수능 출제 분석

정적분으로 정의된 함수의 극값 추론

구간별로 정의된 함수와 매개변수의 변화에 따른 도함수의 부호 분석

Q 문제 원문

15. 함수 $f(x)$가

$$f(x) = \begin{cases} -x^2 & (x < 0) \\ x^2 - x & (x \ge 0) \end{cases}$$

이고, 양수 $a$에 대하여 함수 $g(x)$를

$$g(x) = \begin{cases} ax + a & (x < -1) \\ 0 & (-1 \le x < 1) \\ ax - a & (x \ge 1) \end{cases}$$

이라 하자. 함수 $h(x) = \int_{0}^{x} (g(t) - f(t)) dt$가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 $a$의 최댓값을 $k$라 하자. $a=k$일 때, $k + h(3)$의 값은? [4점]

① $\frac{9}{2}$
② $\frac{11}{2}$
③ $\frac{13}{2}$
④ $\frac{15}{2}$
⑤ $\frac{17}{2}$

1 출제의도

이 문항은 미적분학의 기본 정리를 바탕으로 정적분으로 정의된 함수의 미분법을 이해하고, 도함수의 부호 변화를 통해 극값의 존재성과 개수를 추론할 수 있는지를 평가합니다.

  • 피적분함수가 구간별로 다르게 정의된 상황에서, 도함수 $h'(x)$를 정확히 도출하는 능력.
  • 매개변수 $a$의 변화에 따른 $h'(x) = 0$ 방정식의 실근과 부호 변화를 조사하여 극값 조건을 해석하는 추론 능력.
  • 이차함수와 직선이 접할 때 판별식을 활용하는 대수적 계산 능력.

2 상세 풀이 (Step-by-Step)

Step 1

함수 $h(x)$의 도함수 구하기

미적분학의 기본 정리에 의해, 정적분으로 정의된 함수 $h(x)$를 $x$에 대하여 미분하면 피적분함수가 됩니다.

$$h'(x) = \frac{d}{dx} \int_{0}^{x} (g(t) - f(t)) dt = g(x) - f(x)$$

함수 $h(x)$가 오직 하나의 극값을 가지려면, 도함수 $h'(x)$의 부호가 좌우에서 변하는 점이 전체 구간에서 단 1개만 존재해야 합니다.

Step 2

구간 $[-1, 1)$에서의 $h'(x)$ 부호 분석

이 구간에서는 $g(x) = 0$ 입니다. $f(x)$의 정의에 따라 두 구간으로 나누어 분석합니다.

  • (i) $-1 \le x < 0$ 인 경우 :

    $f(x) = -x^2$ 이므로, $h'(x) = 0 - (-x^2) = x^2$

    $\rightarrow h'(x) \ge 0$ 이며, $x=0$을 제외하고 양수이므로 부호 변화가 없습니다.

  • (ii) $0 \le x < 1$ 인 경우 :

    $f(x) = x^2 - x$ 이므로, $h'(x) = 0 - (x^2 - x) = -x^2 + x = x(1-x)$

    $\rightarrow$ 이 구간에서 $x \ge 0$ 이고 $1-x > 0$ 이므로 $h'(x) \ge 0$ 입니다. 역시 부호 변화가 없습니다.

결론 : 구간 $[-1, 1)$에서는 $h(x)$의 극값이 발생하지 않습니다.

Step 3

구간 $x \ge 1$에서의 $h'(x)$ 부호 분석 및 극값 발생 확인

이 구간에서 $g(x) = a(x-1)$ 이고 $f(x) = x^2 - x$ 입니다.

$$h'(x) = a(x-1) - (x^2 - x) = -x^2 + (a+1)x - a = -(x-1)(x-a)$$

양수 $a$에 대하여 $h'(x) = 0$ 이 되는 점은 $x=1$ 과 $x=a$ 입니다.

  • $x=1$ 근방에서 : 좌측($x < 1$)에서는 $h'(x) \ge 0$ 이었습니다. 우측($x > 1$)의 부호는 $a$값에 따라 결정되지만, 양수 $a$에 대해 무조건 이 영역($x \ge 1$ 포함)에서 부호가 $+$에서 $-$로 떨어지는 구간이 발생합니다.
  • 구체적으로 $a > 1$ 이면 $x=a$ 에서 부호가 $(+)$에서 $(-)$로 바뀝니다.
  • $a \le 1$ 이면 $x=1$ 에서 부호가 $(+)$에서 $(-)$로 바뀝니다.
어떤 경우든 $x \ge 1$ 영역(경계 포함)에서 반드시 1개의 극값(극대)이 발생합니다!
Step 4

조건 충족을 위한 구간 $x < -1$ 분석 (a의 범위 도출)

이미 극값이 1개 확보되었으므로, $h(x)$가 오직 하나의 극값을 가지려면 구간 $x < -1$ 에서는 부호 변화(극값)가 발생하면 안 됩니다.

이 구간에서 $g(x) = ax + a$, $f(x) = -x^2$ 입니다.

$$h'(x) = (ax + a) - (-x^2) = x^2 + ax + a$$

이차방정식 $x^2 + ax + a = 0$ 이 서로 다른 두 실근을 가져 축과 교차하면 부호가 변하여 극값이 추가됩니다. 따라서 교차하지 않아야 하므로 판별식 $D \le 0$ 이어야 합니다. (접하는 중근은 부호 변화가 없어 허용됨)

$$D = a^2 - 4a \le 0$$ $$a(a - 4) \le 0 \implies 0 < a \le 4 \quad (\because a > 0)$$

따라서 조건을 만족하는 $a$의 최댓값은 $k = 4$ 입니다.

