벡터의 방정식 해석과 자취의 평행이동을 활용한 고난도 추론
Q 문제 원문
좌표평면에 한 변의 길이가 4인 정사각형 ABCD가 있다.
를 만족시키는 점 X가 나타내는 도형을 $S$라 하자.
도형 $S$ 위의 점 P에 대하여
를 만족시키는 점을 Q라 할 때, $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AQ}$ 의 최댓값과 최솟값을 각각 $M, m$이라 하자. $M \times m$ 의 값은? [4점]
1 출제의도 : 핵심 평가 역량
이 문항은 주어진 벡터 방정식을 기하학적으로 해석하여 동점의 자취를 파악하고, 위치벡터의 성질을 이용하여 자취의 평행이동과 축소를 논리적으로 추론하는 능력을 평가합니다.
- 벡터의 덧셈과 뺄셈을 활용하여 거리 조건으로 변환하는 역량
- 위치벡터 식을 변형하여 새로운 동점의 자취(원)를 대수적으로 도출하는 능력
- 벡터의 내적의 기하학적 의미를 활용하여 최대·최솟값을 계산하는 문제 해결력
2 상세 풀이 : Step-by-Step
도형 $S$의 자취 방정식 파악
조건식 $|\overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XC}| = |\overrightarrow{XB} - \overrightarrow{XC}|$ 를 기하학적 의미에 맞게 해석합니다.
먼저 우변은 벡터의 뺄셈 정의에 의해 $\overrightarrow{XB} - \overrightarrow{XC} = \overrightarrow{CB}$ 가 됩니다. 좌변은 선분 $BC$의 중점을 $M$이라 할 때, 벡터의 덧셈 성질(중점 연결)에 의해 $\overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XC} = 2\overrightarrow{XM}$ 이 됩니다.
즉, 점 $X$가 나타내는 도형 $S$는 점 $M$을 중심으로 하고 반지름이 2인 원입니다. 정사각형 $ABCD$의 좌표를 $B(0,0), C(4,0), D(4,4), A(0,4)$ 로 설정하면 중점 $M$의 좌표는 $(2,0)$이 됩니다.
위치벡터를 이용한 점 Q의 자취 추론
조건식 $4\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PB} + 2\overrightarrow{PD}$ 의 시점을 모두 원점 $O$로 통일하여 점 $Q$의 위치벡터를 구합니다.
여기서 $\frac{\overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OD}}{4}$ 부분은 고정된 상수 벡터입니다. 좌표를 대입하여 계산합니다.
도형 $S$ 위의 점 $P$는 중심이 $M(2,0)$ 이고 반지름이 2인 원 위를 움직입니다.
여기서 중심 $M$에서 점 $P$로 향하는 벡터를 $\overrightarrow{u}$ (즉, $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{MP}$)라고 새롭게 정의합시다.
원 위를 도는 점의 특성상 이 벡터 $\overrightarrow{u}$는 방향은 자유롭게 변하지만 그 크기는 항상 원의 반지름인 2로 일정합니다 ($|\overrightarrow{u}| = 2$).
이 정의를 활용하면 점 $P$의 위치벡터는 $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{u}$ 로 깔끔하게 분해할 수 있습니다. 이를 점 $Q$의 식에 대입합니다.
이때 $\frac{1}{4}\overrightarrow{u}$ 의 크기는 $|\frac{1}{4}\overrightarrow{u}| = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2}$ 로 일정합니다. 따라서 점 $Q$가 그리는 자취는 중심이 $C_Q \left(\frac{5}{2}, 2\right)$ 이고 반지름의 길이가 $\frac{1}{2}$ 인 새로운 원이 됨을 알 수 있습니다.
내적의 최댓값과 최솟값 계산
마지막으로 구해야 할 값은 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AQ}$ 의 최댓값과 최솟값입니다.
동점 $Q$를 다루기 쉽게 중심 $C_Q$ 를 경유하도록 분해합니다.
이때 중심 $C_Q$에서 원 위의 점 $Q$로 향하는 벡터를 $\overrightarrow{v}$ (즉, $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{C_QQ}$)라고 새롭게 정의합시다.
앞서 구한 원의 반지름이 $\frac{1}{2}$이므로, 이 벡터 $\overrightarrow{v}$의 크기는 방향과 무관하게 항상 $|\overrightarrow{v}| = \frac{1}{2}$ 로 일정합니다.
먼저 상수항 역할을 하는 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC_Q}$ 를 계산합니다. 좌표를 이용하면 $A(0,4), C(4,0)$ 이므로 $\overrightarrow{AC} = (4, -4)$ 입니다. 또한 중심 벡터 $\overrightarrow{AC_Q} = C_Q - A = \left(\frac{5}{2}, 2\right) - (0,4) = \left(\frac{5}{2}, -2\right)$ 입니다.
이제 변동항인 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{v}$ 의 범위를 구합니다. 두 벡터의 내적은 서로 방향이 같을 때 최대, 반대일 때 최소가 됩니다. $|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ 입니다.
최솟값 $m = 18 - |\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{v}| = 18 - 4\sqrt{2} \times \frac{1}{2} = 18 - 2\sqrt{2}$
따라서 구하고자 하는 최종 답은 $M \times m = (18 + 2\sqrt{2})(18 - 2\sqrt{2}) = 18^2 - (2\sqrt{2})^2 = 324 - 8 = \mathbf{316}$ 입니다.
