동전 상태 변환과 독립시행의 확률 추론
주사위 눈 조건에 따른 동전 뒤집기 연산과 홀짝성(Parity Invariant) 분석
Q [문제 원문]
탁자 위에 5개의 동전이 일렬로 놓여 있다. 이 5개의 동전 중 1번째 자리와 2번째 자리의 동전은 앞면이 보이도록 놓여 있고, 나머지 자리의 3개의 동전은 뒷면이 보이도록 놓여 있다. 이 5개의 동전과 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.
주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $k$일 때,
$k \le 5$이면 $k$번째 자리의 동전을 한 번 뒤집어 제자리에 놓고,
$k = 6$이면 모든 동전을 한 번씩 뒤집어 제자리에 놓는다.
위의 시행을 3번 반복한 후 이 5개의 동전이 모두 앞면이 보이도록 놓여 있을 확률은 $\frac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
1 [출제의도]
본 문항은 조건에 따른 독립시행 상황에서 각 동전의 상태 변화 규칙을 수학적으로 분석하고, 뒤집기 연산 횟수의 홀짝성(Parity Invariance)을 파악하여 요구되는 최종 상태에 도달하는 경우의 수를 분류 및 추론하는 능력을 평가합니다. 특수 연산인 주사위 눈 $k = 6$ 의 대역적 뒤집기 효과와 $k \le 5$ 의 국소적 뒤집기 효과의 조합을 논리적으로 계산하는 것이 핵심입니다.
2 [상세 풀이]
초기 상태 분석 및 목표 상태의 뒤집힘 홀짝성 조건 설정
5개의 동전 위치를 각각 $1, 2, 3, 4, 5$ 라 합시다.
- 초기 동전 상태 : $(C_1, C_2, C_3, C_4, C_5) = (\text{앞}, \text{앞}, \text{뒤}, \text{뒤}, \text{뒤}) = (F, F, B, B, B)$
- 목표 동전 상태 : $(C_1, C_2, C_3, C_4, C_5) = (\text{앞}, \text{앞}, \text{앞}, \text{앞}, \text{앞}) = (F, F, F, F, F)$
동전이 한 번 뒤집힐 때마다 상태가 반전되므로, 최종적으로 원하는 상태에 도달하기 위한 동전 $i$의 총 뒤집힘 횟수 $f_i$ 의 홀짝성(Parity) 조건은 다음과 같습니다.
- 동전 3, 4, 5 ($B \to F$) : $f_3, f_4, f_5$ 는 홀수 (1회 또는 3회)
주사위 눈 발생 횟수의 변수화 및 홀짝성 분석
3번의 시행 동안 주사위 눈 $k$ ($1 \le k \le 6$)가 나온 횟수를 각각 $x_k$ 라 합시다.
전체 시행 횟수가 3이므로 다음 관계식이 성립합니다.
각 동전 $i$ 가 뒤집히는 총 횟수 $f_i$ 는 자기 위치의 눈 $i$ 가 나온 횟수 $x_i$ 와 전체를 뒤집는 눈 $6$ 이 나온 횟수 $x_6$ 의 합입니다.
이를 Step 1의 조건에 대입하여, 두 수의 합이 짝수 또는 홀수가 될 조건을 정리하면 다음과 같습니다.
• $x_1 + x_6$ 은 짝수 $\implies x_1$ 은 $x_6$ 과 홀짝성이 같다.
• $x_2 + x_6$ 은 짝수 $\implies x_2$ 은 $x_6$ 과 홀짝성이 같다.
• $x_3 + x_6$ 은 홀수 $\implies x_3$ 은 $x_6$ 과 홀짝성이 다르다.
• $x_4 + x_6$ 은 홀수 $\implies x_4$ 은 $x_6$ 과 홀짝성이 다르다.
• $x_5 + x_6$ 은 홀수 $\implies x_5$ 은 $x_6$ 과 홀짝성이 다르다.
