삼차함수의 극값과 미정계수 추론을 통한 함수의 완성
9. 양수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$를
라 하자. 직선 $y=5$가 곡선 $y=f(x)$에 접할 때, $f(2)$의 값은? [4점]
이 문항은 도함수를 이용하여 함수의 증가와 감소, 극대와 극소를 판별하고, 이를 바탕으로 주어진 기하학적 조건(특정 직선과 접함)을 만족하는 미정계수를 찾아내는 종합적 추론 능력을 평가합니다.
주어진 함수 $f(x)$ 의 증가와 감소 상태를 파악하기 위해 미분하여 도함수 $f'(x)$ 를 구합니다.
$f'(x) = 0$ 이 되는 $x$ 의 값은 $x = -3a$ 또는 $x = a$ 입니다. 문제의 조건에서 $a$ 가 양수라고 하였으므로, $-3a < a$ 가 성립합니다.
삼차항의 계수가 양수이므로, 함수 $f(x)$ 는 $x = -3a$ 에서 극대이고, $x = a$ 에서 극소입니다. 각 위치에서의 함숫값을 $a$ 에 대한 식으로 나타냅니다.
직선 $y=5$ 가 곡선 $y=f(x)$ 에 접한다는 것은, 상수함수와의 교점 중 하나가 접점이 됨을 의미합니다. 수평 접선이므로 이 접점은 다름 아닌 극점이어야 합니다. 따라서 극댓값이나 극솟값 중 하나가 $5$ 가 되어야 합니다.
$27a^3 + 4 = 5$
$27a^3 = 1$
$a^3 = \frac{1}{27}$
$a = \frac{1}{3}$
조건($a>0$)을 만족합니다.
$-5a^3 + 4 = 5$
$-5a^3 = 1$
$a^3 = -\frac{1}{5}$
$a < 0$
조건($a>0$)에 위배되어 모순입니다.
따라서 $a = \frac{1}{3}$ 로 유일하게 결정됩니다.
구해진 $a = \frac{1}{3}$ 을 원래의 함수 $f(x)$ 식에 대입하여 함수를 완성합니다.
최종적으로 요구하는 $f(2)$ 의 값을 계산합니다.
미분가능한 함수 $f(x)$가 $x=c$에서 극값을 가지면 $f'(c)=0$입니다. 도함수의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 극대, 음에서 양으로 바뀌면 극소입니다.
곡선 $y=f(x)$ 밖의 상수함수 $y=k$가 곡선에 접하기 위해서는, 곡선의 극대점 또는 극소점의 $y$좌표가 $k$와 동일해야 합니다.
학생들이 가장 자주 범하는 실수는 문제 첫 줄에 제시된 "양수 $a$" 라는 조건을 간과하는 것입니다. 도함수 $f'(x) = 3(x+3a)(x-a) = 0$ 의 해를 구한 뒤, 무의식적으로 $a > -3a$ 임을 확인하지 않고 극소와 극대의 위치를 혼동할 수 있습니다.
미정계수가 포함된 함수의 극점을 찾을 때는 항상 수직선을 그려 근의 대소 관계를 명확히 해야 단계를 거쳐야 합니다. $a>0$ 이므로 $-3a < 0 < a$ 가 되어, 확실하게 $x=-3a$ 에서 극대, $x=a$ 에서 극소를 가짐을 확정 짓고 식을 전개해야 불필요한 케이스 분류나 오답을 방지할 수 있습니다.
곡선 $y = f(x)$ 위의 임의의 점 $(c, f(c))$ 에서의 접선의 방정식은 다음과 같이 정의됩니다.
$y - f(c) = f'(c)(x - c)$
문제와 같이 접선이 수평인 상수함수 형태($y = k$)가 되기 위해서는, 위 방정식에서 $x$ 의 계수인 기울기가 $0$ 이어야 합니다. 즉, $f'(c) = 0$ 이어야 합니다.
다항함수(여기서는 삼차함수)에서 중근을 갖지 않는 $f'(c) = 0$ 인 지점은 반드시 좌우에서 미분계수의 부호가 바뀌므로 극점이 됩니다. 따라서 다항함수에서 수평선과 접한다는 조건은 '어떤 극점의 $y$좌표가 해당 수평선의 $y$값과 일치한다'는 명제와 필요충분조건이 됩니다.
이 원리에 의해 본 문제에서 $y=5$ 가 접한다는 조건만으로 극댓값 또는 극솟값이 5임을 확신하고 수식을 전개할 수 있습니다.
미정계수 $a$ 의 변화에 따른 삼차함수 그래프의 형태 변화와 극대/극소의 궤적을 확인해보세요.