별해 : 내적의 순수 기하학적 의미 (정사영) 활용
벡터 내적 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AQ}$ 는 고정된 벡터 $\overrightarrow{AC}$ 의 크기와, $\overrightarrow{AQ}$ 를 직선 $AC$ 위로 정사영(Projection) 내린 선분의 길이의 곱으로 해석할 수 있습니다.
고정된 직선 $AC$에 대하여 정사영의 길이가 최대 또는 최소가 되려면, 벡터 $\overrightarrow{AC}$에 수직인 직선이 점 $Q$의 자취(원)와 접할 때 발생합니다. 기하학적으로 이 접점들은 원의 중심 $C_Q$ 를 지나고 직선 $AC$와 평행한 선분이 원과 만나는 두 교점(직선 $AC$에서 가장 멀리 떨어진 접점과 가장 가까운 접점)과 정확히 일치합니다.
- 최소 위치: 중심 $C_Q$에서 $\overrightarrow{AC}$의 반대 방향으로 반지름만큼 이동한 점.
- 최대 위치: 중심 $C_Q$에서 $\overrightarrow{AC}$ 방향으로 반지름만큼 이동한 점. (이때 점 $Q$에서 그은 수선이 $\overrightarrow{AC}$의 가장 먼 정사영 지점을 지남)
즉, 벡터를 중심벡터로 대수적 분해를 하지 않더라도 "직선 $AC$에 수직인 접선"을 긋는 시각적 접근만으로 점 $Q$의 기하학적 최대/최소 위치를 직관적으로 특정할 수 있으며, 그 결과값은 Step 3의 도출 방식과 완벽하게 일치합니다.
3 이론 매칭
4 실수 포인트 및 논리적 오류 교정
흔히 범하는 오개념 : 복잡한 벡터 방정식을 성분으로만 해결하려는 접근
학생들은 $4\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PB} + 2\overrightarrow{PD}$ 식을 보고, 점 $P$와 $Q$의 좌표 $(x,y)$를 각각 미지수로 두고 직접 대입하여 복잡한 다항식을 만들려다 계산 실수에 빠지기 쉽습니다. 이런 문제는 위치벡터를 기준점(원점 등)으로 통일하여 분해하는 것이 핵심입니다.
주어진 식을 기하학적 의미를 가진 형태로 살짝 변형해 볼 수도 있습니다.
$4\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PB} + 2\overrightarrow{PD}$
양변을 3으로 나누면,
$\frac{4}{3}\overrightarrow{PQ} = \frac{\overrightarrow{PB} + 2\overrightarrow{PD}}{3}$
우변은 선분 $BD$를 $2 : 1$ 로 내분하는 점(이를 $E$라 합시다)의 위치벡터 $\overrightarrow{PE}$ 가 됩니다.
즉, $\frac{4}{3}\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PE} \implies \overrightarrow{PQ} = \frac{3}{4}\overrightarrow{PE}$ 이며, 이는 점 $Q$가 선분 $PE$를 $3 : 1$ 로 내분하는 점임을 뜻합니다. 이러한 기하학적 구조 파악이 계산을 훨씬 명료하게 해줍니다.
5 핵심 이론 증명 : 원 위를 도는 동점 벡터의 내적 최대/최소
본 문제의 Step 3에서 사용된 "원 위의 점 $Q$에 대하여 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AQ}$ 의 최대/최소는 벡터가 평행할 때 발생한다"는 성질의 유도 과정입니다.
- 고정된 벡터 $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AC}$ 와 중심이 $C_Q$, 반지름이 $r$인 원 위를 움직이는 점 $Q$에 대한 벡터 $\overrightarrow{q} = \overrightarrow{AQ}$ 가 있습니다.
- $\overrightarrow{q}$ 를 원의 중심을 향하는 고정 벡터 $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AC_Q}$ 와 중심에서 $Q$로 향하는 변동 벡터 $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{C_QQ}$ 로 분해합니다. ($|\overrightarrow{v}| = r$)
- 내적을 전개하면 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{q} = \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{c} + \overrightarrow{v}) = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v}$ 가 됩니다.
- 여기서 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$ 는 고정된 상수값입니다. 최댓값과 최솟값은 오직 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v}$ 에 의존합니다.
- 내적의 정의에 따라 $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{v}|\cos\theta$ 이며, $\cos\theta$ 의 범위는 $-1 \le \cos\theta \le 1$ 입니다.
- 따라서 $\theta = 0^\circ$ 일 때 (두 벡터가 같은 방향으로 평행할 때) 최댓값 $|\overrightarrow{a}|r$ 을 가지고, $\theta = 180^\circ$ 일 때 (반대 방향일 때) 최솟값 $-|\overrightarrow{a}|r$ 을 가짐이 증명됩니다.
자취 변환 및 내적 실시간 시뮬레이터
■ 시뮬레이터 조작 가이드
아래 슬라이더를 통해 점 P를 자취(원 S) 위에서 움직여 보세요. 점 P에 연동되어 붉은색 원 S가 축소 및 평행이동된 푸른색 원(점 Q의 자취)을 따라 점 Q가 이동합니다.
$\overrightarrow{AC}$와 $\overrightarrow{AQ}$의 내적값이 기하학적 형태 변화에 따라 어떻게 변하는지 실시간으로 확인하세요. (마우스 드래그로 화면 이동, 마우스 휠로 확대/축소 가능)
Max: 20.83