$x_6$ 의 값에 따른 경우의 수 분류 및 완전 탐색
💡 홈페이지 주인의 코멘트 : 직접 세기의 중요성
이 문제의 풀이는 사실상 이 Step 3의 완전 탐색에서 결판이 납니다. 복잡한 수식이나 화려한 이론에 의존하기보다, 기준($x_6$)을 세워 발생 가능한 경우를 '빠짐없이, 중복되지 않게' 직접 헤아리는 것이 정말 중요합니다. 때로는 복잡한 수식보다 차분히 직접 세어 나가는 것이 훨씬 훌륭하고 강력한 수학적 문제 해결 방법임을 잊지 마세요.
$x_6$ 은 전체 시행 횟수 3 이하의 비음의 정수이므로 $x_6 = 0, 1, 2, 3$ 의 4가지 경우로 분류하여 조사합니다.
경우 1 : $x_6 = 0$ 인 경우
$x_6 = 0$ 이면 $x_1, x_2$ 는 짝수(0 또는 2), $x_3, x_4, x_5$ 는 홀수(1 또는 3)이어야 합니다.
남은 시행 횟수 조건 : $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 3$
$x_3, x_4, x_5$ 가 모두 1 이상이므로 $x_3 + x_4 + x_5 \ge 3$ 입니다.
따라서 $x_3 = 1, x_4 = 1, x_5 = 1$ 이어야 하며, 자연스럽게 $x_1 = 0, x_2 = 0$ 이 됩니다.
주사위 눈 조합 : $\{3, 4, 5\}$ 가 각 1회씩 발생
이 3개의 눈이 순서대로 나오는 경우의 수 : $3! = 6$ 가지
경우 2 : $x_6 = 1$ 인 경우
$x_6 = 1$ 이면 $x_1, x_2$ 는 홀수(1 또는 3), $x_3, x_4, x_5$ 는 짝수(0 또는 2)이어야 합니다.
남은 시행 횟수 조건 : $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 3 - 1 = 2$
$x_1, x_2$ 가 모두 1 이상이므로 $x_1 + x_2 \ge 2$ 입니다.
따라서 $x_1 = 1, x_2 = 1$ 이어야 하며, 자연스럽게 $x_3 = 0, x_4 = 0, x_5 = 0$ 이 됩니다.
주사위 눈 조합 : $\{1, 2, 6\}$ 이 각 1회씩 발생
이 3개의 눈이 순서대로 나오는 경우의 수 : $3! = 6$ 가지
경우 3 : $x_6 = 2$ 인 경우
$x_6 = 2$ 이면 $x_3, x_4, x_5$ 는 홀수(1 이상)이어야 하므로 $x_3 + x_4 + x_5 \ge 3$ 입니다.
그러나 남은 시행 횟수 합은 $3 - 2 = 1$ 이어야 하므로 이를 만족하는 비음의 정수해는 존재하지 않습니다. (0가지)
경우 4 : $x_6 = 3$ 인 경우
$x_6 = 3$ 이면 모든 동전이 3번 뒤집히므로 초기 상태 $(F, F, B, B, B)$ 가 $(B, B, F, F, F)$ 가 되어 목표 상태에 도달할 수 없습니다. (0가지)
전체 확률 계산 및 $p+q$ 도출
주사위를 3번 던질 때 일어날 수 있는 전체 경우의 수는 다음과 같습니다. (전체 표본공간 $S$)
5개의 동전이 모두 앞면이 되도록 하는 알맞은 주사위 눈 사건 $A$의 총 경우의 수는 경우 1과 경우 2의 합입니다.
구하는 확률 $\mathrm{P}(A)$ 는 다음과 같습니다.
$p = 18, \, q = 1$ 은 서로소인 자연수 조건을 만족하므로 구하는 값 $p + q$ 는 다음과 같습니다.