Step 5

$k + h(3)$ 값의 계산

$k = 4$ 이므로, 주어진 함수를 사용하여 정적분 $h(3)$을 계산합니다.

$$ \begin{aligned} h(3) &= \int_{0}^{3} (g(t) - f(t)) dt \\ &= \int_{0}^{1} (g(t) - f(t)) dt + \int_{1}^{3} (g(t) - f(t)) dt \end{aligned} $$

① $0 \le t < 1$ 구간 계산:

$$ \int_{0}^{1} (0 - (t^2 - t)) dt = \int_{0}^{1} (-t^2 + t) dt = \left[ -\frac{1}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 \right]_{0}^{1} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6} $$

② $1 \le t \le 3$ 구간 계산:

$g(t) = 4t - 4$, $f(t) = t^2 - t$ 이므로 $g(t) - f(t) = -t^2 + 5t - 4$

$$ \begin{aligned} \int_{1}^{3} (-t^2 + 5t - 4) dt &= \left[ -\frac{1}{3}t^3 + \frac{5}{2}t^2 - 4t \right]_{1}^{3} \\ &= \left( -9 + \frac{45}{2} - 12 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 \right) \\ &= \left( \frac{3}{2} \right) - \left( -\frac{11}{6} \right) = \frac{9}{6} + \frac{11}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \end{aligned} $$

③ 최종 결과 합산:

$$ h(3) = \frac{1}{6} + \frac{10}{3} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} $$ $$ \therefore k + h(3) = 4 + \frac{7}{2} = \frac{15}{2} $$

3 이론 매칭

정적분으로 정의된 함수의 미분

함수 $f(t)$가 닫힌구간 $[a, x]$에서 연속일 때, 식 $\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$를 이용하여 도함수를 바로 구하는 원리입니다.

함수의 극대와 극소 판정

미분가능한 함수 $h(x)$가 극값을 갖기 위한 필요충분조건은 도함수 $h'(x)=0$인 점을 기준으로 좌우에서 $h'(x)$의 부호가 바뀌는 것입니다.

이차방정식의 판별식

도함수가 2차식인 형태($x^2+ax+a=0$)에서 그래프가 $x$축과 교차하는지, 접하는지, 붕 뜨는지를 판별식 $D=b^2-4ac$의 부호로 결정합니다.

4 실수 포인트 및 증명

🚨 학생들이 자주 범하는 오개념

오류 : "$h'(x)=0$ 이 되는 실근이 존재하면 무조건 극값이다?"

방정식 $h'(x)=0$의 해를 구하는 데만 집중한 나머지, 판별식 $D=0$ 인 상황(중근)을 배제하여 $a<4$ 라고 오답을 내는 경우가 많습니다. 접하는 실근은 부호 변화를 수반하지 않으므로 극값이 되지 않습니다. 따라서 $D \le 0$ 의 등호를 반드시 포함시켜 최댓값 $k=4$ 를 구해야 합니다.

수학적 증명 (접점에서의 부호 보존) :

$x < -1$ 에서 $h'(x) = x^2 + ax + a$ 일 때, $a=4$ 를 대입하면 $h'(x) = x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$ 가 됩니다.

임의의 실수 $x$에 대하여 $(x+2)^2 \ge 0$ 이므로, $x=-2$ 를 지나더라도 $h'(x)$의 값이 음수로 내려가지 않습니다. 즉 부호 변화가 없어 $x=-2$ 는 극값이 아닙니다.

5 핵심 이론 증명

미적분학의 기본 정리 1 (FTC 1) 증명

함수 $f$가 구간 $[a, b]$에서 연속일 때, 함수 $h(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$ 에 대하여 $h'(x) = f(x)$ 임을 도함수의 정의로 유도합니다.

1. 도함수의 정의에 의해 $h'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x + \Delta x) - h(x)}{\Delta x}$ 입니다.

2. 식을 전개하면: $$ \frac{\int_{a}^{x + \Delta x} f(t) dt - \int_{a}^{x} f(t) dt}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x} \int_{x}^{x + \Delta x} f(t) dt $$

3. 적분의 평균값 정리에 의해, 닫힌구간 $[x, x + \Delta x]$ 내의 어떤 점 $c$ 가 존재하여 다음을 만족합니다. $$ \int_{x}^{x + \Delta x} f(t) dt = f(c) \cdot \Delta x \quad (x \le c \le x + \Delta x) $$

4. 따라서 주어진 극한은 다음과 같아집니다. $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(c) \cdot \Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(c) $$

5. $\Delta x \to 0$ 일 때, $x + \Delta x \to x$ 이므로 조임 정리(Squeeze Theorem)에 의해 $c \to x$ 가 됩니다. $f$는 연속함수이므로 극한값은 $f(x)$가 됩니다.

$$ \therefore h'(x) = f(x) \quad \blacksquare $$

동적 함수 분석 시뮬레이터

매개변수 $a$의 값을 슬라이더로 조절하며, 도함수 $h'(x) = g(x) - f(x)$ 의 부호 변화(극값의 발생)가 어떻게 달라지는지 관찰하세요.

매개변수 a 값 조정 a = 4.0
0.5 a=4 (정답조건) 8.0
$x < -1$ 구간 교점
교점 없음 (접함)
전체 구간 극값 개수
1 개
$y = f(x)$ $y = g(x)$
$h'(x) = g(x)-f(x)$
🟣 보라색 영역이 x축과 교차할 때 극값이 발생합니다. 🖱️ 마우스 휠: 확대/축소 | 드래그: 화면 이동