x))g'(x) $$
속함수 $g(x)$ (파란선)가 상승함에 따라, 겉함수 $f(x)$ (빨간선)가 어떻게 진동하는지 보여줍니다. 마우스를 이용해 그래프를 이동(드래그)하거나 확대/축소(스크롤) 할 수 있습니다.