함수의 연속과 극한의 추론

Step 1

$f(x)$의 인수와 $t$의 후보 찾기

조건 (가)를 보면, 모든 실수 $a$에 대해 극한이 존재해야 합니다. 여기서 가장 문제(분모가 0)가 되는 지점은 바로 $x=0$ 과 $x=2$ 입니다. 극한값이 존재하려면 분모가 0으로 갈 때 분자도 반드시 0으로 가야 합니다. (0분의 0꼴)

$g(x)$는 결국 $f(x)$ 이거나 $-f(x)$ 중 하나이므로, $g(0)=0$ 과 $g(2)=0$ 은 원래 삼차함수인 $f(x)$도 $x=0, 2$ 에서 $0$이 되어야 함을 의미합니다. 최고차항 계수가 양수($k>0$)이므로 $f(x)$를 다음과 같이 설정할 수 있습니다.

또한 $g(x)$가 '실수 전체에서 연속'이라고 했습니다. $x=t$를 기준으로 함수식이 $-f(x)$에서 $f(x)$로 바뀝니다. 경계점 $t$에서 좌극한과 우극한(함숫값)이 이어져야 하므로:

결론: $t$는 $f(x)$의 근이어야 합니다. 즉, $t$의 후보는 $0, 2, \alpha$ 셋 중 하나입니다.

👉 우측 패널의 [그래프 1]을 참고하여 근의 위치를 시각적으로 확인하세요.

Step 1.5

세 근 $0, 2, \alpha$ 의 크기 관계 추론

초기에는 $\alpha$가 0보다 작은지, 0과 2 사이인지, 2보다 큰지 단정할 수 없습니다. 하지만 자연수 $m$에 대한 극한값의 부호 조건(나)이 이 크기 관계를 강제합니다. 이 부분을 조금 더 풀어서 이해해 봅시다.

✨ 직관적 결론:
결국 자연수 $m$을 대입했을 때 극한값을 두 개나 음수로 만들어내려면, 함수 그래프가 $x=2$ 보다 더 오른쪽(큰 쪽)에서 $x$축 아래로 깊게 파여있는 공간(음수 구간)이 반드시 필요합니다.
그러기 위해서는 세 번째 근인 $\alpha$가 무조건 2보다 큰 위치($\alpha > 2$)에 존재하여, $x=2$ 와 $x=\alpha$ 사이에 음수 웅덩이를 만들어 주어야만 합니다!

👉 우측 패널의 [그래프 0] 알파 탐색기를 조작해 보세요. 슬라이더를 움직여 $\alpha$가 2보다 작을 때는 2의 오른쪽이 모두 붉은 양수 영역이지만, $\alpha$가 2보다 커지면 2와 $\alpha$ 사이에 파란색 '음수 웅덩이'가 생기는 것을 확실히 눈으로 확인할 수 있습니다.

Step 2

$t=0$ 일 때의 모순 확인하기

$t$의 후보 중 먼저 $t=0$ 이라고 가정해 봅시다.
조건 (나)에서 우리는 자연수 $m$에 대한 극한값 $L(m) = \displaystyle \lim_{x \to m+} \frac{g(x)}{x(x-2)}$ 을 구해야 합니다.

자연수 $m$은 $1, 2, 3 \dots$ 이므로, $t=0$ 이라면 무조건 $m > t$ 가 성립합니다. $m$보다 큰 쪽에서 다가가는 우극한($x \to m+$)이므로 해당 구간에서 함수는 $g(x) = f(x)$ 가 됩니다.

조건 (나)에 의해 이 $L(m)$이 음수($<0$)가 되는 $m$이 정확히 2개 존재해야 합니다.
$k > 0$ 이므로 $m - \alpha < 0 \implies m < \alpha$ 이어야 합니다.
이를 만족하는 두 자연수 $m$은 무조건 $1, 2$ 가 되어야 하며, 따라서 $\alpha$의 범위는 $2 < \alpha \le 3$ 이 됩니다.

🚨 하지만 여기서 모순이 발생합니다!

집합의 원소가 $\{1, 2\}$여야 하므로, 문제의 조건인 $\left\{g(-1), -\frac{7}{2}g(1)\right\}$ 도 $\{1, 2\}$ 중 하나씩 가져야 합니다. (즉, 두 값 모두 양수여야 함)
그런데 $t=0$ 이면 $x=1$ 일 때는 $x \ge t$ 영역이므로 $g(1) = f(1)$ 입니다.

위에서 $\alpha > 2$ 라고 했으므로 $(1-\alpha)$ 는 음수입니다. $k > 0$ 이므로 결국 $\frac{7}{2}k(1-\alpha)$ 는 음수가 되어버립니다.
원소는 자연수 1, 2가 되어야 하는데 음수가 나왔으므로 완벽한 모순입니다.
$\implies$ 따라서 $t \ne 0$ 입니다.

