정적분과 넓이, 그리고 이차방정식의 판별식을 이용한 운동 상태 추론
시각 $t=0$일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$가 있다. 실수 $k$에 대하여 시각이 $t \, (t \ge 0)$일 때 점 $\mathrm{P}$의 속도 $v(t)$가
이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]
본 문항은 고등학교 수학 II 교육과정의 '도함수의 활용(속도와 가속도)' 및 '정적분의 활용(속도와 거리)'의 핵심 개념을 결합하여, 물체의 기하학적인 운동 상태를 수학적으로 모델링하고 논리적으로 추론하는 능력을 평가하고자 출제되었습니다.
위치의 변화량(정적분)과 실제 움직인 거리(절댓값의 정적분)의 차이를 정확히 구분하고, 이차방정식의 판별식을 활용하여 운동 방향의 변화(속도의 부호 변화)를 분석할 수 있는지가 핵심입니다.
점 $\mathrm{P}$가 시각 $t=0$일 때 원점($x(0)=0$)을 출발하므로, 시각 $t$에서의 위치 $x(t)$는 속도 $v(t)$의 부정적분으로 구해집니다.
$$x(t) = x(0) + \int_{0}^{t} v(s) \, ds = 0 + \int_{0}^{t} (s^2 - ks + 4) \, ds$$
$$x(t) = \left[ \frac{1}{3}s^3 - \frac{k}{2}s^2 + 4s \right]_{0}^{t} = \frac{1}{3}t^3 - \frac{k}{2}t^2 + 4t$$
[ㄱ] $k=0$이면, 시각 $t=1$일 때 점 $\mathrm{P}$의 위치는 $\frac{13}{3}$이다.
위치 함수 $x(t)$에 $k=0$을 대입하면:
$$x(t) = \frac{1}{3}t^3 + 4t$$
시각 $t=1$에서의 위치는:
$$x(1) = \frac{1}{3}(1)^3 + 4(1) = \frac{1}{3} + 4 = \frac{13}{3}$$
[ㄴ] $k=3$이면, 출발한 후 점 $\mathrm{P}$의 운동 방향이 한 번 바뀐다.
운동 방향이 바뀌려면 속도 $v(t)$의 부호가 변해야 합니다. $k=3$일 때 속도 함수는:
$$v(t) = t^2 - 3t + 4$$
이 이차함수가 $x$축(여기서는 $t$축)과 교점을 갖는지 판별식 $D$를 확인합니다.
$$D = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7 < 0$$
판별식이 0보다 작으므로, 모든 실수 $t$에 대하여 $v(t) > 0$입니다. 즉, 속도의 부호가 변하지 않고 항상 양의 방향으로만 전진합니다.
[ㄷ] $k=5$이면, 시각 $t=0$에서 $t=2$까지 점 $\mathrm{P}$가 움직인 거리는 $3$이다.
움직인 실제 거리는 속도의 절댓값을 정적분해야 합니다. $k=5$일 때 속도 함수는:
$$v(t) = t^2 - 5t + 4 = (t-1)(t-4)$$
시각 $t=0$부터 $t=2$까지 $v(t)$의 부호를 조사하면, $t=1$에서 부호가 양에서 음으로 바뀝니다.
따라서 이동 거리 $S$는 다음과 같이 계산됩니다.
$$S = \int_{0}^{2} |v(t)| \, dt = \int_{0}^{1} v(t) \, dt + \int_{1}^{2} -v(t) \, dt$$
위치 함수 $x(t) = \frac{1}{3}t^3 - \frac{5}{2}t^2 + 4t$ (이전 부정적분 결과에 $k=5$ 대입)를 이용하여 정적분을 계산합니다.
$\int_{0}^{1} v(t) \, dt = x(1) - x(0) = \left(\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4\right) - 0 = \frac{11}{6}$
$\int_{1}^{2} v(t) \, dt = x(2) - x(1) = \left(\frac{8}{3} - 10 + 8\right) - \frac{11}{6} = \frac{2}{3} - \frac{11}{6} = -\frac{7}{6}$
따라서, 총 이동 거리 $S$는:
$$S = \frac{11}{6} + \left|-\frac{7}{6}\right| = \frac{11}{6} + \frac{7}{6} = \frac{18}{6} = 3$$
위치 함수 $x(t)$는 속도 함수 $v(t)$의 부정적분이며, 정적분 $\int_{a}^{b} v(t)dt$는 $x(b)-x(a)$라는 위치의 변화량을 의미합니다.
물체가 실제 움직인 거리는 속도의 크기인 속력 $|v(t)|$를 정적분한 값, 즉 속도-시간 그래프가 이루는 넓이와 같습니다.
이차함수 $v(t)$의 부호 변화는 이차방정식 $v(t)=0$의 실근의 유무에 의존하며, 이는 판별식 $D=b^2-4ac$의 부호로 결정됩니다.
ㄷ 보기에서 속도의 부호 변화를 확인하지 않고 단순 정적분 $\int_{0}^{2} v(t) dt$ 를 계산하여 위치 변화량 $\frac{2}{3}$을 이동 거리로 착각하여 오답을 내는 경우가 많습니다.
[정리] 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $v(t)$에 대하여 항상 $\left| \int_{a}^{b} v(t) \, dt \right| \le \int_{a}^{b} |v(t)| \, dt$ 가 성립한다.
[증명]
실수의 절대값 성질에 의해 모든 $t$에 대하여 다음이 성립한다.
$$ -|v(t)| \le v(t) \le |v(t)| $$
정적분의 단조성에 의해 각 변을 $a$에서 $b$까지 정적분하면,
$$ -\int_{a}^{b} |v(t)| \, dt \le \int_{a}^{b} v(t) \, dt \le \int_{a}^{b} |v(t)| \, dt $$
절대값 부등식의 성질 ($-M \le X \le M \iff |X| \le M$)을 적용하면,
$$ \left| \int_{a}^{b} v(t) \, dt \right| \le \int_{a}^{b} |v(t)| \, dt $$
이때 등호는 $v(t)$가 구간 $[a, b]$ 전체에서 0 이상이거나 0 이하일 때만 성립한다. 부호가 한 번이라도 변한다면, 실제 이동 거리는 단순 위치 변화량의 크기보다 반드시 크다. $\blacksquare$
물체의 운동에서 위치와 속도 사이의 관계식은 단순히 외우는 공식이 아닌 도함수의 정의에서 출발합니다.
[증명]
순간 속도 $v(t)$는 위치 함수 $x(t)$의 시간에 대한 미분계수로 정의된다.
$$ v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t} = x'(t) $$
미적분학의 기본 정리에 의하여, 도함수 $x'(t)$를 구간 $[0, t]$에서 정적분하면 원시함수 $x(t)$의 양 끝값 차이가 된다.
$$ \int_{0}^{t} v(s) \, ds = \int_{0}^{t} x'(s) \, ds = \left[ x(s) \right]_{0}^{t} = x(t) - x(0) $$
따라서 초기 위치 $x(0)$를 이항하면 시각 $t$에서의 위치 식을 얻는다.
$$ x(t) = x(0) + \int_{0}^{t} v(s) \, ds $$
이 문제에서는 출발점이 원점이므로 $x(0)=0$이 되어 $x(t) = \int_{0}^{t} v(s) \, ds$ 로 간략화된 것이다. $\blacksquare$