수능 출제 분석

수열의 합과 점화식의 추론

합으로 정의된 관계식에서 일반항을 도출하고 규칙성을 발견하는 과정

Q 문제 원문

20. 수열 $\{a_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다.

$a_1 = 7$
2 이상의 자연수 $n$에 대하여
$$ \sum_{k=1}^{n} a_k = \frac{2}{3}a_n + \frac{1}{6}n^2 - \frac{1}{6}n + 10 $$
이다.

다음은 $\sum_{k=1}^{12} a_k + \sum_{k=1}^5 a_{2k+1}$ 의 값을 구하는 과정이다.

2 이상의 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1} = \sum_{k=1}^{n+1} a_k - \sum_{k=1}^{n} a_k$ 이므로

$a_{n+1} = \frac{2}{3}(a_{n+1} - a_n) +$ (가)

이고, 이 식을 정리하면

$2a_n + a_{n+1} = 3 \times$ (가) $\quad \cdots\cdots \;$ ㉠

이다.

$\sum_{k=1}^{n} a_k = \frac{2}{3}a_n + \frac{1}{6}n^2 - \frac{1}{6}n + 10$

에서 양변에 $n=2$를 대입하면

$a_2 =$ (나) $\quad \cdots\cdots \;$ ㉡

이다. ㉠과 ㉡에 의하여

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{12} a_k + \sum_{k=1}^5 a_{2k+1} &= a_1 + a_2 + \sum_{k=1}^5 (2a_{2k+1} + a_{2k+2}) \\ &= \boxed{\text{ (다) }} \end{aligned} $$

이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 $f(n)$이라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p, q$라 할 때, $\frac{p \times q}{f(12)}$ 의 값을 구하시오. [4점]

① 110

② 120

③ 130

④ 140

⑤ 150

1 출제의도

이 문항은 수열의 합($S_n$)과 일반항($a_n$) 사이의 관계를 활용하여 새로운 점화식을 유도하고, 수열의 규칙성을 추론하여 복잡한 시그마($\Sigma$) 식의 값을 계산할 수 있는지를 평가합니다.

$S_{n+1} - S_n = a_{n+1}$ 의 성질을 수식에 정확히 적용하여 대수적으로 정리하는 능력.
주어진 조건의 범위($n \ge 2$)를 인지하고 초기항을 바르게 설정하는 능력.
시그마 항들을 짝수, 홀수 항으로 분해 및 재조합하여 도출된 점화식($2a_n + a_{n+1} = n$)을 활용하는 추론 능력.

2 상세 풀이 (Step-by-Step)

Step 1

(가) 구하기 : 수열의 합과 일반항의 관계 적용

문제에 주어진 식의 양변의 차이를 구하여 $a_{n+1}$에 대한 식을 만듭니다. ($n \ge 2$)

\begin{aligned} a_{n+1} &= \sum_{k=1}^{n+1} a_k - \sum_{k=1}^{n} a_k \\ &= \left\{ \frac{2}{3}a_{n+1} + \frac{1}{6}(n+1)^2 - \frac{1}{6}(n+1) + 10 \right\} - \left\{ \frac{2}{3}a_n + \frac{1}{6}n^2 - \frac{1}{6}n + 10 \right\} \\ &= \frac{2}{3}(a_{n+1} - a_n) + \frac{1}{6} \left( (n^2 + 2n + 1) - (n + 1) - n^2 + n \right) \\ &= \frac{2}{3}(a_{n+1} - a_n) + \frac{1}{6}(2n) \\ &= \frac{2}{3}(a_{n+1} - a_n) + \frac{1}{3}n \end{aligned}

$\therefore \text{(가)} = \frac{1}{3}n \quad \implies f(n) = \frac{1}{3}n$

참고로 이 식을 마저 정리하면 $a_{n+1} - \frac{2}{3}a_{n+1} + \frac{2}{3}a_n = \frac{1}{3}n \implies \frac{1}{3}a_{n+1} + \frac{2}{3}a_n = \frac{1}{3}n$ 이 되어, 양변에 3을 곱하면 문제에 주어진 ㉠식인 $2a_n + a_{n+1} = n$ 이 정확히 도출됩니다.

Step 2

(나) 구하기 : 초기항 $a_2$ 의 계산

주어진 합의 공식은 $n \ge 2$ 일 때 성립하므로, 가장 작은 값인 $n=2$ 를 대입합니다.

\sum_{k=1}^{2} a_k = \frac{2}{3}a_2 + \frac{1}{6}(2^2) - \frac{1}{6}(2) + 10 $$ $$ a_1 + a_2 = \frac{2}{3}a_2 + \frac{4}{6} - \frac{2}{6} + 10

조건에서 $a_1 = 7$ 이므로 대입하여 정리합니다.

