곱의 미분법을 활용한 접선의 방정식 도출 및 기하학적 넓이 계산
함수 $f(x) = x^2 - 4x - 3$ 에 대하여
곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(1, -6)$ 에서의 접선을 $l$ 이라 하고,
함수 $g(x) = (x^3 - 2x)f(x)$ 에 대하여
곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(1, 6)$ 에서의 접선을 $m$ 이라 하자.
두 직선 $l, m$ 과 $y$ 축으로 둘러싸인 도형의 넓이는? [4점]
이 문항은 고등학교 '수학 II' 과목의 다항함수의 미분법과 관련된 종합적인 사고력을 평가합니다.
먼저 함수 $f(x) = x^2 - 4x - 3$ 의 도함수를 구합니다.
$$f'(x) = 2x - 4$$
곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(1, -6)$ 에서의 접선 $l$ 의 기울기는 $x=1$ 에서의 미분계수 $f'(1)$ 과 같습니다.
$$f'(1) = 2(1) - 4 = -2$$
기울기가 $-2$ 이고 점 $(1, -6)$ 을 지나는 직선 $l$ 의 방정식은 다음과 같습니다.
$$y - (-6) = -2(x - 1)$$
$$\therefore l : y = -2x - 4$$
함수 $g(x) = (x^3 - 2x)f(x)$ 의 도함수를 구하기 위해 곱의 미분법을 적용합니다.
$$g'(x) = (x^3 - 2x)' \cdot f(x) + (x^3 - 2x) \cdot f'(x)$$ $$g'(x) = (3x^2 - 2)f(x) + (x^3 - 2x)f'(x)$$
곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(1, 6)$ 에서의 접선 $m$ 의 기울기는 $g'(1)$ 입니다. 위 식에 $x=1$ 을 대입합니다. 이 때, $f(1) = -6$ 이고 $f'(1) = -2$ 임을 이용합니다.
$$g'(1) = (3(1)^2 - 2) \cdot f(1) + (1^3 - 2(1)) \cdot f'(1)$$ $$g'(1) = (1) \cdot (-6) + (-1) \cdot (-2)$$ $$g'(1) = -6 + 2 = -4$$
기울기가 $-4$ 이고 점 $(1, 6)$ 을 지나는 직선 $m$ 의 방정식은 다음과 같습니다.
$$y - 6 = -4(x - 1)$$
$$\therefore m : y = -4x + 10$$
두 직선 $l$ 과 $m$ 로 둘러싸인 도형의 모양을 파악하기 위해 교점과 $y$ 축과의 교점($y$ 절편)을 찾습니다.
두 직선 $l, m$ 과 $y$ 축으로 둘러싸인 도형은 세 점 $(0, 10)$, $(0, -4)$, $(7, -18)$ 을 꼭짓점으로 하는 삼각형입니다.
따라서 구하는 삼각형의 넓이 $S$ 는 다음과 같습니다.
$$S = \frac{1}{2} \times (\text{밑변}) \times (\text{높이}) = \frac{1}{2} \times 14 \times 7 = 49$$
함수 $f(x) = x^n$ ($n$은 양의 정수)의 도함수는 $f'(x) = nx^{n-1}$ 이며, 상수의 미분은 $0$ 입니다.
두 함수 $f(x), g(x)$가 미분가능할 때, $y = f(x)g(x)$ 이면 $y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ 가 성립합니다.
미분가능한 함수 $y=f(x)$의 그래프 위의 점 $(a, f(a))$ 에서의 접선의 방정식은 $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ 입니다.
$y$축 위의 선분을 밑변으로 하는 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2} \times (\text{두 } y \text{절편의 차}) \times (\text{교점의 } x \text{좌표의 절댓값})$ 으로 계산할 수 있습니다.
함수 $g(x) = (x^3 - 2x)f(x)$ 를 미분할 때, 단순히 각각 미분하여 $g'(x) = (3x^2 - 2)f'(x)$ 로 착각하는 경우가 있습니다. 반드시 "앞 미분 뒤 그대로 + 앞 그대로 뒤 미분" 의 형태인 $g'(x) = (x^3-2x)'f(x) + (x^3-2x)f'(x)$ 로 계산해야 합니다.
두 직선과 $y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 때, 습관적으로 교점의 $y$ 좌표(여기서는 $-18$)를 높이로 착각하거나 연산에 사용하는 실수가 잦습니다. $y$축을 밑변으로 삼았으므로 높이는 $y$축으로부터 교점까지의 수직 거리인 교점의 $x$ 좌표의 절댓값이 되어야 합니다.
두 함수 $f(x), g(x)$ 가 모두 미분가능할 때, 새로운 함수 $F(x) = f(x)g(x)$ 의 도함수를 정의를 이용하여 구해봅시다.
도함수의 정의에 의해,
$$ F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} $$
분자에 $f(x)g(x+h)$ 를 빼고 더해줍니다. (식의 값은 변하지 않습니다)
$$ = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) \color{red}{- f(x)g(x+h) + f(x)g(x+h)} \color{black}{- f(x)g(x)}}{h} $$
공통인수로 묶어 두 개의 극한으로 분리합니다.
$$ = \lim_{h \to 0} \left[ \frac{\{f(x+h) - f(x)\}g(x+h)}{h} + \frac{f(x)\{g(x+h) - g(x)\}}{h} \right] $$
$$ = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \cdot \lim_{h \to 0} g(x+h) + \lim_{h \to 0} f(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h} $$
$f, g$ 가 미분가능하므로 연속입니다. 따라서 $\lim_{h \to 0} g(x+h) = g(x)$ 입니다.
$$ \therefore F'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \quad \blacksquare $$