일정한 간격을 가진 수열의 합과 공비의 관계 분석
등비수열 $\{a_n\}$이
을 만족시킬 때, $a_{10}$의 값은? [4점]
본 문항은 고등학교 수학 I 교육과정의 '등비수열' 단원의 핵심 개념을 평가합니다.
단순히 연립방정식을 기계적으로 푸는 것을 넘어, 일정한 간격으로 추출된 등비수열의 항들 역시 새로운 등비수열을 이룬다는 거시적인 구조적 특징을 파악하고 이를 식 조작에 유연하게 활용할 수 있는 대수적 추론 능력을 묻고 있습니다.
등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라고 합시다. 등비수열의 일반항은 $a_n = ar^{n-1}$ 입니다.
문제에서 주어진 연쇄 등식 $2(a_1 + a_4 + a_7) = a_4 + a_7 + a_{10} = 6$ 을 두 개의 식으로 분리합니다.
각 항을 첫째항 $a$와 공비 $r$을 이용하여 나타내어 대입합니다.
(식 1) : $a + ar^3 + ar^6 = 3$
$\implies a(1 + r^3 + r^6) = 3 \quad \cdots \text{ (가)}$
(식 2) : $ar^3 + ar^6 + ar^9 = 6$
(식 2)의 좌변에서 공통 인수인 $r^3$을 묶어냅니다.
$\implies r^3(a + ar^3 + ar^6) = 6$
$\implies r^3 \cdot a(1 + r^3 + r^6) = 6 \quad \cdots \text{ (나)}$
(나) 식에 (가) 식을 대입하여 연립합니다. 즉, $a(1 + r^3 + r^6) = 3$ 을 통째로 대입합니다.
$$r^3 \times 3 = 6$$
따라서 공비의 세제곱을 구할 수 있습니다.
$\therefore r^3 = 2$
구해진 $r^3 = 2$ 를 (가) 식에 대입합니다.
이때 $r^6 = (r^3)^2 = 2^2 = 4$ 입니다.
$$a(1 + 2 + 4) = 3$$
$$7a = 3$$
따라서 첫째항은 다음과 같습니다.
$\therefore a = \frac{3}{7}$
문제에서 구하고자 하는 값은 $a_{10}$ 입니다. 이를 앞서 구한 $a$와 $r^3$을 이용하여 표현합니다.
$$a_{10} = ar^9 = a(r^3)^3$$
값을 대입하여 계산합니다.
$$a_{10} = \frac{3}{7} \times (2)^3 = \frac{3}{7} \times 8 = \frac{24}{7}$$
첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열의 제 $n$항은 $a_n = ar^{n-1}$ 입니다.
임의의 실수 $x$와 정수 $m, n$에 대하여 $(x^m)^n = x^{mn}$ 및 $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ 이 성립합니다.
일정한 간격(예: $k$)으로 추출된 등비수열의 항들 $a_m, a_{m+k}, a_{m+2k}$ 역시 공비가 $r^k$인 새로운 등비수열을 이룹니다.
Step 2에서 $r^3 = 2$를 도출한 후, 습관적으로 공비 $r = 2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}$ 로 구하려는 실수를 자주 범합니다.
하지만 문제에서 요구하는 값인 $a_{10} = ar^9 = a(r^3)^3$ 과 같이 지수가 3의 배수 형태로 구성되어 있으므로, $r$을 직접 구하지 않고 $r^3$ 자체를 하나의 변수(덩어리)로 취급하여 식을 전개하는 것이 계산 실수를 줄이고 시간을 단축하는 핵심 요령입니다.
등비수열 $\{a_n\}$에 대하여 $k$만큼의 일정한 간격으로 추출한 수열 $b_n = a_{nk}$ (단, $n, k$는 자연수) 역시 등비수열이 됨을 증명합니다.
[증명]
등비수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라 하면 $a_n = ar^{n-1}$ 이다.
수열 $\{b_n\}$의 이웃하는 두 항의 비를 구해보면,
$$ \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{a_{(n+1)k}}{a_{nk}} $$
$$ = \frac{ar^{(n+1)k-1}}{ar^{nk-1}} $$
$$ = \frac{r^{nk+k-1}}{r^{nk-1}} $$
지수법칙에 의하여,
$$ = r^{(nk+k-1) - (nk-1)} = r^k $$
따라서 이웃하는 두 항의 비가 항상 $r^k$ (상수)로 일정하므로, 수열 $\{b_n\}$은 공비가 $r^k$인 등비수열이다. $\blacksquare$
※ 문제 적용 : 이 문제에서 $a_1, a_4, a_7$ 은 인덱스의 간격이 $3$이므로 공비가 $r^3$ 인 새로운 등비수열로 해석할 수 있습니다.