Step 3

$t=\alpha$ 의 모순 확인 및 $t=2$ 확정

Step 2에 이어 남은 $t$의 후보는 $2$와 $\alpha$ 입니다. 만약 $t=\alpha$ 라고 가정하면 어떻게 될까요?
이 경우 함수는 $x < \alpha$ 에서는 $g(x) = -f(x)$ 이고, $x \ge \alpha$ 에서는 $g(x) = f(x)$ 가 됩니다. 자연수 $m$에 대한 극한값 $L(m)$을 $m$과 $\alpha$의 크기 관계에 따라 나누어 살펴봅시다.

$\implies$ 따라서 유일하게 남은 정답 후보는 $t=2$ 로 확정됩니다.

이제 진짜 정답인 $t=2$ 일 때, $g(x)$ 는 $x < 2$ 에서는 $-f(x)$, $x \ge 2$ 에서는 $f(x)$ 로 정의됩니다.

👉 우측 패널의 [그래프 2]를 보면 $x=2$를 기준으로 함수가 어떻게 뒤집히는지 볼 수 있습니다.

극한값 $L(m) = \displaystyle \lim_{x \to m+} \frac{g(x)}{x(x-2)}$ 를 $m=1$ 과 $m \ge 2$ 로 나누어 계산합시다.

자, 이제 $L(m) < 0$ 이 되는 자연수 $m$이 정확히 2개가 되도록 세팅해 봅시다.
우리는 앞선 [Step 1.5]에서 이미 $\alpha > 2$ 라는 중요한 사실을 확인했습니다. 이를 활용하면 상황이 아주 단순해집니다!

• $\alpha > 2$ 이므로, $(\alpha - 1)$ 은 무조건 양수($> 1$)입니다.
  따라서 $m=1$ 일 때의 극한값 $L(1) = k(\alpha-1)$ 은 무조건 양수($> 0$)가 됩니다. 즉, 극한값이 음수가 되는 자연수 후보에서 $m=1$ 은 단번에 탈락합니다.
• 결국 $L(m)$을 음수로 만들어주는 2개의 자연수 $m$은 모두 $m \ge 2$ 인 구간에서 나와야만 합니다.
• $m \ge 2$ 일 때 $L(m) = k(m-\alpha) < 0$ 이려면, $k>0$ 이므로 $m < \alpha$ 가 되어야 합니다.

✨ 직관적 결론:
$m \ge 2$ 인 자연수 중에서 $m < \alpha$ 를 만족하는 숫자가 딱 2개여야 하므로, 작은 수부터 차례대로 세면 그 두 숫자는 $m=2, 3$ 이 될 수밖에 없습니다!
$m=2, 3$ 은 $\alpha$ 보다 작아야 하고, 그 다음 자연수인 $m=4$ 부터는 극한값이 양수(또는 0)가 되어야 하므로 $\alpha$ 보다 크거나 같아야 합니다. 따라서 $3 < \alpha \le 4$ 임을 최종 확정합니다.
$\implies$ 문제의 조건을 만족하는 자연수 집합은 정확히 $\{2, 3\}$ 입니다.

👉 우측 패널의 [그래프 3]에서 $L(x)$의 부호 변화를 선명하게 확인하세요.

Step 4

연립방정식 풀이 및 미정계수 $k, \alpha$ 도출

집합의 원소가 $\{2, 3\}$ 이므로, 문제 조건의 집합 원소 $\left\{g(-1), -\frac{7}{2}g(1)\right\}$ 와 매칭시킵니다.
$t=2$ 이므로 $x=-1, 1$ 은 모두 $x < t$ 구간입니다. 따라서 $g(x) = -f(x)$ 에 대입합니다.

어떤 값이 2고 어떤 값이 3일까요? $\alpha > 3$ 이므로 $3k(\alpha+1) > \frac{7}{2}k(\alpha-1)$ 이 성립할 가능성이 높습니다. (실제 해보면 반대 경우는 모순 도출됨)
$\implies 3k(\alpha+1) = 3$ 이고 $\frac{7}{2}k(\alpha-1) = 2$ 로 연립해봅시다.

구한 $\alpha = \frac{11}{3} \approx 3.66$ 은 우리가 찾은 범위 $3 < \alpha \le 4$ 안에 완벽히 들어맞습니다!
$k$값도 구해주면 $k = \frac{1}{11/3 + 1} = \frac{3}{14}$ 가 됩니다.

Step 5

최종 정답 $g(-5)$ 계산

완성된 $f(x)$ 식은 다음과 같습니다.

문제에서 요구한 $g(-5)$ 를 구합니다. $-5 < t=2$ 이므로 $g(-5) = -f(-5)$ 를 계산해야 합니다.