함수의 극한, 점근선의 성질, 좌표기하학을 통합적으로 묻는 문항
상수 $a(a>1)$ 에 대하여 곡선 $y=a^x-2$ 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 $\text{A}$를 지나고 $y$축에 평행한 직선이 $x$축과 만나는 점을 $\text{B}$, 곡선 $y=a^x-2$의 점근선과 만나는 점을 $\text{C}$라 하자.
$\overline{\text{AB}}=\overline{\text{BC}}$ 이고 삼각형 $\text{AOC}$ 의 넓이가 $8$ 일 때, $a\times \overline{\text{OB}}$ 의 값은?
(단, $\text{O}$는 원점이다.)
이 문항은 지수함수 $y=a^x$의 기본 개형이 $y$축 방향으로 평행이동했을 때, 점근선이 어떻게 변화하는지 정확히 이해하고 있는가를 묻고 있습니다. 또한, 주어진 기하학적 조건(선분의 길이, 삼각형의 넓이)을 대수적인 방정식으로 변환하여 미지수를 찾아내는 해석기하학적 추론 능력과 유리수 지수법칙의 계산 능력을 종합적으로 평가합니다.
곡선 $y=a^x-2$는 기본 지수함수 $y=a^x$를 $y$축 방향으로 $-2$만큼 평행이동한 것입니다. 따라서 점근선의 방정식은 $y=-2$가 됩니다.
점 $\text{A}$는 제1사분면 위의 점이므로 $x$좌표를 $t \ (t>0)$라 하면, 각 점의 좌표는 다음과 같이 설정됩니다.
수직선(y축과 평행한 선) 상의 두 점 사이의 거리는 $y$좌표의 차이입니다.
$$ \overline{\text{BC}} = (\text{B의 } y\text{좌표}) - (\text{C의 } y\text{좌표}) = 0 - (-2) = 2 $$
조건에서 $\overline{\text{AB}} = \overline{\text{BC}}$라고 하였으므로, $\overline{\text{AB}}$의 길이도 $2$가 되어야 합니다.
$$ \overline{\text{AB}} = (\text{A의 } y\text{좌표}) - (\text{B의 } y\text{좌표}) = \left(a^t - 2\right) - 0 = a^t - 2 $$
삼각형 $\text{AOC}$는 선분 $\text{AC}$를 밑변으로 볼 수 있습니다. 점 $\text{A}, \text{B}, \text{C}$는 모두 동일한 직선 $x=t$ 위에 존재합니다.
삼각형의 넓이 공식에 대입하면:
$$ \text{Area}(\triangle \text{AOC}) = \frac{1}{2} \times \overline{\text{AC}} \times h = \frac{1}{2} \times 4 \times t = 2t $$
넓이가 $8$이라고 주어졌으므로:
Step 3에서 구한 $t=4$를 Step 2의 식 $a^t = 4$에 대입합니다.
$$ a^4 = 4 $$
양변에 $\frac{1}{4}$ 제곱을 취하면:
$$ a = 4^{\frac{1}{4}} = \left(2^2\right)^{\frac{1}{4}} = 2^{2 \times \frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} $$
구해야 하는 값은 $a \times \overline{\text{OB}}$ 입니다. 여기서 $\overline{\text{OB}}$는 원점에서 점 $\text{B}(4,0)$까지의 거리이므로 $4$, 즉 $2^2$ 입니다.
최종 계산
$$ a \times \overline{\text{OB}} = 2^{\frac{1}{2}} \times 2^2 = 2^{\frac{1}{2} + 2} = \mathbf{2^{\frac{5}{2}}} $$
기본 지수함수 $y=a^x$의 그래프를 $y$축 방향으로 $q$만큼 평행이동한 함수의 식은 $y=a^x+q$가 됩니다.
함수 $y=a^x+q$ (단, $a>1$)에서 $x \to -\infty$일 때 $a^x \to 0$이므로, 점근선의 방정식은 $y=q$가 됩니다.
$x$좌표가 같은 두 점 $\text{P}(x_1, y_1), \text{Q}(x_1, y_2)$를 잇는 선분 $\text{PQ}$의 길이는 $y$좌표의 차이인 $|y_1 - y_2|$ 입니다.
$a>0$이고 $m, n$이 유리수일 때, $(a^m)^n = a^{mn}$ 및 $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$이 성립합니다.
기본형 $y=a^x$의 점근선이 $x$축($y=0$)이라는 사실에 얽매여, 평행이동된 함수 $y=a^x-2$의 점근선을 고려하지 않고 문제에 접근하여 오답을 내는 경우가 많습니다.
[정의] 곡선 $y=f(x)$에 대하여 $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ 또는 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ 일 때, 직선 $y=L$을 수평점근선이라 한다.
[증명] $a > 1$ 이라 가정하자.
$x$가 음의 무한대로 갈 때 지수함수 $a^x$의 극한은 다음과 같다.
$$ \lim_{x \to -\infty} a^x = 0 $$
따라서 주어진 함수 $f(x) = a^x - 2$에 대하여극한을 취하면,
$$ \lim_{x \to -\infty} \left(a^x - 2\right) = \left( \lim_{x \to -\infty} a^x \right) - 2 = 0 - 2 = -2 $$
극한의 기본 성질에 의해 $y \to -2$ 로 수렴하므로, 점근선의 방정식은 기하학적으로 **$y=-2$** 임이 완벽히 증명된다. $\blacksquare$
문제를 푸는 데 결정적이었던 지수법칙 $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ 이 어떻게 성립하는지 지수법칙의 확장을 통해 증명합니다.
[정리] $a>0$ 이고 $n$이 $2$ 이상의 정수일 때, $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ 이다.
[증명]
지수법칙 $(x^p)^q = x^{pq}$ 가 유리수 지수에서도 성립한다고 정의하자.
$x = a^{\frac{1}{n}}$ 이라고 두고, 양변을 $n$제곱 해본다.
$$ x^n = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n $$
지수법칙에 의해 지수끼리 곱셈이 일어난다.
$$ x^n = a^{\frac{1}{n} \times n} = a^1 = a $$
어떤 수 $x$를 $n$번 거듭제곱하여 $a$가 나왔으므로, $x$는 $a$의 $n$제곱근이다. 즉 $x = \sqrt[n]{a}$ 이다.
따라서 $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ 가 증명된다.
[문제 적용]
$$ a^4 = 4 $$
양변에 $\frac{1}{4}$ 제곱을 취하면,
$$ \left(a^4\right)^{\frac{1}{4}} = 4^{\frac{1}{4}} \implies a^1 = \left(2^2\right)^{\frac{1}{4}} = 2^{2 \times \frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} $$
위에서 증명한 정리에 의해 $2^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{2} = \sqrt{2}$ 이다. $\blacksquare$