7 + a_2 = \frac{2}{3}a_2 + \frac{1}{3} + 10 $$ $$ a_2 - \frac{2}{3}a_2 = 10 + \frac{1}{3} - 7 \implies \frac{1}{3}a_2 = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}

$\therefore a_2 = 10 \quad \implies \text{(나)} = 10 \quad (p = 10)$

Step 3

(다) 구하기 : 시그마 식의 변형 및 값 도출

구하고자 하는 식은 $\sum_{k=1}^{12} a_k + \sum_{k=1}^5 a_{2k+1}$ 입니다. 첫 번째 시그마를 항의 성질(홀/짝)에 따라 분해합니다.

\begin{aligned} \sum_{k=1}^{12} a_k &= a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{12} \\ &= a_1 + a_2 + \sum_{k=1}^{5} a_{2k+1} + \sum_{k=1}^{5} a_{2k+2} \end{aligned}

여기에 원래 있던 두 번째 시그마를 더해주면 다음과 같이 묶입니다.

a_1 + a_2 + 2\sum_{k=1}^{5} a_{2k+1} + \sum_{k=1}^{5} a_{2k+2} = a_1 + a_2 + \sum_{k=1}^{5} (2a_{2k+1} + a_{2k+2})

이때, Step 1에서 구한 ㉠식 $2a_n + a_{n+1} = n$ 의 $n$ 자리에 $2k+1$ 을 대입하면,

$$ 2a_{2k+1} + a_{2k+2} = 2k+1 $$

이 되어 수식이 획기적으로 간단해집니다.

\sum_{k=1}^{5} (2a_{2k+1} + a_{2k+2}) = \sum_{k=1}^{5} (2k+1) = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35

따라서 전체 값은 $a_1 + a_2 + 35 = 7 + 10 + 35 = 52$ 입니다.

$\therefore \text{(다)} = 52 \quad \implies q = 52$

Step 4

최종 정답 도출

구해진 값들을 모두 대입하여 최종 계산을 수행합니다.

$f(n) = \frac{1}{3}n \implies f(12) = \frac{1}{3} \times 12 = 4$
$p = 10$
$q = 52$

\frac{p \times q}{f(12)} = \frac{10 \times 52}{4} = \frac{520}{4} = 130

3 이론 매칭

수열의 합과 일반항의 관계

수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 $S_n$이라 할 때, $a_n = S_n - S_{n-1} \; (n \ge 2)$ 가 성립함을 이용합니다.

시그마($\Sigma$)의 성질

$\sum (A_k + B_k) = \sum A_k + \sum B_k$ 처럼 덧셈에 대해 분리하고 다시 결합할 수 있는 선형성을 활용하여 식을 변형합니다.

4 실수 포인트 및 증명

🚨 학생들이 자주 범하는 오개념

오류 : "주어진 $S_n$ 식에 무심코 $n=1$을 대입하여 $a_1$을 구하려고 하는 경우"

문제의 전제 조건에 "2 이상의 자연수 $n$에 대하여" 라는 문구가 명시되어 있습니다. 이를 무시하고 주어진 식에 $n=1$을 대입하면, $a_1 = \frac{2}{3}a_1 + \frac{1}{6} - \frac{1}{6} + 10$ 이 되어 $a_1 = 30$ 이라는 잘못된 결과가 나옵니다.

해결 방안 :

수열이 특정한 규칙을 따르는 것은 $n \ge 2$ 부터이며, $n=1$ 인 경우는 예외적인 초깃값으로 따로 주어졌음($a_1=7$)을 명확히 인지해야 합니다. 따라서 미지수인 $a_2$ 를 구하기 위해서는 이 수식이 성립하는 최소 자연수인 $n=2$ 를 대입하는 것이 유일한 올바른 접근입니다.

5 핵심 이론 증명

수열의 합과 일반항의 관계 증명

어떤 수열 $\{a_n\}$에 대하여 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 $S_n$이라 할 때, 일반항 $a_n$을 $S_n$으로 나타내는 논리적 과정입니다.

정의에 의해 $S_n$ 과 $S_{n-1}$ 은 다음과 같습니다. ($n \ge 2$)

$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{n-1} + a_n$
$S_{n-1} = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{n-1}$

위의 두 식을 변변 빼면, $a_1$ 부터 $a_{n-1}$ 까지의 모든 항이 상쇄되어 지워집니다.

$$ S_n - S_{n-1} = a_n \quad (n \ge 2) $$

단, $n=1$일 때는 $S_0$이 정의되지 않으므로, $a_1 = S_1$ 로 별도 정의합니다.

점화식 동작 시뮬레이터

시뮬레이터 관전 포인트

일반항 $a_n$의 폭발적 진동 : 도출된 점화식을 $a_{n+1} = -2a_n + n$으로 변형해서 보면, 이전 항에 $-2$가 곱해지므로 부호가 교대로 바뀌며 절댓값이 기하급수적으로 커집니다. (그래프 상에서 Y축은 보기 쉽게 비선형 로그 스케일로 압축되어 있음에도 널뛰는 것을 볼 수 있습니다.)
선형 결합의 마법 ($2a_n + a_{n+1}$) : 이처럼 무질서하게 널뛰는 개별 항들을 직접 구해서 더하는 것은 사실상 불가능합니다. 하지만 문제에서 의도한 대로 이웃한 두 항을 2:1 비율로 결합하면, 모든 진동이 상쇄되고 놀랍게도 정확히 $y = x$ 라는 단순한 1차 함수 직선(등차수열) 형태로 변환됩니다. 이것이 출제자가 복잡한 시그마 식을 묶어서 계산하도록 유도한 핵심 이유입니다.

시각화 모드 선택

수열 $a_n$ 은 부호가 교대로 바뀌며 값이 지수적으로 커지는 진동 발산 형태를 띕니다. (Y축은 보기 쉽게 값을 축소하여 표현함)

양수 (+)

음수 (-)

Y축 Log Scale (값 축소 표현)

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