4 [실수 포인트 및 증명]
🚨 $k = 6$ 의 대역적 뒤집기 효과 누락 오개념
많은 학생들이 $k = 6$ 일 때 '모든 동전이 동시에 뒤집힌다'는 조건을 단순 독립 조건으로 착각하고, 각 동전의 뒤집힘 횟수 $f_i$ 에 $x_6$ 을 더하지 않고 $f_i = x_i$ 로만 계산하여 경우의 수를 크게 오산합니다.
수학적 증명 : 선형 작용소 형태의 뒤집힘 카운트
동전 $i$ 의 상태 변화 작용소를 $T_i$ 라 하고, 전체 동전 뒤집기 작용소를 $T_{\text{all}} = \prod\limits_{i=1}^{5} T_i$ 라 합시다.
$n$ 번째 시행에서 발생한 작용소가 $A_n \in \{T_1, T_2, T_3, T_4, T_5, T_{\text{all}}\}$ 일 때,
동전 $i$ 가 뒤집히는 총 횟수 함수는 $F_i(A_1, A_2, A_3) = \sum\limits_{n=1}^{3} \mathbf{1}_{\{T_i \text{ 또는 } T_{\text{all}}\}}(A_n)$ 입니다.
따라서 지시함수의 성질에 의해 $F_i = x_i + x_6$ 이 엄밀하게 성립하므로, $x_6$ 은 모든 동전의 뒤집힘 횟수 $f_i$ 에 동시 작용함을 알 수 있습니다.
5 [핵심 이론 증명]
거듭제곱을 이용한 동전 상태 변화의 대수적 증명
고교 수학 교육과정의 지수법칙을 활용하여 동전의 상태 변화를 대수적으로 모델링할 수 있습니다. 동전의 앞면을 $1$, 뒷면을 $-1$ 이라는 값에 대응시켜 봅시다.
동전이 한 번 뒤집힐 때마다 기존 상태값에 $-1$ 이 곱해지는 것으로 수학적 해석이 가능합니다. 즉, $n$ 번 뒤집히면 초기 상태값에 $(-1)^n$ 이 곱해집니다.
• 초기 상태 : $(C_1, C_2, C_3, C_4, C_5) = (1, 1, -1, -1, -1)$
• 목표 상태 : $(1, 1, 1, 1, 1)$
3번의 시행 후 동전 $i$ 가 총 $x_i + x_6$ 번 뒤집혔으므로, 최종 상태가 도달하기 위한 수식은 다음과 같습니다.
$1 \times (-1)^{x_1+x_6} = 1, \quad 1 \times (-1)^{x_2+x_6} = 1$
$(-1) \times (-1)^{x_3+x_6} = 1, \quad (-1) \times (-1)^{x_4+x_6} = 1, \quad (-1) \times (-1)^{x_5+x_6} = 1$
위 식을 간단히 정리하면,
• $i = 1, 2$ 인 경우 : $(-1)^{x_i+x_6} = 1 \implies x_i+x_6$ 은 짝수
• $i = 3, 4, 5$ 인 경우 : $(-1)^{x_i+x_6} = -1 \implies x_i+x_6$ 은 홀수
이러한 대수적 증명을 통해 짝수번 뒤집히면 제자리, 홀수번 뒤집히면 상태가 반전된다는 직관적 규칙이 수학적으로 완벽히 정당화됩니다.
동전 상태 변화 2D 그래프 시뮬레이터
아래 2D 그래프는 시행 단계별 동전 1~5의 상태($0 = H, 1 = T$) 변화를 보여줍니다.
x축 : 동전 번호 (1번 ~ 5번 자리)
y축 : 동전 상태값 (0 = 앞면 H, 1 = 뒷면 T)
탁자 위 5개 동전 3D 라이브 시뮬레이터
3차원 공간 탁자 위에 배치된 동전 모델링입니다. 드래그로 회전/확대할 수 있습니다.
x축 : 동전의 위치 축 (1번 ~ 5번) |
y축 : 높이 및 뒤집힘 회전축 |
z축 : 탁자 깊이 축